Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja. Rotaciono kretanje tela
PREDAVANJE br. 4
OSNOVNI ZAKONI KINETIKE I DINAMIJE
ROTACIJSKO POKRETANJE. MEHANIČKI
SVOJSTVA BIO-TKIVA. BIOMEHANIČKI
PROCESI U MIŠIĆNOM SISTEMU
OSOBA.
1. Osnovni zakoni kinematike rotacionog kretanja.
Najveći su rotacijski pokreti tijela oko fiksne ose jednostavan pogled pokreta. Karakteriše ga činjenica da sve tačke tela opisuju kružnice, čiji se centri nalaze na istoj pravoj liniji 0 ﺍ 0 ﺍﺍ, koja se naziva osa rotacije (slika 1).
U ovom slučaju, položaj tijela u bilo kojem trenutku određen je kutom rotacije φ polumjera vektora R bilo koje tačke A u odnosu na njen početni položaj. Njegova zavisnost od vremena:
(1)
je jednadžba rotacijskog kretanja. Brzinu rotacije tijela karakterizira ugaona brzina ω. Ugaona brzina svih tačaka rotirajućeg tela je ista. To je vektorska veličina. Ovaj vektor je usmjeren duž osi rotacije i povezan je sa smjerom rotacije po pravilu desnog vijka:
. (2)
Kada se tačka kreće jednoliko po kružnici
, (3)
gdje je Δφ=2π ugao koji odgovara jednom punom okretu tijela, Δt=T je vrijeme jednog punog okreta, odnosno period rotacije. Jedinica mjerenja ugaone brzine je [ω]=c -1.
U ravnomjernom kretanju, ubrzanje tijela karakterizira ugaono ubrzanje ε (njegov vektor se nalazi slično vektoru ugaone brzine i usmjeren je u skladu s njim tijekom ubrzanog kretanja i u suprotnom smjeru za vrijeme usporenog kretanja):
. (4)
Jedinica mjerenja ugaonog ubrzanja je [ε]=c -2.
Rotaciono kretanje se takođe može okarakterisati linearnom brzinom i ubrzanjem njegovih pojedinačnih tačaka. Dužina luka dS opisanog bilo kojom tačkom A (Sl. 1) kada se zakrene za ugao dφ određena je formulom: dS=Rdφ. (5)
Zatim linearna brzina tačke :
. (6)
Linearno ubrzanje A:
. (7)
2. Osnovni zakoni dinamike rotacionog kretanja.
Rotaciju tijela oko ose uzrokuje sila F primijenjena na bilo koju tačku tijela, koja djeluje u ravni koja je okomita na os rotacije i usmjerena (ili ima komponentu u ovom smjeru) okomito na radijus vektor točke primjene (slika 1).
Trenutak moći u odnosu na centar rotacije je vektorska veličina koja je numerički jednaka proizvodu sile dužinom okomice d, spuštene iz središta rotacije u smjer sile, koja se naziva krak sile. Dakle, na slici 1 d=R
. (8)
Momenat rotaciona sila je vektorska veličina. Vector primijenjen na centar kružnice O i usmjeren duž ose rotacije. Vektorski smjer u skladu sa smjerom sile prema pravilu desnog zavrtnja. Elementarni rad dA i , pri skretanju kroz mali ugao dφ, kada tijelo prođe malu putanju dS, jednak je:
Mjera inercije tijela tokom translatornog kretanja je masa. Kada se tijelo rotira, mjera njegove inercije karakterizira moment inercije tijela u odnosu na os rotacije.
Moment inercije I i materijalne tačke u odnosu na osu rotacije je vrednost jednaka umnošku mase tačke na kvadrat njene udaljenosti od ose (slika 2):
. (10)
Moment inercije tijela u odnosu na osu je zbir momenata inercije materijalnih tačaka koje čine tijelo:
. (11)
Ili u granici (n→∞):
,
(12)
G deintegracija se vrši na cijelom volumenu V. Na sličan način izračunavaju se momenti inercije homogenih tijela pravilnog geometrijskog oblika. Moment inercije izražava se u kg m 2.
Moment inercije osobe u odnosu na vertikalnu os rotacije koja prolazi kroz centar mase (centar mase osobe nalazi se u sagitalnoj ravni malo ispred drugog ukrštenog pršljena), u zavisnosti od položaja osoba, ima sljedeće vrijednosti: 1,2 kg m 2 na pažnji; 17 kg m 2 – u horizontalnom položaju.
Kada se tijelo rotira, njegova kinetička energija se sastoji od kinetičkih energija pojedinih tačaka tijela:
Diferenciranjem (14) dobijamo elementarnu promjenu kinetičke energije:
. (15)
Izjednačavajući elementarni rad (formula 9) vanjskih sila sa elementarnom promjenom kinetičke energije (formula 15), dobijamo:
, gdje:
ili, s obzirom na to
dobijamo:
.
(16)
Ova jednačina se naziva osnovna jednačina dinamike rotacijskog kretanja. Ova zavisnost je slična Newtonovom II zakonu za translatorno kretanje.
Ugaoni moment L i materijalne tačke u odnosu na osu je vrijednost jednaka umnošku momenta točke i njene udaljenosti od ose rotacije:
. (17)
Moment impulsa L tijela koje rotira oko fiksne ose:
Kutni moment je vektorska veličina orijentirana u smjeru vektora ugaone brzine.
Vratimo se sada na glavnu jednačinu (16):
,
.
Dovedemo konstantnu vrijednost I pod predznak diferencijala i dobijemo:
,
(19)
gdje se Mdt naziva moment impulsa. Ako na tijelo ne djeluju vanjske sile (M=0), tada je i promjena ugaonog momenta (dL=0) nula. To znači da ugaoni moment ostaje konstantan:
.
(20)
Ovaj zaključak se naziva zakon održanja ugaonog momenta u odnosu na os rotacije. Koristi se, na primjer, tijekom rotacijskih pokreta u odnosu na slobodnu os u sportu, na primjer u akrobatici, itd. Dakle, umjetnički klizač na ledu, promjenom položaja tijela tokom rotacije i, shodno tome, momenta inercije u odnosu na os rotacije, može regulirati svoju brzinu rotacije.
Laboratorijski rad br.15
PROUČAVANJE KRETANJA ŽIROSKOPA
Cilj rada: proučavanje zakona rotacionog kretanja, proučavanje kretanja (precesije) žiroskopa pod uticajem obrtnog momenta.
Teorija rada
Osnovni koncepti. Osnovni zakon rotacionog kretanja
Zamah materijalne tačkeL u odnosu na tačku O pozvao vektorski proizvod radijus vektor ove tačke prema vektoru momenta str:
Gdje r– radijus vektor povučen od tačke O do tačke A, lokacija materijalne tačke, str=m v– impuls materijalne tačke. Modul vektora ugaonog momenta:
gdje je a ugao između vektora r I str, l – krak vektora p u odnosu na tačku O. Vektor L, prema definiciji vektorskog proizvoda, on je okomit na ravan u kojoj leže vektori r I str(ili v), njegov smjer se poklapa sa smjerom translacijskog kretanja desnog propelera dok se rotira od r do p duž najkraće udaljenosti, kao što je prikazano na slici.
Moment u odnosu na osu je skalarna veličina jednaka projekciji na ovu osu vektora ugaonog momenta definisanog u odnosu na proizvoljnu tačku na ovoj osi.
Trenutak moćiM materijalna tačka u odnosu na tačku O je vektorska veličina određena vektorskim proizvodom radijus vektora r povučen iz tačke O do tačke primene sile i sile F:
. Modul momenta vektora sile:
gdje je a ugao između vektora r I F, d = r*sina – krak sile – najkraća udaljenost između linije djelovanja sile i tačke O. Vektor M(kao i L) - pseudovektor , ona je okomita na ravan u kojoj leže vektori r I F, njegov smjer se poklapa sa smjerom translacijskog kretanja desnog vijka kada se okreće od r To F duž najkraće udaljenosti, kao što je prikazano na slici. Vektorska vrijednost i smjer M također se može izračunati matematički koristeći definiciju unakrsnog proizvoda.
Moment sile oko ose naziva se skalarna veličina jednaka projekciji na ovu osu vektora momenta sile M definisano u odnosu na proizvoljnu tačku na ovoj osi.
Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja
Da biste razjasnili svrhu gornjih koncepata, razmotrite sistem od dvije materijalne tačke (čestice), a zatim generalizirajte rezultat na sistem proizvoljnog broja čestica (tj. na čvrsto tijelo).
Neka na čestice masa m 1, m 2 djeluje interno f 12, f 21 i spoljne sile F 1 I F 2.
Zapišimo drugi Newtonov zakon za svaku od čestica, kao i vezu između unutrašnjih sila koje proizlaze iz trećeg Newtonovog zakona:
Vektor pomnožite jednadžbu (1) sa r 1, a jednačinu (2) sa r 2 i dodajte rezultirajuće izraze:
Transformirajmo lijevi dio jednačine (4), uzimajući to u obzir
A vektori i su paralelni i njihov vektorski proizvod je jednak nuli
(5 )
Prva dva člana desno u (4) jednaka su nuli, jer su unutrašnje sile f 12, f 21 jednake veličine i suprotno usmjerene (vektor r 1-r 2 usmjerena duž iste prave linije kao i vektor f 12).
Da biste izveli ovaj zakon, razmotrite najjednostavniji slučaj rotaciono kretanje materijalne tačke. Razložimo silu koja djeluje na materijalnu tačku na dvije komponente: normalnu - i tangentu - (slika 4.3). Normalna komponenta sile će dovesti do pojave normalnog (centripetalnog) ubrzanja: ; , gdje je r = OA - poluprečnik kruga.
Tangencijalna sila će uzrokovati pojavu tangencijalnog ubrzanja. U skladu sa drugim Newtonovim zakonom, F t =ma t ili F cos a=ma t.
Izrazimo tangencijalno ubrzanje u terminima ugaonog ubrzanja: a t =re. Tada je F cos a=mre. Pomnožimo ovaj izraz poluprečnikom r: Fr cos a=mr 2 e. Uvedemo oznaku r cos a = l , Gdje l - rame sile, tj. dužina okomice spuštena od ose rotacije do linije djelovanja sile. Sincemr 2 =ja - moment inercije materijalne tačke, a proizvod = Fl = M - onda moment sile
Proizvod momenta sile M za vreme njenog važenja dt naziva se momentnim impulsom. Proizvod momenta inercije I ugaonom brzinom w naziva se ugaoni moment tijela: L=Iw. Tada se osnovni zakon dinamike rotacijskog kretanja u obliku (4.5) može formulirati na sljedeći način: Moment momenta sile jednak je promjeni ugaone količine gibanja tijela. U ovoj formulaciji, ovaj zakon je sličan drugom Newtonovom zakonu u obliku (2.2).
Kraj rada -
Ova tema pripada sekciji:
Kratki kurs fizike
Ministarstvo obrazovanja i nauke Ukrajine. Nacionalna pomorska akademija Odesa..
Ako trebaš dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:
Šta ćemo sa primljenim materijalom:
Ako vam je ovaj materijal bio koristan, možete ga sačuvati na svojoj stranici na društvenim mrežama:
Tweet |
Sve teme u ovoj sekciji:
Osnovne SI jedinice
Trenutno je međunarodni sistem jedinica - SI - opšte prihvaćen. Ovaj sistem sadrži sedam osnovnih jedinica: metar, kilogram, sekundu, mol, amper, kelvin, kandelu i dvije dodatne -
Mehanika
Mehanika je nauka o mehaničkom kretanju materijalnih tijela i interakcijama između njih koje se javljaju tokom ovog procesa. Mehaničko kretanje se shvata kao promena u međusobnom polu tokom vremena.
Normalno i tangencijalno ubrzanje
Rice. 1.4 Kretanje materijalne tačke duž zakrivljene putanje
Newtonovi zakoni
Dinamika je grana mehanike koja proučava kretanje materijalnih tijela pod utjecajem sila koje se na njih primjenjuju. Mehanika je zasnovana na Newtonovim zakonima. Prvi Newtonov zakon
Zakon održanja impulsa
Razmotrimo izvođenje zakona održanja količine kretanja na osnovu drugog i trećeg Newtonovog zakona.
Odnos rada i promjene kinetičke energije
Rice. 3.3 Neka se tijelo mase m kreće duž ose x ispod
Odnos rada i promjene potencijalne energije
Rice. 3.4 Ovu vezu uspostavit ćemo na primjeru rada gravitacije
Zakon održanja mehaničke energije
Razmotrimo zatvoreni konzervativni sistem tijela. To znači da tijela sistema nisu pod utjecajem vanjskih sila, a unutrašnje sile su konzervativne prirode. Potpuno mehanički
Sudari
Razmotrimo važan slučaj interakcije čvrstih tijela - sudara. Sudar (udar) je fenomen konačne promjene brzina čvrstih tijela u vrlo kratkim vremenskim periodima kada nisu
Zakon održanja ugaonog momenta
Razmotrimo izolovano tijelo, tj. tijelo na koje ne djeluje vanjski moment sile. Tada je Mdt = 0 i iz (4.5) slijedi d(Iw)=0, tj. Iw=konst. Ako se sastoji od izolovanog sistema
Žiroskop
Žiroskop je simetrično čvrsto tijelo koje rotira oko ose koja se poklapa sa osom simetrije tijela, prolazi kroz centar mase i odgovara najvećem momentu inercije.
Opće karakteristike oscilatornih procesa. Harmonične vibracije
Oscilacije su kretanja ili procesi koji imaju različite stepene ponovljivosti tokom vremena. U tehnologiji, uređaji koji koriste oscilatorne procese mogu izvoditi op.
Oscilacije opružnog klatna
Rice. 6.1 Pričvrstimo tijelo mase m na kraj opruge, koje može
Energija harmonijske vibracije
Razmotrimo sada, na primjeru opružnog klatna, procese promjene energije u harmonijskoj oscilaciji. Očigledno je da je ukupna energija opružnog klatna W=Wk+Wp, pri čemu je kinetička
Sabiranje harmonijskih vibracija istog smjera
Rješenje brojnih pitanja, posebno sabiranja nekoliko oscilacija istog smjera, uvelike je olakšano ako se oscilacije prikažu grafički, u obliku vektora na ravni. Rezultirajuća
Prigušene oscilacije
U realnim uslovima, sile otpora su uvek prisutne u sistemima koji osciluju. Kao rezultat toga, sistem postupno troši svoju energiju da izvrši rad protiv sila otpora i
Prisilne vibracije
U realnim uslovima oscilirajući sistem postepeno gubi energiju da bi savladao sile trenja, pa su oscilacije prigušene. Da bi oscilacije bile neprigušene, potrebno je nekako
Elastični (mehanički) valovi
Proces širenja poremećaja u tvari ili polju, praćen prijenosom energije, naziva se val. Elastični valovi - proces mehaničkog širenja u elastičnom mediju
Interferencija talasa
Interferencija je fenomen superpozicije talasa iz dva koherentna izvora, usled čega dolazi do preraspodele intenziteta talasa u prostoru, tj. dolazi do smetnji
Stojeći talasi
Poseban slučaj interferencije je formiranje stajaćih talasa. Stojeći talasi nastaju interferencijom dva koherentna talasa koji se suprotstavljaju sa istom amplitudom. Ova situacija može uzrokovati probleme
Doplerov efekat u akustici
Zvučni talasi su elastični talasi sa frekvencijama od 16 do 20.000 Hz, koje percipiraju ljudski slušni organi. Zvučni valovi u tekućim i plinovitim medijima su uzdužni. U teško
Osnovna jednadžba molekularne kinetičke teorije plinova
Razmotrimo idealan gas kao najjednostavniji fizički model. Idealan gas je onaj za koji su ispunjeni sledeći uslovi: 1) dimenzije molekula su toliko male da
Distribucija molekula po brzini
Slika 16.1 Pretpostavimo da smo bili u stanju da izmerimo brzine svih
Barometrijska formula
Razmotrimo ponašanje idealnog gasa u gravitacionom polju. Kao što znate, kako se dižete sa površine Zemlje, pritisak atmosfere opada. Nađimo zavisnost atmosferskog pritiska od nadmorske visine
Boltzmannova distribucija
Izrazimo pritisak gasa na visinama h i h0 kroz odgovarajući broj molekula po jedinici zapremine i u0, uz pretpostavku da je na različitim visinama T = const: P =
Prvi zakon termodinamike i njegova primjena na izoprocese
Prvi zakon termodinamike je generalizacija zakona održanja energije uzimajući u obzir toplotne procese. Njegova formulacija: količina toplote koja se prenosi na sistem troši se na obavljanje posla
Broj stepeni slobode. Unutrašnja energija idealnog gasa
Broj stupnjeva slobode je broj nezavisnih koordinata koje opisuju kretanje tijela u prostoru. Materijalna tačka ima tri stepena slobode, od kada se kreće u p
Adijabatski proces
Adijabatski je proces koji se odvija bez razmjene toplote sa okolinom. U adijabatskom procesu, dQ = 0, stoga je prvi zakon termodinamike u odnosu na ovaj proces
Reverzibilni i ireverzibilni procesi. Kružni procesi (ciklusi). Princip rada toplotnog motora
Reverzibilni procesi su oni koji zadovoljavaju sljedeće uslove. 1. Nakon prolaska kroz ove procese i vraćanja termodinamičkog sistema u prvobitno stanje u
Idealan Carnot toplotni motor
Rice. 25.1 Godine 1827. francuski vojni inženjer S. Carnot, re
Drugi zakon termodinamike
Prvi zakon termodinamike, koji je generalizacija zakona održanja energije uzimajući u obzir termičke procese, ne ukazuje na smjer odvijanja različitih procesa u prirodi. Da, prvo
Nemoguć je proces čiji bi jedini rezultat bio prijenos topline sa hladnog tijela na toplo
U rashladnoj mašini toplota se prenosi sa hladnog tela (zamrzivača) na toplije. okruženje. Čini se da je to u suprotnosti s drugim zakonom termodinamike. Zaista protiv toga
Entropija
Hajde da sada uvedemo novi parametar stanja termodinamičkog sistema - entropiju, koji se suštinski razlikuje od ostalih parametara stanja u pravcu svoje promene. Elementarna izdaja
Diskretnost električnog naboja. Zakon održanja električnog naboja
Izvor elektrostatičkog polja je električni naboj- unutrašnje karakteristike elementarna čestica, što određuje njegovu sposobnost da ulazi u elektromagnetne interakcije.
Energija elektrostatičkog polja
Nađimo prvo energiju nabijenog ravnog kondenzatora. Očigledno, ova energija je numerički jednaka radu koji je potrebno obaviti da bi se kondenzator ispraznio.
Glavne karakteristike struje
Električna struja je uređeno (usmjereno) kretanje nabijenih čestica. Jačina struje je brojčano jednaka naboju koji prolazi kroz poprečni presjek vodiča po jedinici
Ohmov zakon za homogeni dio lanca
Dio kola koji ne sadrži EMF izvor naziva se homogenim. Ohm je eksperimentalno utvrdio da je jačina struje u homogenom dijelu kola proporcionalna naponu i obrnuto proporcionalna
Joule-Lenzov zakon
Joule i, nezavisno od njega, Lenz eksperimentalno su ustanovili da je količina toplote koja se oslobađa u provodniku otpora R za vrijeme dt proporcionalna kvadratu struje, otpora
Kirchhoffova pravila
Rice. 39.1 Za proračun složenih kola jednosmerna struja koristeći
Razlika potencijala kontakta
Ako se dva različita metalna vodiča dovedu u kontakt, tada se elektroni mogu kretati s jednog vodiča na drugi i natrag. Stanje ravnoteže takvog sistema
Seebeck efekat
Rice. 41.1 U zatvorenom krugu od dva različita metala po g
Peltierov efekat
Drugi termoelektrični fenomen - Peltierov efekat - je da kada električna struja prođe kroz kontakt dva različita provodnika, u njoj dolazi do oslobađanja ili apsorpcije.
Kruto tijelo koje rotira oko određenih osa koje prolaze kroz centar mase, ako je oslobođeno vanjskih utjecaja, održava rotaciju neograničeno. (Ovaj zaključak je sličan prvom Newtonovom zakonu za translatorno kretanje.)
Pojava rotacije krutog tijela uvijek je uzrokovana djelovanjem vanjskih sila primijenjenih na pojedine tačke tijela. U ovom slučaju, pojava deformacija i pojava unutrašnjih sila su neizbježni, čime se u slučaju čvrstog tijela osigurava praktično očuvanje njegovog oblika. Kada prestane djelovanje vanjskih sila, rotacija je očuvana: unutrašnje sile ne mogu uzrokovati niti uništiti rotaciju krutog tijela.
Rezultat djelovanja vanjske sile na tijelo koje ima fiksnu os rotacije je ubrzano rotacijsko kretanje tijela. (Ovaj zaključak je sličan drugom Newtonovom zakonu za translatorno kretanje.)
Osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja: u inercijskom referentnom okviru, ugaono ubrzanje koje postiže tijelo koje rotira oko fiksne ose proporcionalno je ukupnom momentu svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo, i obrnuto proporcionalno momentu inercije tijela u odnosu na datu osu :
Može se dati jednostavnija formulacija osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja(takođe se zove Drugi Newtonov zakon za rotaciono kretanje): moment je jednak proizvodu momenta inercije i kutnog ubrzanja:
moment impulsa(ugaoni moment, ugaoni moment) tijela naziva se proizvod njegovog momenta inercije i ugaone brzine:
Moment je vektorska veličina. Njegov smjer se poklapa sa smjerom vektora ugaone brzine.
Promjena ugaonog momenta određuje se na sljedeći način:
. (I.112)
Promjena ugaonog momenta (sa konstantnim momentom inercije tijela) može nastati samo kao rezultat promjene ugaone brzine i uvijek je posljedica djelovanja momenta sile.
Prema formuli, kao i formulama (I.110) i (I.112), promjena ugaonog momenta može se predstaviti kao:
. (I.113)
Proizvod u formuli (I.113) se zove impuls impulsa ili pokretačka snaga. Jednaka je promjeni ugaonog momenta.
Formula (I.113) važi pod uslovom da se moment sile ne menja tokom vremena. Ako moment sile zavisi od vremena, tj. , To
. (I.114)
Formula (I.114) pokazuje da: promjena ugaonog momenta jednaka je vremenskom integralu momenta sile. Osim toga, ako je ova formula predstavljena u obliku: , onda će definicija slijediti iz nje moment sile: trenutni moment je prvi izvod ugaonog momenta u odnosu na vrijeme,