Matematičko očekivanje (srednja populacija) je. Matematičko očekivanje je distribucija slučajne varijable. Šta je matematičko očekivanje?
matematičko očekivanje (prosječna vrijednost) slučajna varijabla X dat na diskretnom prostoru vjerovatnoće naziva se broj m =M[X]=∑x i p i ako se niz apsolutno konvergira.
Svrha usluge. Korištenje online usluge se izračunavaju očekivana vrijednost, varijansu i standardnu devijaciju(vidi primjer). Dodatno, iscrtan je graf funkcije distribucije F(X).
Svojstva matematičkog očekivanja slučajne varijable
- Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj sebi: M[C]=C, C – konstanta;
- M=C M[X]
- Matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja: M=M[X]+M[Y]
- Matematičko očekivanje proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja: M=M[X] M[Y] , ako su X i Y nezavisni.
Svojstva disperzije
- Varijanca konstantne vrijednosti je nula: D(c)=0.
- Konstantni faktor se može izvaditi ispod znaka disperzije kvadriranjem: D(k*X)= k 2 D(X).
- Ako su slučajne varijable X i Y nezavisne, tada je varijansa sume jednaka zbroju varijansi: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Ako su slučajne varijable X i Y zavisne: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Sljedeća računska formula vrijedi za disperziju:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Primjer. Poznata su matematička očekivanja i varijanse dvije nezavisne slučajne varijable X i Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Naći matematičko očekivanje i varijansu slučajne varijable Z=9X-8Y+7.
Rješenje. Na osnovu svojstava matematičkog očekivanja: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Na osnovu svojstava disperzije: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritam za izračunavanje matematičkog očekivanja
Svojstva diskretnih slučajnih varijabli: sve njihove vrijednosti mogu se prenumerisati prirodnim brojevima; Dodijelite svakoj vrijednosti vjerovatnoću različitu od nule.- Parove množimo jedan po jedan: x i sa p i .
- Dodajte proizvod svakog para x i p i .
Na primjer, za n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Primjer br. 1.
x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Matematičko očekivanje pronalazimo pomoću formule m = ∑x i p i .
Očekivanje M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Pronalažemo varijansu koristeći formulu d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varijanca D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Standardna devijacija σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78
Primjer br. 2. Diskretna slučajna varijabla ima sljedeću seriju distribucije:
X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Rješenje. Vrijednost a se nalazi iz relacije: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ili 0,24=3 a , odakle je a = 0,08
Primjer br. 3. Odrediti zakon raspodjele diskretne slučajne varijable ako je poznata njena varijansa i x 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Rješenje.
Ovdje trebate kreirati formulu za pronalaženje varijanse d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
gdje je očekivanje m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Za naše podatke
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ili -9/100 (x 2 -20x+96)=0
U skladu s tim, moramo pronaći korijene jednadžbe, a bit će ih dva.
x 3 =8, x 3 =12
Odaberite onaj koji zadovoljava uslov x 1
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
Disperzija kontinuirana slučajna varijabla X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi Ox, određena je jednakošću:
Svrha usluge. Online kalkulator je dizajniran za rješavanje problema u kojima bilo gustina distribucije f(x) ili funkcija distribucije F(x) (vidi primjer). Obično u takvim zadacima morate pronaći matematičko očekivanje, standardna devijacija, crtanje grafova funkcija f(x) i F(x).
Instrukcije. Odaberite tip izvornih podataka: gustina distribucije f(x) ili funkcija distribucije F(x).
Gustina distribucije f(x) je data:
Funkcija distribucije F(x) je data:
Kontinuirana slučajna varijabla je određena gustinom vjerovatnoće
(Rayleighov zakon distribucije - koristi se u radiotehnici). Pronađite M(x) , D(x) .
Poziva se slučajna varijabla X kontinuirano
, ako je njegova funkcija distribucije F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable koristi se za izračunavanje vjerovatnoće da će slučajna varijabla pasti u dati interval:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Štaviše, za kontinuiranu slučajnu varijablu, nije važno da li su njene granice uključene u ovaj interval ili ne:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Gustina distribucije
kontinuirana slučajna varijabla naziva se funkcija
f(x)=F’(x) , derivacija funkcije distribucije.
Svojstva gustine distribucije
1. Gustoća distribucije slučajne varijable je nenegativna (f(x) ≥ 0) za sve vrijednosti x.2. Uslov normalizacije:
Geometrijsko značenje uslova normalizacije: površina ispod krivulje gustine raspodjele jednaka je jedinici.
3. Vjerovatnoća da slučajna varijabla X padne u interval od α do β može se izračunati korištenjem formule
Geometrijski, vjerovatnoća da kontinuirana slučajna varijabla X padne u interval (α, β) jednaka je površini krivolinijskog trapeza ispod krivulje gustine raspodjele na osnovu ovog intervala.
4. Funkcija distribucije je izražena u smislu gustine na sljedeći način:
Vrijednost gustine distribucije u tački x nije jednaka vjerovatnoći prihvatanja ove vrijednosti za kontinuiranu slučajnu varijablu možemo govoriti samo o vjerovatnoći pada u dati interval; neka)
- Portfolio vaspitača u vrtiću (predškolska obrazovna ustanova): kako ga napraviti, pozicija, primeri, šabloni, uzorci dizajna, besplatno preuzimanje Sistematska obuka
- da pomogne vannastavnom nastavniku
- Zbirka ukrštenih reči o istoriji Ukrštene reči o istoriji 7
- Sažetak Iso (crtanje) lekcije na temu: "Kako sam proveo ljeto"