Rješavanje izvedenica za lutke: definicija, kako pronaći, primjeri rješenja. Derivat funkcije
Može se izvaditi kao znak derivat:
(af(x)" =af" (x).
Na primjer:
Derivat algebarskog zbira nekoliko funkcija (uzetih u konstantnim brojevima) jednako je njihovom algebarskom zbiru derivati:
(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1 " (x) + f 2 " (x) - f 3 " (x).
Na primjer:
(0,3 x 2 - 2 x + 0,8)" = (0,3 x 2)" - (2 x)" + (0,8)" = 0,6 x - 2 ( derivat zadnji termin jednačina je nula).
Ako derivat funkcije g nije nula, tada ima i omjer f/g konačni derivat. Ovo svojstvo se može napisati kao:
.
Neka funkcije y = f(x) i y = g(x) imaju konačnih derivata u tački x 0 . Onda funkcije f ± g i f g također imaju konačnih derivata u ovo tačka. tada dobijamo:
(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,
(f g) ′ = f ′ g + f g ′.
Derivat kompleksne funkcije.
Neka funkcija y = f(x) ima konačan izvod u tački x 0 , funkcija z = s(y) ima konačan izvod u tački y 0 = f(x 0).
Onda složena funkcija z = s (f(x)) takođe ima konačan izvod u ovoj tački. Gore navedeno se može napisati u obliku:
.
Derivat inverzne funkcije.
Neka ima funkcija y = f(x). inverzna funkcija x = g(y) na nekim interval(a, b) i postoji nenula konačni derivat ovu funkciju u tački x 0, koja pripada domenu definicije, tj. x 0 ∈ (a, b).
Onda inverzna funkcija Ima derivat u tački y 0 = f(x 0):
.
Derivat implicitne funkcije.
Ako funkcija y = f(x) je dato implicitno jednačina F(x, y(x)) = 0, tada je njegova derivat nalazi se iz uslova:
.
Kažu to funkcija y = f(x) je specificirano implicitno, ako ona identično zadovoljava relaciju:
gdje je F(x, y) neka funkcija od dva argumenta.
Derivat parametarski definirane funkcije.
Ako funkcija y = f(x) se parametarski specificira pomoću razmatranog
PRVI DERIVAT
PRVI DERIVAT
(prva izvedenica) Stopa povećanja vrijednosti funkcije kada se njen argument poveća u bilo kojoj tački, ako je sama funkcija definirana u ovoj tački. Na grafu, prvi izvod funkcije pokazuje njen nagib. Ako y=f(x), njegov prvi derivat u tački x0 je granica kojoj teži f(x0+a)–f(x0)/a as A teži ka beskonačno maloj vrednosti. Prvi derivat se može označiti dy/dx ili y´(x). Funkcija y(x) ima konstantnu vrijednost u tački x0, Ako dy/dx u tački x0 jednako nuli. Prvi izvod jednak nuli je neophodan, ali ne i dovoljan uslov da funkcija dostigne svoj maksimum ili minimum u datoj tački.
Ekonomija. Rječnik. - M.: "INFRA-M", Izdavačka kuća "Ves Mir". J. Black. Opšte izdanje: doktor ekonomskih nauka Osadchaya I.M.. 2000 .
Ekonomski rječnik. 2000 .
Pogledajte šta je "PRVI DERIVAT" u drugim rječnicima:
- (derivacija) Stopa po kojoj se vrijednost funkcije povećava kada se njen argument poveća u bilo kojoj tački, ako je sama funkcija definirana u ovoj tački. Na grafu, prvi izvod funkcije pokazuje njen nagib. Ako je y=f(x), njegov prvi izvod u tački ... ... Ekonomski rječnik
Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Derivat. Ilustracija koncepta izvedenice Derivat ... Wikipedia
Derivat je osnovni koncept diferencijalnog računa, koji karakteriše brzinu promjene funkcije. Definira se kao granica omjera prirasta funkcije i priraštaja njenog argumenta jer prirast argumenta teži nuli, ako je takva granica... ... Wikipedia
Granični problem posebnog tipa; sastoji se u pronalaženju rješenja u domeni Dvarijable x=(x1,..., x n). diferencijalna jednadžba(1) parnog reda 2m za date vrijednosti svih derivacija reda ne većeg od m na granici S područja D (ili njegovog dijela) ... Mathematical Encyclopedia
- (drugi izvod) Prvi izvod prvog izvoda funkcije. Prvi izvod mjeri nagib funkcije; Drugi izvod mjeri kako se nagib mijenja kako se argument povećava. Drugi izvod od y = f(x)… … Ekonomski rječnik
Ovaj članak ili odjeljak treba revidirati. Molimo da poboljšate članak u skladu sa pravilima za pisanje članaka. Fractional about ... Wikipedia
- (unakrsni parcijalni izvod) Učinak promjene jednog argumenta funkcije iz dvije ili više varijabli na izvod date funkcije uzet u odnosu na drugi argument. Ako je y=f(x,z), tada je njen izvod, ili prvi izvod funkcije y u odnosu na argument x, jednak... ... Ekonomski rječnik
analogna tačkasta brzina- Prvi izvod kretanja tačke duž generalizovane koordinate mehanizma...
analog ugaone brzine veze- Prvi izvod ugla rotacije karike u odnosu na generalizovanu koordinatu mehanizma... Politehnički terminološki rječnik
generalizovana brzina mehanizma- Prvi izvod generalizovane koordinate mehanizma u odnosu na vreme... Politehnički terminološki rječnik
Knjige
- Zbirka zadataka o diferencijalnoj geometriji i topologiji, Mishchenko A.S.. Ova zbirka zadataka ima za cilj da u što većoj mjeri odražava postojeće zahtjeve za kurseve diferencijalne geometrije i topologije, kako iz novih programa tako i iz drugih kurseva...
- Moji naučni članci. Knjiga 3. Metoda matrica gustine u kvantnim teorijama lasera, proizvoljnog atoma, Bondarev Boris Vladimirovič. Ova knjiga daje pregled objavljenih naučnih radova koji koriste metodu matrice gustine za izlaganje novih kvantnih teorija lasera, proizvoljnog atoma i prigušenog kvantnog oscilatora...
Derivat funkcije je jedna od teških tema školski program. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.
Ovaj članak na jednostavan i jasan način objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti u prezentaciji. Najvažnije je razumjeti značenje.
Prisjetimo se definicije:
Izvod je stopa promjene funkcije.
Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji od njih raste brže?
Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.
Evo još jednog primjera.
Kostya, Grisha i Matvey dobili su posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su im se prihodi promijenili tokom godine:
Grafikon prikazuje sve odjednom, zar ne? Kostijin prihod se više nego udvostručio za šest mjeseci. I Grišin prihod se također povećao, ali samo malo. A Matveyev prihod pao je na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, njegov derivat prihoda je općenito negativan.
Intuitivno, lako procjenjujemo brzinu promjene funkcije. Ali kako da ovo uradimo?
Ono što zapravo gledamo je koliko strmo graf funkcije ide nagore (ili naniže). Drugim riječima, koliko brzo se mijenja y kako se mijenja x? Očigledno, ista funkcija u različitim točkama može imati različite vrijednosti izvoda - to jest, može se mijenjati brže ili sporije.
Derivat funkcije je označen .
Pokazat ćemo vam kako ga pronaći pomoću grafikona.
Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmimo tačku sa apscisom na njoj. Nacrtajmo tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko naglo raste graf funkcije. Pogodna vrijednost za ovo je tangenta tangentnog ugla.
Derivat funkcije u nekoj tački jednak je tangenti tangentnog ugla nacrtanog na graf funkcije u ovoj tački.
Imajte na umu da kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.
Ponekad učenici pitaju šta je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa grafikom u ovom odeljku, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.
Hajde da ga nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravokutnom trokutu jednaka omjeru suprotne i susjedne strane. Iz trougla:
Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi problemi se često nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike pod brojem.
Postoji još jedan važan odnos. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom
Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.
.
Shvatili smo to
Prisjetimo se ove formule. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.
Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.
Drugim riječima, derivacija je jednaka tangentu ugla tangente.
Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.
Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.
U jednom trenutku funkcija se povećava. Tangenta na graf nacrtan u tački formira oštar ugao s pozitivnim smjerom ose. To znači da je izvod u tački pozitivan.
U tom trenutku naša funkcija opada. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao s pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.
Evo šta se dešava:
Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.
Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.
Šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u tačkama (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Prema tome, tangenta tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.
Point - maksimalni poen. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa “plus” na “minus”.
U tački - minimalnoj tački - derivacija je također nula, ali se njen predznak mijenja sa "minus" na "plus".
Zaključak: pomoću izvoda možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.
Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.
Ako je izvod negativan, tada se funkcija smanjuje.
U tački maksimuma, izvod je nula i mijenja predznak iz “plus” u “minus”.
U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak iz “minus” u “plus”.
Zapišimo ove zaključke u obliku tabele:
povećava | maksimalni poen | smanjuje se | minimalna tačka | povećava | |
+ | 0 | - | 0 | + |
Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati prilikom rješavanja problema USE. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.
Moguće je da je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ovo je tzv :
U tački je tangenta na graf horizontalna, a izvod je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja - ostaje pozitivan kakav je bio.
Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.
Kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje
Rješavanje fizičkih zadataka ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njeno izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Šta je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati izvod funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?
Geometrijsko i fizičko značenje derivacije
Neka postoji funkcija f(x) , specificirano u određenom intervalu (a, b) . Tačke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:
Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.
Inače se može napisati ovako:
Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo šta je to:
derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.
![](https://i0.wp.com/zaochnik-com.ru/blog/2017/11/i.jpg)
Fizičko značenje izvedenice: derivacija putanje u odnosu na vrijeme jednaka je brzini pravolinijskog kretanja.
Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom periodu:
Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:
Prvo pravilo: postavite konstantu
Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete da pojednostavite izraz, obavezno ga pojednostavite .
Primjer. Izračunajmo derivaciju:
Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija
Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.
Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.
Pronađite derivaciju funkcije:
Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija
Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:
Primjer: pronađite derivaciju funkcije:
Rješenje:
Ovdje je važno govoriti o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat kompleksne funkcije jednak je proizvodu izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument i derivacije međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu.
U gornjem primjeru nailazimo na izraz:
U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim pomnožimo sa derivacijom samog međuargumena u odnosu na nezavisnu varijablu.
Četvrto pravilo: derivacija količnika dvije funkcije
Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:
Pokušali smo da pričamo o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.
Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najteži test i shvatite zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izračunavanja izvedenica.
Vrlo lako za pamćenje.
Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:
U našem slučaju, osnova je broj:
Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.
Čemu je to jednako? Naravno, .
Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:
primjeri:
- Pronađite izvod funkcije.
- Što je derivacija funkcije?
odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive derivata. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.
Pravila diferencijacije
Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...
Diferencijacija je proces pronalaženja derivata.
To je sve. Kako drugačije možete nazvati ovaj proces jednom riječju? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim prirastom funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.
Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:
Postoji ukupno 5 pravila.
Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.
Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.
Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .
Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.
Primjeri.
Pronađite izvode funkcija:
- u jednom trenutku;
- u jednom trenutku;
- u jednom trenutku;
- u tački.
rješenja:
- (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);
Derivat proizvoda
Ovdje je sve slično: uvedemo novu funkciju i pronađemo njen prirast:
Derivat:
primjeri:
- Naći izvode funkcija i;
- Pronađite izvod funkcije u tački.
rješenja:
Derivat eksponencijalne funkcije
Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).
Dakle, gdje je neki broj.
Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:
Da bismo to učinili, koristit ćemo jednostavno pravilo: . onda:
Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.
Desilo se?
Evo, uvjerite se sami:
Ispostavilo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.
primjeri:
Pronađite izvode funkcija:
odgovori:
Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se više zapisati u jednostavnom obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.
Imajte na umu da je ovdje kvocijent dvije funkcije, tako da primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:
U ovom primjeru, proizvod dvije funkcije:
Derivat logaritamske funkcije
Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:
Stoga, da biste pronašli proizvoljan logaritam s različitom bazom, na primjer:
Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:
Tek sada ćemo umjesto toga napisati:
Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:
Derivati eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.
Derivat kompleksne funkcije.
Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i biće vam dobro), ali sa matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.
Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni predmet: čokoladica omotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnutim koracima obrnutim redoslijedom.
Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja nađem njegov kosinus (omot), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.
Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .
Za naš primjer, .
Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.
Drugi primjer: (ista stvar). .
Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjska" funkcija, a radnja izvedena prva - prema tome "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).
Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:
odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji
- Koju akciju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, pa ga tek onda kockiraj. To znači da je to interna funkcija, ali vanjska.
A originalna funkcija je njihov sastav: . - Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: . - Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: . - Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: . - Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: .
Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.
Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. Primijenjeno na originalan primjer izgleda ovako:
Drugi primjer:
Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:
Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:
Čini se jednostavno, zar ne?
Provjerimo na primjerima:
rješenja:
1) Interni: ;
Vanjski: ;
2) Interni: ;
(Samo nemojte pokušavati da ga isečete do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)
3) Interni: ;
Vanjski: ;
Odmah je jasno da se radi o složenoj funkciji na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i sa vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo „raspakovati“ ovu funkciju istim redoslijedom kao i obično: od kraja.
Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.
U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:
Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti „spoljašnja“. Redoslijed radnji je isti kao i prije:
Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.
1. Radikalni izraz. .
2. Root. .
3. Sinus. .
4. Kvadrat. .
5. Stavljajući sve zajedno:
DERIVAT. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA
Derivat funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:
Osnovni derivati:
Pravila diferencijacije:
Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:
Derivat sume:
Derivat proizvoda:
Derivat količnika:
Derivat kompleksne funkcije:
Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:
- Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
- Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
- Množimo rezultate prve i druge tačke.