Proizvodni set. Tehnologija kao ograničenje
2. Proizvodni setovi i proizvodne funkcije
2.1. Proizvodni setovi i njihova svojstva
Razmotrimo najvažnijeg učesnika u ekonomskim procesima - pojedinačnog proizvođača. Proizvođač ostvaruje svoje ciljeve samo preko potrošača i stoga mora pogoditi, razumjeti šta želi i zadovoljiti njegove potrebe. Pretpostavićemo da postoji n različitih dobara, količina n-tog proizvoda je označena sa x n, zatim se određeni skup dobara označava sa X = (x 1, ..., x n). Razmatraćemo samo nenegativne količine dobara, tako da je x i 0 za bilo koji i = 1, ..., n ili X > 0. Skup svih skupova dobara naziva se prostorom dobara C. Skup roba se može tretirati kao korpa u kojoj se ta roba nalazi u odgovarajućim količinama.
Neka ekonomija funkcioniše u prostoru dobara C = (X = (x 1, x 2, …, x n): x 1, …, x n 0). Prostor proizvoda sastoji se od nenegativnih n-dimenzionalnih vektora. Razmotrimo sada vektor T dimenzije n, čijih prvih m komponenti nisu pozitivne: x 1, …, x m 0, a posljednje (n-m) komponente su nenegativne: x m +1, …, x n 0. Vektor X = (x 1,…, x m ) pozovimo vektor troškova, i vektor Y = (x m+1 , …, x n) – vektor oslobađanja. Nazovimo vektor T = (X,Y) ulazno-izlazni vektor ili tehnologija.
U svom značenju, tehnologija (X,Y) je način obrade resursa u gotovih proizvoda: “miješanjem” resursa u količini X dobijamo proizvode u količini Y. Svakog konkretnog proizvođača karakteriše određeni skup τ tehnologija, koji se naziva proizvodni set. Tipičan zasjenjeni set prikazan je na Sl. 2.1. Ovaj proizvođač koristi jedan proizvod za proizvodnju drugog.
Rice. 2.1. Proizvodni set
Proizvodni set odražava širinu mogućnosti proizvođača: što je veći, to su njegove mogućnosti šire. Proizvodni set mora zadovoljiti sljedeće uslove:
zatvoren je - to znači da ako se ulazno-izlazni vektor T aproksimira onoliko tačno koliko to žele vektori iz τ, onda T takođe pripada τ (ako sve tačke vektora T leže u τ, tada Tτ vidi sl. 2,1 bod C i B);
u τ(-τ) = (0), tj. ako je Tτ, T ≠ 0, onda -Tτ – troškovi i output se ne mogu zamijeniti, tj. proizvodnja je nepovratan proces (skup – τ je u četvrtom kvadrantu , gdje je y 0);
skup je konveksan, ova pretpostavka dovodi do smanjenja povrata na prerađene resurse s povećanjem obima proizvodnje (do povećanja stope izdataka na gotove proizvode). Dakle, sa Sl. 2.1 jasno je da y/x opada kao x -. Konkretno, pretpostavka konveksnosti dovodi do smanjenja produktivnosti rada kako se proizvodnja povećava.
Često konveksnost jednostavno nije dovoljna i tada je potrebna stroga konveksnost proizvodnog skupa (ili nekog njegovog dijela).
2.2. Kriva proizvodnih mogućnosti
i oportunitetni troškovi
Koncept proizvodnog skupa koji se razmatra je drugačiji visok stepen apstraktnost i, zbog svoje ekstremne uopštenosti, od male je koristi ekonomska teorija.
Razmotrite, na primjer, sl. 2.1. Počnimo sa tačkama B i C. Troškovi za ove tehnologije su isti, ali je učinak drugačiji. Proizvođač, ako nije lišen zdravog razuma, nikada neće izabrati tehnologiju B, jer ih ima više najbolja tehnologija C. U ovom slučaju (vidi sliku 2.1), nalazimo za svaki x 0 najvišu tačku (x, y) u proizvodnom skupu. Očigledno, po cijeni x, tehnologija (x, y) je najbolja. Nema tehnologije (x, b) sa b proizvodnom funkcijom. Tačna definicija proizvodne funkcije:
Y = f(x)(x, y) τ, a ako je (x, b) τ i b y, onda je b = x .
Od sl. 2.1 jasno je da je za bilo koje x 0 takva tačka y = f(x) jedinstvena, što nam, zapravo, omogućava da govorimo o proizvodnoj funkciji. Ali situacija je tako jednostavna ako se proizvodi samo jedan proizvod. U opštem slučaju, za vektor troškova X označavamo skup M x = (Y:(X,Y)τ). Postavi M x – je skup svih mogućih izlaza po troškovima X. U ovom skupu razmotrite “krivu” proizvodnih mogućnosti K x = (YM x: ako je ZM x i Z Y, onda je Z = X), tj. K x – ovo su mnoga najbolja izdanja, nema boljih. Ako se proizvode dva dobra, onda je to kriva, ali ako se proizvodi više od dva dobra, onda je to površina, tijelo ili skup još veće dimenzije.
Dakle, za bilo koji vektor troškova X, svi najbolji rezultati leže na krivulji proizvodnih mogućnosti (površini). Stoga, iz ekonomskih razloga, proizvođač mora izabrati tehnologiju odatle. Za slučaj puštanja dvije robe y 1, y 2, slika je prikazana na sl. 2.2.
Ako radimo samo s fizičkim pokazateljima (tone, metri, itd.), tada za dati vektor troškova X moramo odabrati samo vektor proizvodnje Y na krivulji proizvodnih mogućnosti, ali još uvijek se ne može odlučiti koji konkretan output treba izabrati. Ako je proizvodni skup τ sam po sebi konveksan, tada je i M x konveksan za bilo koji vektor troškova X. U nastavku će nam biti potrebna stroga konveksnost skupa M x. U slučaju proizvodnje dva dobra, to znači da tangenta krive proizvodnih mogućnosti K x ima samo jednu zajedničku tačku sa ovom krivom.
Rice. 2.2. Kriva proizvodnih mogućnosti
Razmotrimo sada pitanje tzv oportunitetni troškovi. Pretpostavimo da je izlaz fiksiran u tački A(y 1, y 2), vidi sl. 2.2. Sada postoji potreba za povećanjem proizvodnje 2. proizvoda za y 2, koristeći, naravno, isti skup troškova. To se može učiniti, kao što se može vidjeti na sl. 2.2, prenos tehnologije u tačku B, za koju će, uz povećanje proizvodnje drugog proizvoda za y 2, biti potrebno smanjiti izlaz prvog proizvoda za y 1.
Imputedtroškoviprvi proizvod u odnosu na drugi u tački A pozvao. Ako je krivulja proizvodnih mogućnosti data implicitnom jednačinom F(y 1 ,y 2) = 0, tada je δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), gdje je parcijalni derivati se uzimaju u tački A. Ako pažljivo pogledate dotičnu cifru, naći ćete zanimljiv obrazac: kada se pomičete niz krivulju proizvodnih mogućnosti s lijeve strane, oportunitetni troškovi se smanjuju sa vrlo velikih vrijednosti na vrlo male .
2.3. Proizvodne funkcije i njihova svojstva
Proizvodna funkcija je analitički odnos koji povezuje varijabilne vrijednosti troškova (faktora, resursa) sa količinom outputa. Istorijski gledano, jedan od prvih radova na konstrukciji i korištenju proizvodnih funkcija bio je rad na analizi poljoprivredne proizvodnje u Sjedinjenim Državama. Godine 1909. Mitscherlich je predložio nelinearnu proizvodnu funkciju: gnojiva - prinos. Nezavisno, Spillman je predložio jednačinu eksponencijalnog prinosa. Na njihovoj osnovi izgrađen je niz drugih agrotehničkih proizvodnih funkcija.
Proizvodne funkcije su dizajnirane da modeliraju proizvodni proces određene ekonomske jedinice: posebnog preduzeća, industrije ili cjelokupne privrede države u cjelini. Uz pomoć proizvodnih funkcija rješavaju se sljedeći problemi:
ocjenjivanje povrata resursa u procesu proizvodnje;
predviđanje ekonomskog rasta;
razvoj opcija za plan razvoja proizvodnje;
optimiziranje funkcionisanja poslovne jedinice podložne zadatom kriterijumu i ograničenjima resursa.
Opšti oblik proizvodne funkcije: Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), gdje je Y indikator koji karakterizira proizvodne rezultate; X – faktor faktor i-tog proizvodnog resursa; n – broj faktorskih indikatora.
Proizvodne funkcije određuju dvije grupe pretpostavki: matematičke i ekonomske. Matematički se očekuje da proizvodna funkcija bude kontinuirana i dvostruko diferencibilna. Ekonomske pretpostavke su sljedeće: u nedostatku barem jednog proizvodnog resursa, proizvodnja je nemoguća, tj. Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =
Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …
Y(X 1 , X 2 , …, 0, …, X n) = …
Y(X 1, X 2, …, X i, …, 0) = 0.
Međutim, nije moguće na zadovoljavajući način odrediti jedini učinak Y za date troškove X koristeći prirodne indikatore: naš izbor se suzio samo na “krivu” proizvodnih mogućnosti K x . Iz tih razloga razvijena je samo teorija proizvodnih funkcija proizvođača, čiji se output može okarakterizirati jednom vrijednošću - bilo obimom outputa, ako se proizvodi jedan proizvod, ili ukupnom vrijednošću cjelokupnog outputa.
Prostor troškova je m-dimenzionalan. Svaka tačka u troškovnom prostoru X = (x 1, ..., x m) odgovara jednom maksimalnom outputu (vidi sliku 2.1) proizvedenom uz pomoć ovih troškova. Ovaj odnos se naziva proizvodna funkcija. Međutim, proizvodna funkcija se obično razumije manje restriktivno i svaki funkcionalni odnos između inputa i outputa smatra se proizvodnom funkcijom. U nastavku ćemo pretpostaviti da proizvodna funkcija ima potrebne derivate. Pretpostavlja se da proizvodna funkcija f(X) zadovoljava dva aksioma. Prvi od njih navodi da postoji podskup prostora troškova tzv ekonomska oblast E, u kojem povećanje bilo koje vrste inputa ne dovodi do smanjenja outputa. Dakle, ako su X 1, X 2 dvije tačke ovog područja, onda X 1 X 2 implicira f(X 1) f(X 2). U diferencijalnom obliku, to se izražava u činjenici da su u ovom području svi prvi parcijalni izvodi funkcije nenegativni: f/x 1 ≥ 0 (za bilo koju rastuću funkciju izvod je veći od nule). Ovi derivati se nazivaju marginalni proizvodi, a vektor f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – vektor marginalnih proizvoda (pokazuje koliko puta će se proizvodnja promijeniti kada se troškovi promijene).
Drugi aksiom kaže da postoji konveksni podskup S ekonomske domene za koji su podskupovi (XS:f(X) a) konveksni za sve a 0. U ovom podskupu S, Hesova matrica sastavljena od drugi izvod funkcije f(X) , je negativno određen, dakle, 2 f/x 2 i
Hajde da se zadržimo na ekonomskom sadržaju ovih aksioma. Prvi aksiom kaže da proizvodna funkcija nije neka potpuno apstraktna funkcija koju je izmislio matematički teoretičar. Ona, doduše ne u cijelom svom domenu definicije, već samo u jednom dijelu, odražava ekonomski važnu, neospornu i istovremeno trivijalnu tvrdnju: VU razumnoj ekonomiji, povećanje troškova ne može dovesti do smanjenja proizvodnje. Iz drugog aksioma ćemo objasniti samo ekonomsko značenje zahtjeva da izvod 2 f/x 2 i bude manji od nule za svaku vrstu troškova. Ovo svojstvo se u ekonomiji naziva izaZakon opadajućeg prinosa ili opadajućeg prinosa: kako troškovi rastu, počevši od određenog trenutka (prilikom ulaska u regiju S!), pogranični proizvod počinje da se smanjuje. Klasičan primjer ovog zakona je dodavanje sve više i više rada u proizvodnju žita na fiksnom komadu zemlje. U nastavku se pretpostavlja da se proizvodna funkcija razmatra na području S u kojem vrijede oba aksioma.
Možete kreirati proizvodnu funkciju za dato preduzeće, a da o tome ništa ne znate. Potrebno je samo da instalirate brojač (bilo osobu ili neku vrstu automatskog uređaja) na kapiji preduzeća, koji će evidentirati X – uvezeni resursi i Y – količinu proizvoda koje je preduzeće proizvelo. Ako akumulirate dovoljnu količinu takvih statičkih informacija i uzmete u obzir rad poduzeća u različitim režimima, tada možete predvidjeti učinak, znajući samo količinu uvezenih resursa, a to je znanje o proizvodnoj funkciji.
2.4. Cobb-Douglas proizvodna funkcija
Razmotrimo jednu od najčešćih proizvodnih funkcija - Cobb-Douglasovu funkciju: Y = AK L , gdje su A, , > 0 konstante, +
Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.
Negativnost drugih parcijalnih derivata, odnosno opadajućih graničnih proizvoda: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.
Prijeđimo na glavne ekonomske i matematičke karakteristike Cobb-Douglasove proizvodne funkcije. Prosječna produktivnost rada definira se kao y = Y/L – odnos količine proizvedenog proizvoda i količine utrošenog rada; prosječna kapitalna produktivnost k = Y/K – odnos obima proizvedenog proizvoda i vrijednosti sredstava.
Za Cobb-Douglasovu funkciju, prosječna produktivnost rada y = AK L , a zbog uslova , s povećanjem troškova rada, prosječna produktivnost rada opada. Ovaj zaključak omogućava prirodno objašnjenje – budući da vrijednost drugog faktora K ostaje nepromijenjena, to znači da novoprivučena radna snaga nije opskrbljena dodatnim sredstvima za proizvodnju, što dovodi do smanjenja produktivnosti rada (to vrijedi i za najopštiji slučaj - na nivou proizvodnih setova).
Granična produktivnost rada Y/L = AβK α L β -1 > 0, što pokazuje da je za Cobb-Douglasovu funkciju granična produktivnost rada proporcionalna prosječnoj produktivnosti i manja od nje. Prosječna i granična produktivnost kapitala određuju se na sličan način. Za njih važi i naznačeni odnos - granična produktivnost kapitala je proporcionalna prosečnoj produktivnosti kapitala i manja je od nje.
Važna karakteristika je kao npr odnos kapitala i rada f = K/L, prikazuje obim sredstava po zaposlenom (po jedinici rada).
Nađimo sada radnu elastičnost proizvodnje:
(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.
Značenje je jasno parametar - Ovo elastičnost (odnos granične produktivnosti rada prema prosječnoj produktivnosti rada) proizvodnje po radu. Radna elastičnost proizvodnje znači da je za povećanje proizvodnje za 1% potrebno povećati obim radnih resursa za %. Ima slično značenje parametar – je elastičnost proizvodnje kroz fondove.
I još jedno značenje se čini zanimljivim. Neka je + = 1. Lako je provjeriti da je Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (zamjenom prethodno izračunatih Y/K, Y/L u ovu formulu). Pretpostavimo da se društvo sastoji samo od radnika i preduzetnika. Tada se prihod Y dijeli na dva dijela - prihod radnika i prihod poduzetnika. Budući da se pri optimalnoj veličini kompanije vrijednost Y/L - granični proizvod rada - poklapa sa plate(ovo se može dokazati), tada (Y/L)L predstavlja prihod radnika. Slično, vrijednost Y/K je granični prinos na kapital, čije je ekonomsko značenje profitna stopa, pa (Y/K)K predstavlja prihod preduzetnika.
Cobb-Douglasova funkcija je najpoznatija među svim proizvodnim funkcijama. U praksi se prilikom konstruisanja ponekad odustaju od nekih zahteva (na primer, zbir + može biti veći od 1 itd.).
Primjer 1. Neka je proizvodna funkcija Cobb-Douglasova funkcija. Za povećanje proizvodnje za a = 3%, potrebno je povećati osnovna sredstva za b = 6% ili broj zaposlenih za c = 9%. Trenutno jedan radnik proizvodi proizvode u vrijednosti M = 10 4 rublje mjesečno . , a ukupan broj zaposlenih je L = 1000. Osnovna sredstva su procenjena na K = 10 8 rubalja. Pronađite proizvodnu funkciju.
Rješenje. Nađimo koeficijente , : = a/b = 3/6 = 1/2, = a/c = = 3/9 = 1/3, dakle, Y = AK 1/2 L 1/3. Da bismo pronašli A, zamjenjujemo vrijednosti K, L, M u ovu formulu, imajući na umu da je Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = A(10 8) 1/2 1000 1/3. Dakle, A = 100. Dakle, proizvodna funkcija ima oblik: Y = 100K 1/2 L 1/3.
2.5. Teorija firme
U prethodnom dijelu, prilikom analize i modeliranja ponašanja proizvođača, koristili smo samo prirodne pokazatelje i bez cijena, ali nismo mogli konačno riješiti problem proizvođača, odnosno ukazati na jedini pravac djelovanja za njega u trenutnom uslovima. Sada razmotrimo cijene. Neka je P vektor cijene. Ako je T = (X,Y) – tehnologija, tj. vektor „input-output“, X – troškovi, Y – izlaz, tada skalarni proizvod PT = PX + PY je dobit od upotrebe tehnologije T (troškovi su negativne količine). Sada formulirajmo matematičku formalizaciju aksioma koji opisuje ponašanje proizvođača.
Problem proizvođača: Proizvođač bira tehnologiju iz svog proizvodnog skupa, s ciljem maksimiziranja profita . Dakle, proizvođač rješava sljedeći problem: PT→max, Tτ. Ovaj aksiom uvelike pojednostavljuje situaciju izbora. Dakle, ako su cijene pozitivne, što je prirodno, onda će “output” komponenta rješenja ovog problema automatski ležati na krivulji proizvodnih mogućnosti. Zaista, neka T = (X,Y) bude neko rješenje za problem proizvođača. Tada postoji ZK x , Z Y, dakle, P(X, Z) P(X, Y), što znači da je tačka (X, Z) također rješenje problema proizvođača.
Za slučaj dvije vrste proizvoda, problem se može riješiti grafički (slika 2.3). Da biste to učinili, trebate "pomjeriti" pravu liniju okomitu na vektor P u smjeru gdje pokazuje; tada će posljednja tačka, kada ova prava linija i dalje siječe proizvodni skup, biti rješenje (na slici 2.3 to je tačka T). Kao što je lako vidjeti, stroga konveksnost traženog dijela proizvodnog skupa u drugom kvadrantu garantuje jedinstvenost rješenja. Isto razmišljanje važi i u opštem slučaju, za veći broj tipova ulaza i izlaza. Međutim, nećemo ići tim putem, već ćemo koristiti aparat proizvodnih funkcija i nazvati proizvođača firmom. Dakle, output firme se može okarakterizirati jednom vrijednošću - bilo obimom proizvodnje, ako se proizvodi jedan proizvod, ili ukupnom vrijednošću cjelokupne proizvodnje. Prostor troškova je m-dimenzionalan, vektor troškova X = (x 1, ..., x m). Troškovi jedinstveno određuju izlaz Y, a ovaj odnos je proizvodna funkcija Y = f(X).
Rice. 2.3. Rješavanje problema proizvođača
U ovoj situaciji, označimo sa P vektor cijena robe-troškova i neka je v cijena jedinice proizvedene robe. Dakle, profit W, koji je u konačnici funkcija X (i cijene, ali se one smatraju konstantnim), je W(X) = vf(X) – PX→max, X 0. Izjednačavanje parcijalnih izvoda funkcije W na nulu, dobijamo:
v(f/x j) = p j za j = 1, …, m ili v(f/X) = P (2.1)
Pretpostavićemo da su svi troškovi striktno pozitivni (nulte jedinice se jednostavno mogu isključiti iz razmatranja). Tada se ispostavlja da je tačka data relacijom (2.1) interna, odnosno tačka ekstrema. A budući da se pretpostavlja da je Hessiova matrica proizvodne funkcije f(X) negativno definirana (na osnovu zahtjeva za proizvodne funkcije), ovo je maksimalna tačka.
Dakle, pod prirodnim pretpostavkama o proizvodnim funkcijama (ove pretpostavke su ispunjene za proizvođača sa zdravim razumom i u razumnoj ekonomiji), relacija (2.1) daje rješenje za problem firme, tj. određuje obim X * prerađenih resursa, što rezultira izlazom Y * = f(X *) Tačka X *, ili (X *,f(X *)) će se zvati optimalnim rješenjem kompanije. Zadržimo se na ekonomskom značenju relacije (2.1). Kao što je navedeno, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) se naziva vektor graničnog proizvoda, ili vektor graničnih proizvoda, a f/x i se zove i-ti marginalni proizvod, ili otpustite odgovor na promjenu i - troškovi stavke. Dakle, vf/x i dx i je Cijena i -ti granični proizvod dodatno dobijen od dx i jedinice i th resurs. Međutim, cijena dx i jedinica i-tog resursa jednaka je r i dx i , tj. postignuta je ravnoteža: moguće je uključiti dodatne dx i jedinice i-tog resursa u proizvodnju, trošenje r i dx i na njegovu kupovinu, ali neće biti dobitka, t . Shodno tome, optimalna tačka data relacijom (2.1) je tačka ravnoteže – više nije moguće izvući više od robe-resursa nego što je potrošeno na njihovu kupovinu.
Očigledno, povećanje proizvodnje firme odvijalo se postepeno: u početku su troškovi marginalnih proizvoda bili manji od nabavne cijene robe i resursa potrebnih za njihovu proizvodnju. Obim proizvodnje raste sve dok relacija (2.1) ne počne da se ispunjava: jednakost vrijednosti graničnih proizvoda i nabavne cijene dobara i resursa potrebnih za njihovu proizvodnju.
Pretpostavimo da je u problemu firme W(X) = vf(X) – PX → max, X 0, rješenje X * jedinstveno za v > 0 i P > 0. Tako dobijamo vektorsku funkciju X * = X * ( v, P), ili funkcije x * I = x * i (v, p 1, p m) za i = 1, …, m. Ove m funkcije se pozivaju funkcije potražnje za resursima po datim cijenama za proizvode i resurse. U suštini, ove funkcije znače da ako su utvrđene cijene P za resurse i cijena v za proizvedenu robu, dati proizvođač (karakteriziran datom proizvodnom funkcijom) određuje volumen prerađenih resursa koristeći funkcije x * I = x * i (v, p 1, p m) i traži ove količine na tržištu. Poznavajući količine prerađenih resursa i supstituirajući ih u proizvodnu funkciju, dobijamo output kao funkciju cijena; označimo ovu funkciju sa q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . To se zove funkcija opskrbe proizvodom zavisno od cijene v za proizvode i cijene P za resurse.
A-priorat, resurs i-te vrste pozvao male vrijednosti, ako i samo ako,x * i /v, tj. kada cijena proizvoda raste, potražnja za resursom niske vrijednosti opada. Moguće je dokazati važnu relaciju: q * /P = -X * /v ili q * /p i = -x * i /v, za i = 1, …, m. Shodno tome, povećanje cijene proizvoda dovodi do povećanja (smanjenja) potražnje za određenom vrstom resursa ako i samo ako povećanje plaćanja za ovaj resurs dovodi do smanjenja (povećanja) optimalne proizvodnje. Ovo pokazuje glavno svojstvo resursa male vrijednosti: povećanje plaćanja za njih dovodi do povećanja proizvodnje! Međutim, moguće je striktno dokazati postojanje takvih resursa, čije povećanje plaćanja dovodi do smanjenja proizvodnje (tj. svi resursi ne mogu biti male vrijednosti).
Također je moguće dokazati da su x * i /p i komplementarni ako su x * i /p j zamjenjivi ako je x * i /p j > 0. To jest, za komplementarne resurse, povećanje cijene jedan od njih dovodi do pada potražnje za drugim, a za zamjenjivim resursima, povećanje cijene jednog od njih dovodi do povećanja potražnje za drugim. Primjeri komplementarnih resursa: kompjuter i njegove komponente, namještaj i drvo, šampon i balzam za njega. Primjeri zamjenjivih resursa: šećer i zamjene za šećer (na primjer, sorbitol), lubenice i dinje, majonez i pavlaka, puter i margarin, itd.
Primjer 2. Za preduzeće sa proizvodnom funkcijom Y = 100K 1/2 L 1/3 (iz primera 1), pronađite optimalnu veličinu ako je period amortizacije osnovnih sredstava N = 12 meseci, mesečna plata zaposlenog je a = 1000 rubalja .
Rješenje. Optimalna veličina outputa ili obima proizvodnje nalazi se iz relacije (2.1). U ovom slučaju, output se mjeri u monetarnom smislu, tako da je v = 1. Trošak mjesečnog održavanja jedne rublje sredstava je 1/N, tj. dobijamo sistem jednačina
, rješavajući koje nalazimo odgovor:
, L = 8 . 10 3, K = 144. 10 6.
2.6. Zadaci
1. Neka je proizvodna funkcija Cobb-Douglasova funkcija. Za povećanje proizvodnje za 1%, potrebno je povećati osnovna sredstva za b = 4% ili broj zaposlenih za c = 3%. Trenutno jedan radnik proizvodi proizvode u vrijednosti M = 10 5 rubalja mjesečno . , a ukupan broj radnika je L = 10 4 . Osnovna sredstva su procenjena na K = 10 6 rubalja. Naći proizvodnu funkciju, prosječnu produktivnost kapitala, prosječnu produktivnost rada, odnos kapitala i rada.
2. Grupa „šatlova“ u iznosu od E odlučila je da se ujedini sa N prodavačima. Dobit od radnog dana (prihod minus rashodi, ali ne i plate) izražava se formulom Y = 600(EN) 1/3. Plata šatl radnika je 120 rubalja. po danu, prodavac - 80 rubalja. za jedan dan. Pronađite optimalan sastav grupe „šatlova“ i prodavaca, odnosno koliko „šatlova“ treba da bude i koliko prodavaca.
3. Biznismen je odlučio da osnuje malu transportnu kompaniju. Upoznavši se sa statistikom, uvidio je da je približna zavisnost dnevnog prihoda od broja automobila A i broja N izražena formulom Y = 900A 1/2 N 1/4. Amortizacija i ostali dnevni troškovi za jednu mašinu su 400 rubalja, dnevna plata radnika je 100 rubalja. Pronađite optimalan broj radnika i vozila.
4. Biznismen je odlučio da otvori pivnicu. Pretpostavimo da je zavisnost prihoda Y (minus cijena piva i grickalica) od broja stolova M i broja konobara F izražena formulom Y = 200M 2/3 F 1/4. Cijena za jedan stol je 50 rubalja, plata konobara je 100 rubalja. Pronađite optimalnu veličinu šanka, odnosno broj konobara i stolova.
Nastavimo sa proučavanjem modela uravnoteženog ekonomskog rasta na opštijem nivou i pređimo na modele ekonomskog blagostanja koji su im bliski. Potonji, kao i modeli rasta, spadaju u normativne modele.
Kada govorimo o ekonomiji blagostanja, mislimo na njen razvoj kada svi potrošači ujednačeno dostignu maksimum svoje korisnosti. Međutim, u praksi se takva idealna situacija javlja prilično rijetko, jer se dobrobit nekih često postiže na račun pogoršanja stanja drugih. Stoga je realnije govoriti o nivou distribucije dobara kada nijedan potrošač ne može povećati svoje blagostanje, a da ne zadire u interese drugih potrošača.
Ako na putanji ravnotežnog rasta nijedan potrošač, kao nijedan proizvođač, ne može kupiti više bez dodatnih troškova (bez profita u ravnoteži), onda kada se privreda razvija duž putanje takvog „blagostanja“, nijedan potrošač ne može postati bogatiji a da ne postane siromašniji u isto vreme drugog.
Iz prethodnog odeljka proizilazi da uzimajući u obzir faktore vremena u matematički modeli ekonomija pomaže da se otkrije potpuno logična veza između ekonomskih procesa i prirodnog rasta proizvodnih i potrošačkih sposobnosti. Prema linearnim modelima, pod određenim pretpostavkama, stopa takvog rasta jednaka je procentu kapitala, a odgovarajući proces ekonomske ekspanzije karakteriše uravnoteženo povećanje intenziteta proizvodnje svih proizvoda i ravnomjerno smanjenje njihovih cijena. U ovom odeljku ćemo formulisati opšti dinamički model proizvodnje, koji pokriva prethodno razmatrane linearne modele kao posebne slučajeve, i proučavati pitanja uravnoteženog rasta u njemu.
Općenitost modela koji se ovdje razmatra je da se proizvodni proces opisuje ne kroz proizvodnu funkciju općenito, a posebno kroz linearnu proizvodnu funkciju (kao u modelima Leontief i Neumann), već korištenjem tzv. tehnološki set.
Tehnološka raznolikost(označimo ga simbolom ) je skup ekonomskih transformacija kada je proizvodnja proizvoda po trošku tehnološki moguća ako i samo ako je . Par se zove proizvodni proces, dakle skup predstavlja skup svih proizvodnih procesa mogućih datom tehnologijom. Na primjer, u modelu Leontiev tehnološki skup j-th industrija ima formu gdje je bruto proizvodnja j-ti proizvod, i - j kolonu tehnološke matrice A. Dakle, tehnološki set u Leontijevljevom modelu u cjelini jeste
iu Neumannovom modelu -
Proizvodni proces, općenito govoreći, može sadržavati proizvode koji se i konzumiraju i oslobađaju (na primjer, goriva i maziva, brašno, meso, itd.). U ekonomskim i matematičkim modelima, radi veće općenitosti, često se pretpostavlja da se svaki proizvod može i potrošiti i proizvesti (na primjer, u modelima Leontiev i Neumann). U ovom slučaju vektori x I y imaju istu dimenziju i njihove odgovarajuće komponente predstavljaju iste proizvode.
Neka je potrošeni volumen i-ti proizvod, i njegov je obim proizvodnje. Tada se naziva razlika neto izdanje u toku . Stoga se umjesto procesa proizvodnje često razmatra vektor neto outputa koji ovu razliku karakteriše kao protok(ili intenzitet), tj. iznos neto proizvodnje po jedinici vremena. U ovom slučaju, tehnološki skup se shvata kao skup svih mogućih čistih izlaza. i vektor se zove proces sa koncem.
Navedimo neka svojstva tehnološkog skupa, koja su odraz osnovnih zakona proizvodnje.
Različiti proizvodni procesi se mogu porediti u smislu efikasnosti i profitabilnosti.
Za proces se kaže da je efikasniji od procesa ako , . Proces se zove efektivno, osim ako ne sadrži efikasnije procese od .
Neka je vektor cijene. Kažu proces profitabilnije od procesa ako vrijednost nije manja od vrijednosti .
Ove dvije opcije za prirodnu i troškovnu procjenu procesa pokazuju se kao praktički ekvivalentne.
Teorema 6.1. Neka je tehnološki skup. Zatim a) ako, s obzirom na vektor cijene, proces maksimizira profit na skupu, onda je to efikasan proces; b) ako je u konveksan i efikasan je proces, tada postoji vektor cijene takav da profit dostiže maksimum na
Odredimo strukturu tehnološkog skupa za one modele koji uzimaju u obzir faktor vremena. Razmotrimo period planiranja sa diskretnim tačkama Neka privreda bude okarakterisana zalihama robe u godini (tj. na početku planskog perioda). U ovom slučaju se kaže da je privreda u stanju . Do kraja perioda privreda dolazi u drugačije stanje, koje je predodređeno prethodnim stanjem. U ovom slučaju kažu da je proces proizvodnje implementiran gdje je zadati tehnološki skup. Ovde se vektor posmatra kao troškovi nastali na početku perioda i kao rezultat koji odgovara tim troškovima, proizveden sa vremenskim odmakom od jedne godine. U narednim fazama proizvodnje imamo
itd. Na ovaj način se sprovodi dinamiku ekonomskog razvoja. Takvo ekonomsko kretanje je samoodrživo, jer se proizvodi u sistemu reprodukuju bez ikakvog priliva spolja.
Konačan niz vektora se naziva prihvatljivu ekonomsku putanju(opisano tehnološkim kompletom Z) u vremenskom intervalu ako svaki par njegova dva uzastopna člana pripada skupu Z, tj.
Označimo sa skupom svih dopuštenih putanja na intervalu koji odgovara početnom stanju
Neka Za putanju se kaže da je efikasnija nego ako se zove Trajektorija efektivna putanja, ako ne sadrži efikasniju putanju od . Putanja se zove profitabilnije nego ako
Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije
Novgorodski državni univerzitet nazvan po Jaroslavu Mudrom
Sažetak o disciplini:
Menadžment
Završio student gr.6061 zo
Makarova S.V.
Prihvatio Suchkov A.V.
Velikiy Novgorod
1. PROCES PROIZVODNJE I NJEGOVI ELEMENTI.
Osnovu proizvodne i ekonomske aktivnosti preduzeća čini proizvodni proces, koji predstavlja skup međusobno povezanih procesa rada i prirodnih procesa koji imaju za cilj proizvodnju određenih vrsta proizvoda.
Organizacija proizvodnog procesa sastoji se od spajanja ljudi, oruđa i predmeta rada u jedinstven proizvodni proces materijalna dobra, kao i u osiguravanju racionalne kombinacije u prostoru i vremenu glavnih, pomoćnih i servisnih procesa.
Proizvodni procesi u preduzećima su detaljni po sadržaju (proces, faza, operacija, element) i mestu realizacije (preduzeće, prerađivačka jedinica, radionica, odeljenje, odeljenje, jedinica).
Brojni proizvodni procesi koji se odvijaju u preduzeću čine ukupni proizvodni proces. Proces proizvodnje svake pojedinačne vrste proizvoda preduzeća naziva se privatni proizvodni proces. Zauzvrat, u privatnom proizvodnom procesu parcijalni proizvodni procesi se mogu razlikovati kao potpuni i tehnološki izolirani elementi privatnog proizvodnog procesa koji nisu primarni elementi proizvodnog procesa (obično ga izvode radnici različitih specijalnosti koristeći opremu za različite svrhe).
Treba ga smatrati primarnim elementom proizvodnog procesa tehnološke operacije- tehnološki homogen dio proizvodnog procesa koji se izvodi na jednom radnom mjestu. Tehnološki izolirani parcijalni procesi predstavljaju faze proizvodnog procesa.
Parcijalni proizvodni procesi se mogu klasificirati prema nekoliko kriterija:
Za predviđenu svrhu;
Priroda kursa tokom vremena;
Način uticaja na predmet rada;
Priroda korištenog rada.
Procesi se razlikuju po svrsi glavni, pomoćni i servisni.
Basic proizvodni procesi - procesi pretvaranja sirovina u gotove proizvode, koji su glavna, srž
proizvodi za ovo preduzeće. Ovi procesi su determinisani tehnologijom proizvodnje ove vrste proizvoda (priprema sirovina, hemijska sinteza, mešanje sirovina, pakovanje i pakovanje proizvoda).
Auxiliary proizvodni procesi su usmjereni na proizvodnju proizvoda ili obavljanje usluga kako bi se osigurao normalan tok osnovnih proizvodnih procesa. Takvi proizvodni procesi imaju svoje predmete rada, različite od predmeta rada glavnih proizvodnih procesa. U pravilu se izvode paralelno s glavnim proizvodnim procesima (popravka, pakovanje, upravljanje alatima).
Poslužitelji proizvodni procesi obezbeđuju stvaranje normalnih uslova za odvijanje glavnih i pomoćnih proizvodnih procesa. Oni nemaju svoj predmet rada i po pravilu se odvijaju uzastopno sa glavnim i pomoćnim procesima, isprepletenim njima (transport sirovina i gotovih proizvoda, njihovo skladištenje, kontrola kvaliteta).
Glavni proizvodni procesi u glavnim radionicama (prostorima) preduzeća čine njegovu glavnu proizvodnju. Pomoćni i uslužni proizvodni procesi, odnosno u pomoćnim i uslužnim radionicama čine pomoćnu ekonomiju.
Različite uloge proizvodnih procesa u ukupnom proizvodnom procesu određuju razlike u mehanizmima upravljanja različitim tipovima proizvodnih jedinica. Istovremeno, klasifikacija parcijalnih proizvodnih procesa prema njihovoj namjeni može se izvršiti samo u odnosu na konkretan privatni proces.
Kombinacija glavnih, pomoćnih, servisnih i drugih procesa u određenom nizu čini strukturu proizvodnog procesa.
Glavni proizvodni proces predstavlja proces proizvodnje glavnih proizvoda koji uključuje prirodne procese, tehnološke i radne procese, kao i međuoperativno održavanje.
Prirodni proces je proces koji dovodi do promjene svojstava i sastava predmeta rada, ali se odvija bez ljudske intervencije (na primjer, u proizvodnji određenih vrsta kemijskih proizvoda).
Prirodni proizvodni procesi se mogu smatrati neophodnim tehnološkim prekidima između operacija (hlađenje, sušenje, starenje, itd.)
Tehnološki proces je skup procesa usljed kojih nastaju sve potrebne promjene u predmetu rada, odnosno pretvara se u gotov proizvod.
Pomoćne operacije doprinose obavljanju glavnih operacija (transport, kontrola, sortiranje proizvoda, itd.).
Radni proces - skup svih radnih procesa (glavnih i pomoćnih operacija).
Struktura proizvodnog procesa se menja pod uticajem tehnologije upotrebljene opreme, podele rada, organizacije proizvodnje itd.
Interoperativno praćenje - prekidi predviđeni tehnološkim procesom.
Prema prirodi toka vremena razlikuju se kontinuirano I periodično proizvodni procesi. U kontinuiranim procesima nema prekida u proizvodnom procesu. Operacije održavanja proizvodnje izvode se istovremeno ili paralelno s glavnim operacijama. U periodičnim procesima, izvođenje glavnih i uslužnih operacija odvija se uzastopno, zbog čega se glavni proizvodni proces na vrijeme prekida.
Prema načinu uticaja na predmet rada razlikuju se mehanički, fizički, hemijski, biološki i druge vrste proizvodnih procesa.
Prema prirodi upotrebljene radne snage, proizvodni procesi se dijele na automatizovani, mehanizovani i ručni.
Principi organizacije proizvodnog procesa predstavljaju polazišta na osnovu kojih se vrši izgradnja, rad i razvoj proizvodnog procesa.
Postoje sljedeći principi za organizaciju proizvodnog procesa:
diferencijacija - podjela proizvodnog procesa na posebne dijelove (procese, operacije, faze) i njihovo dodjeljivanje relevantnim odjeljenjima preduzeća;
kombinacija - kombinovanje svih ili dijela različitih procesa za proizvodnju određenih vrsta proizvoda unutar jedne lokacije, radionice ili proizvodnje;
koncentracija - koncentracija određenih proizvodnih operacija za proizvodnju tehnološki homogenih proizvoda ili obavljanje funkcionalno homogenih poslova na pojedinim radnim mjestima, prostorima, radionicama ili proizvodnim objektima preduzeća;
specijalizacija - dodeljivanje svakom radnom mestu i svakom odeljenju strogo ograničenog spektra radova, operacija, delova i proizvoda;
univerzalizacija - proizvodnja dijelova i proizvoda širokog spektra ili izvođenje heterogenih proizvodnih operacija na svakom radnom mjestu ili proizvodnoj jedinici;
proporcionalnost - kombinacija pojedinih elemenata proizvodnog procesa, koja se izražava u njihovom određenom kvantitativnom međusobnom odnosu;
paralelizam - istovremena obrada različitih delova jedne serije za datu operaciju na više radnih mesta itd.;
direktnost - sprovođenje svih faza i operacija proizvodnog procesa u uslovima najkraćeg puta kroz predmet rada od početka do kraja;
ritmičnost - ponavljanje kroz utvrđene vremenske periode svih pojedinačnih proizvodnih procesa i jednog procesa za proizvodnju određene vrste proizvoda.
Navedeni principi organizacije proizvodnje u praksi ne djeluju izolovano jedan od drugog, oni su usko isprepleteni u svakom proizvodnom procesu. Principi organizacije proizvodnje se razvijaju neravnomjerno - u jednom ili drugom periodu jedan ili drugi princip dolazi do izražaja ili dobija sekundarnu važnost.
Ako se prostorna kombinacija elemenata proizvodnog procesa i svih njegovih varijeteta realizuje na osnovu formiranja proizvodne strukture preduzeća i njegovih podela, organizacija proizvodnih procesa u vremenu se izražava u uspostavljanju redosleda izvođenja pojedinačnih logističke operacije, racionalna kombinacija vremena izvršenja razne vrste radova, utvrđivanje kalendarskih i planskih normi kretanja predmeta rada.
Osnova za izgradnju efikasnog proizvodnog logističkog sistema je plan proizvodnje, formiran na osnovu zadatka zadovoljavanja potražnje potrošača i odgovora na pitanja: ko, šta, gde, kada i u kojoj količini će proizvoditi (proizvoditi). Plan proizvodnje omogućava utvrđivanje zapreminskih i vremenskih karakteristika tokova materijala diferenciranih za svaku strukturnu proizvodnu jedinicu.
Metode koje se koriste za izradu plana proizvodnje zavise od vrste proizvodnje, kao i karakteristika potražnje i parametara narudžbi: pojedinačna, mala, serijska, velika, masovna.
Karakteristike vrste proizvodnje dopunjuju se karakteristikama proizvodnog ciklusa – to je vremenski period između početka i završetka proizvodnog procesa u odnosu na konkretan proizvod unutar logističkog sistema (preduzeća).
Proizvodni ciklus se sastoji od radnog vremena i vremena pauze tokom proizvodnje proizvoda.
Zauzvrat, radni period se sastoji od glavnog tehnološkog vremena, vremena za obavljanje transportnih i kontrolnih operacija i vremena komisioniranja.
Vrijeme pauza dijeli se na vrijeme međuoperativnih, međulokacijskih i drugih pauza.
Trajanje proizvodnog ciklusa u velikoj meri zavisi od karakteristika kretanja toka materijala, koje može biti sekvencijalno, paralelno, paralelno-sekvencijalno.
Osim toga, na trajanje proizvodnog ciklusa utiču i oblici tehnološke specijalizacije proizvodnih jedinica, sistem organizacije samih proizvodnih procesa, progresivnost korišćene tehnologije i stepen unifikacije proizvedenih proizvoda.
Proizvodni ciklus uključuje i vrijeme čekanja – to je interval od trenutka prijema narudžbe do početka njenog izvršenja, a da bi se to svelo na najmanju moguću mjeru važno je na početku odrediti optimalnu seriju proizvoda – seriju u kojoj su troškovi po proizvodu minimalno.
Da bi se riješio problem izbora optimalne serije, općenito je prihvaćeno da se trošak proizvodnje sastoji od direktnih troškova proizvodnje, troškova skladištenja zaliha i troškova zamjene opreme i zastoja prilikom izmjene serija.
U praksi se optimalna serija često određuje direktnim brojanjem, ali pri kreiranju logističkih sistema efikasnije je koristiti metode matematičkog programiranja.
U svim oblastima delatnosti, a posebno u proizvodnoj logistici, sistem normi i standarda je od izuzetne važnosti. Uključuje i agregirane i detaljne standarde za potrošnju materijala, energije, korištenje opreme itd.
2. Metode rješavanja transportnog problema.
Transportni problem (klasičan)- problem optimalnog plana transporta homogenog proizvoda od homogenih mesta dostupnosti do homogenih mesta potrošnje na homogenim vozilima (unapred određena količina) sa statičkim podacima i linearnim pristupom (ovo su glavni uslovi problema).
Za klasični transportni problem razlikuju se dva tipa problema: kriterijum troškova (postizanje minimuma troškova transporta) ili udaljenosti i vremenski kriterijum (minimum vremena utrošenog na transport).
Povijest traženja metoda rješenja
Problem je prvi formalizovao francuski matematičar Gaspard Monge V 1781 godine . Glavni napredak ostvaren je na poljima tokom Veliki domovinski rat Sovjetski matematičar i ekonomista Leonid Kantorovich . Zato se ovaj problem ponekad naziva Monge-Kantorovich transportni problem.
PF izokvante i izokline
Ako se ponovo okrenemo metodi analogije, onda, kao iu slučaju modela ponašanja potrošača, u teoriji modeliranja proizvodnih procesa možemo istaknuti koncept krive indiferencije proizvođača. Ovaj koncept može odgovarati mnogim skupovima proizvodnih faktora, koji odgovaraju istoj količini proizvedenog proizvoda, odnosno:
Zove se skup tačaka koje zadovoljavaju jednakost (4.1). izokvanta PF ( iso- konstantno, količina- količina). Svaka izokvanta odgovara različitom nivou proizvodnje proizvoda ( y ), a izokvante koje su udaljenije od nulte tačke (tačke neaktivnosti) odgovaraju višim vrijednostima y . Izokvante također imaju ista svojstva kao krive indiferencije (paralelne jedna s drugom, ne sijeku se sa apscisom i ordinatnom osom, itd.) Za dvofaktorski PF, izokvanta će u suštini izraziti funkcionalnu ovisnost kapitalnih troškova od troškova rada na dati nivo proizvedenog proizvoda:
Proizvođač, različitim tehnologijama, može birati različite kombinacije faktora proizvodnje i održavati konstantan nivo proizvodnje. Prema izokvanti, povećanje jednog faktora će dovesti do smanjenja drugog. Prema tome, mora postojati karakteristika koja omogućava da se proceni kompenzacija jednog faktora drugim. Ova karakteristika je granična stopa supstitucije(slično istoj karakteristici u teoriji potrošačke korisnosti):
, (4.2)
što pokazuje koliki je porast faktora j će nadoknaditi smanjenje faktora i po jedinici tako da nivo proizvodnje proizvoda ostane isti (zamjena faktora i faktor j ).
Prema tome, obrnuta zamjena (faktora j faktorom i) će biti okarakterisana recipročnom vrijednošću: .
Prema odnosu između koeficijenta elastičnosti i graničnog proizvoda (4.1), granična stopa supstitucije može se izraziti kao:
(4.3)
Prema (4.1) za dvofaktorski PF imamo:
- maksimalna stopa zamjene kapitala radom;
- maksimalna stopa zamjene rada kapitalom.
Prema (4.3), za dvofaktorski model, granična stopa supstitucije se također može izraziti koeficijentima elastičnosti:
, Gdje To
– odnos kapitala i rada.
Uz izokvante, važnu ulogu u PF imaju izoklinama – skupovi bodova u ekonomskoj oblasti za koje je granična stopa supstitucije i -th faktor j -m je konstanta:
Koristeći koncept izokline (izoklina), možete transformirati proizvoljan skup faktora (L,K) uključeno u set (Y, GOSPOĐA) , odnosno rješavanje sistema jednačina:
bice:
Homogeni PF sa konstantnom graničnom stopom supstitucije rada kapitalom i stepenom homogenosti δ=1
pripada klasi linearnih funkcija, tj .
Dakle, za dvofaktorski PF, svaku tačku izokvante karakterišu troškovi kapitala i rada ili granična stopa supstitucije rada kapitalom MRS LK i omjer kapitala i rada k . Ako se okrenemo geometrijskom prikazu, onda MRS LK jednak je ugaonom koeficijentu tangente na datu tačku izokvante, a vrijednost k je ugaoni koeficijent zraka koji izlazi iz početka i prolazi kroz datu tačku izokvante (vidi. Rice. 4.2).
Slika 4.2
Na primjer, u tački IN
vrijednost troškova rada je veća nego u tački A
, dakle, vrijednost MRS LK
u tački IN
manje nego u tački A
. Shodno tome, tačka IN
će odgovarati nižem omjeru kapitala i rada nego u tački A
.
Tako postaje očigledna veza između promjene odnosa kapitala i rada i granične stope supstitucije rada za kapital, odnosno opet dolazimo do pojma elastičnosti, odnosno elastičnosti supstitucije rada kapitalom, što pokazuje za koliko procenata će se promeniti odnos kapitala i rada kada se granična stopa supstitucije rada za kapital promeni za jedan procenat:
(4.4)
Također se može grafički pokazati da kako se zakrivljenost izokvante povećava, elastičnost Eσ
smanjuje se (vidi Rice. 4.3).
Slika 4.3
Imajte na umu da u oba slučaja u tačkama A I IN vrijednosti MRS LK ostaju isti, a vrijednost odnosa kapitala i rada u tački A viši nego u tački IN . Ovo implicira još jedno važno svojstvo: za homogeni PF, elastičnost supstitucije rada kapitalom zavisi samo od odnosa kapitala i rada i ostaje konstantna duž zraka koje izlaze iz nulte tačke.
Hajde da izrazimo vezu između MRS LK I k sa konstantnom elastičnošću Eσ . Prema (4.4) imamo:
(4.5)
Pretpostavljajući zavisnost GOSPOĐA LK(k) , možemo zapisati (4.5) u obliku obične diferencijalne jednadžbe:
(4.6)
Integracija (4.6) daje:
ili nakon konverzije:
, Gdje
Prema tome, uslov konstantnosti elastičnosti supstitucije rada kapitalom daje odnos po stepenu moći između količina MRS LK I k . Prema tome, slučaj jedinične elastičnosti će odgovarati linearnom odnosu između specificirane vrijednosti:
Uvođenje koncepta konstantne elastičnosti supstitucije dovelo je do opšti oblik homogeni PF, za koji je elastičnost supstitucije faktora konstantna. Takvi PF se nazivaju PF CES klasa (Konstantna elastičnost supstitucije). Prvo su predložene funkcije ove klase Arrow od Kennetha I Solow od Roberta 1961. godine. Funkcije ove klase pretpostavljaju da je zamjena rada kapitalom moguća samo u određenim granicama i da ne postoje tehnologije koje bi omogućile proizvodnju date količine proizvoda po cijeni faktora proizvodnje ispod određenih kritičnih vrijednosti. (Geometrijski, to znači da je moguće konstruirati asimptote na izokvantu, a one će odgovarati minimalnim mogućim vrijednostima rada i kapitala. Moguće je izvesti matematičke odnose za asimptote; ovaj materijal nećemo predstavljati u ovu prezentaciju.)
Mnogi PF-ovi su u suštini posebni ili ograničavajući slučajevi funkcija CES-a, čije su glavne karakteristike navedene Tabela 4.1.
Tabela 4.1
Pojam proizvodnog sistema i proizvodnog procesa. Tehnološki proces i tehnološki sklop
Glavni zadatak svakog proizvodnog procesa je stvaranje dodane vrijednosti i novog ekonomskog proizvoda, koji potom sudjeluje u kasnijim procesima razmjene i potrošnje. Poznato je da je proces proizvodnje uslov za nastanak procesa potrošnje, s jedne strane, as druge, prestanak potrošnje dovodi do prestanka procesa proizvodnje. Shodno tome, razvoj proizvodnih procesa je određen ekonomskim ponašanjem potrošača. Ovaj odnos se može predstaviti u obliku sljedećeg konceptualnog modela funkcionisanja privrednog subjekta:
Centralna karika je model proizvodnog procesa, koji povezuje ulazne varijable proizvodnog sistema sa izlaznim varijablama; model tržišta resursa je neophodan uslov za funkcionisanje proizvodnog procesa; model tržišta roba je neophodan uslov za postojanje i nastavak proizvodnog procesa; model odlučivanja - izbor najbolje, u određenom smislu, odluke proizvođača robe o obimu proizvodnje na osnovu informacija o tržišnim uslovima i proizvodnim mogućnostima.
Moderne reprezentacije u oblasti modeliranja proizvodnih procesa baziraju se na teorijama ekonomisti -neoklasicistički , koji je predložio model “ekonomske” osobe čije je ekonomsko ponašanje određeno funkcijom korisnosti.
dakle, proces proizvodnje je proces stvaranja dodatne vrijednosti kroz svrsishodnu transformaciju jednog skupa dobara u drugi. Ekonomski sistem u kojem je organizovan i odvija se proizvodni proces naziva se proizvodni sistem ili proizvodnju. Cilj svakog proizvodnog sistema je željeno konkretno konačno buduće stanje ili rezultat. ekonomska aktivnost. Sa stanovišta neoklasične ekonomske teorije, ciljevi proizvođača su da maksimizira prihod ili profit, ili da minimizira troškove. Roba koja se troši tokom procesa proizvodnje naziva se faktori proizvodnje, roba primljena kao rezultat procesa proizvodnje – proizvodnih proizvoda.
Sa ove tačke gledišta, svaki proizvodni sistem sa složenom unutrašnjom strukturom je „crna kutija“, dok su informacije o faktorima proizvodnje (input informacije) i proizvodnom proizvodu (rezultat) poznate, a nepoznata interna struktura se opisuje korišćenjem neke proizvodnje. funkcija. Istovremeno, moramo imati na umu da je model “crne kutije” koristan za ekonomistu, ali beskoristan za menadžera koji reformira organizacijske strukture i procesi unutar sistema.
Pored koncepta proizvodnih funkcija, za modeliranje proizvodnih procesa važni su i koncepti poput koncepta elastičnosti proizvodnih faktora i granične stope supstitucije faktora proizvodnje, jer resursi u proizvodnom sistemu mogu djelovati kao zamjenska roba. Osim toga, u stvarnom proizvodnom procesu nemoguće je proizvesti proizvod u potpunom odsustvu bilo kojeg faktora proizvodnje, odnosno može se govoriti o komplementarnosti faktora proizvodnje, odnosno o njihovoj komplementarnost.
Tehnologija- je tehnički način pretvaranja faktora proizvodnje u proizvode. Postoji ogroman broj dostupnih tehnologija, od kojih proizvođači biraju najefikasnije. Tehnologija definira odnos između elementa u između faktora proizvodnje i elementa v iz područja proizvoda. Tehnološki proces je skup odnosa između elemenata u i I v j (), stoga je to najjednostavniji model proizvodnog procesa. Zauzvrat, formira se skup tehnoloških procesa tehnološki set . Tehnološki setovi imaju sljedeća svojstva:
1. nemogućnost postojanja „roga izobilja“, odnosno nultog tehnološkog procesa (bez troškova proizvodnih faktora) pripada tehnološkom skupu i znači nečinjenje;
2. tehnološki skup je konveksan, odnosno tehnološki procesi se mogu kombinovati (neki tehnološki proces može biti konveksna kombinacija drugih);
3. tehnološki skup je ograničen odozgo, što je povezano sa ograničenim (iscrpnim) resursima (faktorima proizvodnje);
4. tehnološki skup je zatvoren, odnosno ima granice.
Efektivno tehnološki procesi su opisani tačkama koje leže na efektivnoj granici konveksnog tehnološkog skupa.
Metodom tehnoloških skupova moguće je opisati proizvodnju sa više artikala, jer je strogi prijelaz sa tehnoloških skupova na proizvodne funkcije moguć agregiranjem proizvodnih faktora i proizvoda.
U zaključku napominjemo da postoje dva alternativna pristupa rješavanju problema optimalnog upravljanja proizvodnim procesima. Prvi pristup razmatra problem maksimiziranja proizvodnje proizvoda pod fiksnim budžetskim ograničenjima. Rješenje ovog problema zasniva se na analizi proizvodne funkcije proizvodnog sistema, uzimajući u obzir tržišnu vrijednost rada i kapitala i veličinu proizvodnog budžeta. Drugi pristup rješava problem minimiziranja troškova proizvodnje na datom nivou proizvodnje proizvoda. Ovaj problem se rješava korištenjem funkcije troškova koja se može izračunati iz postojeće proizvodne funkcije. Ova dva pristupa dovode do istog rezultata pri rješavanju problema optimizacije. ( Zapamtite dualnost!).
Načini opisivanja tehnologija.
Proizvodnja je glavna oblast delatnosti kompanije. Firme koriste faktori proizvodnje, koji se takođe nazivaju input (input) faktori proizvodnje. Na primjer, vlasnik pekare koristi inpute kao što su rad radnika, sirovine u obliku brašna i šećera, te kapital uložen u peći, miksere i drugu opremu za proizvodnju proizvoda kao što su kruh, kolači i peciva.
Faktore proizvodnje možemo podijeliti u velike kategorije - rad, materijali i kapital, od kojih svaka uključuje uže grupe. Na primjer, rad kao proizvodni faktor kroz indikator intenziteta rada kombinuje i kvalifikovanu (stolari, inženjeri) i nekvalifikovanu radnu snagu (poljoprivredni radnici), kao i preduzetničke napore menadžera preduzeća. Materijali uključuju čelik, plastične materijale, struju, vodu i bilo koji drugi proizvod koji firma kupuje i pretvara u gotov proizvod. Kapital uključuje zgrade, opremu i inventar.
Skup svih tehnološki dostupnih vektora neto outputa za datu firmu naziva se proizvodni skup i označava se sa Y.
PROIZVODNI SET- set validnih tehnološke metode dato ekonomski sistem (X,Y ) , Gdje X - totalitet vektori troškova, A Y - totalitet vektori oslobađanja.
P. m karakteriziraju sljedeće karakteristike: it zatvoreno I konveksno(cm. Gomila), vektori troškova su nužno različiti od nule (ne možete proizvesti nešto a da ništa ne potrošite), a komponente PM-a – troškovi i rezultati – ne mogu se zamijeniti, jer je proizvodnja nepovratan proces. Konveksnost P. m posebno pokazuje da se povrat na obrađene resurse smanjuje s povećanjem obima obrade.
Svojstva proizvodnih setova
Hajde da razmotrimo ekonomiju sa l robom. Za određenu firmu, prirodno je da neke od ovih dobara smatra faktorima proizvodnje, a neke proizvodnim proizvodima. Treba napomenuti da je ova podjela prilično proizvoljna, budući da kompanija ima dovoljno slobode u izboru asortimana proizvoda i strukture troškova. Kada opisujemo tehnologiju, napravićemo razliku između outputa i troškova, predstavljajući potonje kao output sa predznakom minus. Radi pogodnosti predstavljanja tehnologije, proizvodi koje kompanija ne konzumira niti proizvodi biće klasifikovani kao njen proizvod, a obim proizvodnje ovih proizvoda će se smatrati jednakim 0. U principu, situacija u kojoj je proizvod proizveden od strane ne može se isključiti i kompanija koju ona konzumira u procesu proizvodnje. U ovom slučaju ćemo uzeti u obzir samo neto proizvodnju ovog proizvoda, odnosno njegovu proizvodnju minus troškove.
Neka je broj faktora proizvodnje jednak n, a broj vrsta outputa jednak m, tako da je l = m + n. Označimo vektor troškova (sa apsolutna vrijednost) kroz r 2 Rn+, a izlazne zapremine kroz y 2 Rm+
Vektor (−r, yo) ćemo nazvati vektorom neto izlaza. Skup svih tehnološki izvodljivih vektora neto izlaza y = (−r, yo) čini tehnološki skup Y . Dakle, u slučaju koji se razmatra, bilo koji tehnološki skup je podskup od Rn − × Rm+
Ovaj opis proizvodnje je opšte prirode. Istovremeno, moguće je ne pridržavati se stroge podjele robe na proizvode i faktore proizvodnje: isto dobro se može potrošiti jednom tehnologijom, a proizvesti drugom.
Opišimo svojstva tehnoloških skupova, u smislu kojih se obično opisuju određene klase tehnologija.
1. Nepraznina. Tehnološki skup Y nije prazan. Ova nekretnina znači temeljnu mogućnost obavljanja proizvodne djelatnosti.
2. Zatvorenost. Tehnološki skup Y je zatvoren. Ovo svojstvo je prilično tehničko; to znači da tehnološki skup sadrži svoju granicu, a granica bilo kojeg niza tehnološki izvodljivih vektora neto izlaza je također i tehnološki izvodljiv vektor neto izlaza.
3. Sloboda trošenja. Ovo svojstvo se može tumačiti kao sposobnost da se proizvede isti iznos autputa, ali uz veće troškove, ili manji učinak uz iste troškove.
4. Bez „roga izobilja“ („bez besplatnog ručka“). ako je y 2 Y i y > 0, onda je y = 0. Ovo svojstvo znači da su za proizvodnju proizvoda u pozitivnoj količini potrebni troškovi u količini različitoj od nule.
< _ < 1, тогда y0 2 Y. Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.
50 . Neopadajući povratak na skalu: Ako je y 2 Y i y0 = _y, gdje je _ > 1, onda y0 2 Y.
U slučaju dva dobra, gdje se jedno troši, a drugo proizvodi, povećanje povrata znači da se (maksimalno moguća) prosječna produktivnost inputa ne smanjuje.
500. Konstantni povrati na razmeru je situacija kada tehnološki skup istovremeno zadovoljava uslove 5 i 50, odnosno ako je y 2 Y i y0 = _y0, onda je y0 2 Y 8_ > 0.
Geometrijski, konstantni povrati na skalu znače da je Y konus (vjerovatno ne sadrži 0). U slučaju dva dobra, gdje je jedno input, a drugo proizvedeno, konstantan output znači da se prosječna produktivnost inputa ne mijenja kako se output mijenja.
5. Nerastući povrat na skalu: ako je y 2 Y i y0 = _y, gdje je 0< _ < 1, тогда y0 2 Y. Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.
50 . Nesmanjujući prinosi na skalu: Ako je y 2 Y i y0 = _y, gdje je _ > 1, onda y0 2 Y. U slučaju dva dobra, gdje je jedno input, a drugo proizvedeno, povećanje povrata znači da (maksimalni moguće) prosječna produktivnost inputa se ne smanjuje.
500. Konstantni povrati na razmeru je situacija kada tehnološki skup istovremeno zadovoljava uslove 5 i 50, odnosno ako je y 2 Y i y0 = _y0, onda je y0 2 Y 8_ > 0.
Geometrijski, konstantni povrati na skalu znače da je Y konus (vjerovatno ne sadrži 0).
U slučaju dva dobra, gdje je jedno input, a drugo proizvedeno, konstantan output znači da se prosječna produktivnost inputa ne mijenja kako se output mijenja.
6. Konveksnost: Svojstvo konveksnosti znači mogućnost „miješanja“ tehnologija u bilo kojoj proporciji.
7. Nepovratnost
Recimo da možete proizvesti 5 ležajeva od kilograma čelika. Nepovratnost znači da je nemoguće proizvesti kilogram čelika iz 5 ležajeva.
8. Aditivnost. ako y 2 Y i y0 2 Y, onda y + y0 2 Y. Svojstvo aditivnosti znači sposobnost kombinovanja tehnologija.
9. Prihvatljivost neaktivnosti:
Teorema 44:
1) Iz nerastućih povrata na razmjer i aditivnost tehnološkog skupa slijedi njegova konveksnost.
2) Nerastući prinosi na obim proizlaze iz konveksnosti tehnološkog skupa i dozvoljenosti neaktivnosti. (Obrnuto nije uvijek tačno: s nerastućim prinosima, tehnologija može biti nekonveksna)
3) Tehnološki skup ima svojstva aditivnosti i nerastućih povrata na skalu ako i samo ako je konveksan konus.
Nisu sve prihvatljive tehnologije podjednako važne sa ekonomske tačke gledišta.
Među prihvatljivim tehnologijama ističu se efikasne tehnologije. Dopuštena tehnologija y obično se naziva efektivnom ako ne postoji druga (različita od nje) prihvatljiva tehnologija y0 takva da je y0 > y. Očigledno, ova definicija efikasnosti implicitno implicira da su sva dobra u nekom smislu poželjna. Efikasne tehnologije čine efikasnu granicu tehnološkog skupa. Pod određenim uslovima postaje moguće koristiti efektivnu granicu u analizi umjesto cjelokupnog tehnološkog skupa. U ovom slučaju, važno je da za bilo koju dopuštenu tehnologiju y postoji efektivna tehnologija y0 takva da je y0 > y. Da bi se ovaj uslov ispunio, potrebno je da tehnološki skup bude zatvoren, te da je u okviru tehnološkog skupa nemoguće neograničeno povećavati proizvodnju jednog dobra bez smanjenja proizvodnje drugih dobara.
TEHNOLOŠKA METODA - opšti koncept, kombinujući dva: T.s. proizvodnja (način proizvodnje, tehnologija) I T.s. potrošnja; skup osnovnih karakteristika ( sastojci) proizvodni proces (odnosno - potrošnja) jedno ili drugo proizvod. IN ekonomsko-matematički model T.s., ili tehnologija (aktivnost), opisana je sistemom brojeva koji su joj inherentni ( vektor): npr. standardi troškova I pustiti različiti resursi po jedinici vremena ili po jedinici proizvodnje, itd., uključujući koeficijente potrošnja materijala, intenzitet rada, kapitalni intenzitet, kapitalni intenzitet.
Na primjer, ako x = (x 1 , ..., x m) - vektor troškova resursa (naveden pod brojevima i = 1, 2, ..., m), A y = (y 1 , ..., y n) - vektor obima proizvodnje proizvoda j= 1, 2, ..., n, tada se tehnologije, tehnološki procesi, metode proizvodnje mogu nazvati parovima vektora ( x,y ). Tehnološka prihvatljivost ovdje znači mogućnost dobivanja od potrošenih (iskorišćenih) sastojaka vektora x vektor proizvoda y .
Skup svih mogućih prihvatljivih tehnologija ( XY) forme tehnološki ili proizvodni set dato ekonomski sistem.
VECTOR- uređeni skup određenog broja realnih brojeva (ovo je jedna od mnogih definicija - ona prihvaćena u ekonomske i matematičke metode). Na primjer, dnevni plan radionice može se napisati kao 4-dimenzionalni vektor (5, 3, -8, 4), gdje 5 znači 5 hiljada dijelova jednog tipa, 3 - 3 hiljade dijelova drugog tipa, ( -8) - potrošnja metala u tonama, a posljednja komponenta, recimo, štedi 4 tisuće kW. h električne energije. Kao što vidite, broj komponenti ( koordinate) B. proizvoljno (u ovom slučaju plan radionice može se sastojati ne od četiri, već od bilo kojeg drugog broja indikatora); ne smiju se mijenjati; mogu biti i pozitivne i negativne.
Vektori se mogu pomnožiti sa realnim brojem (na primjer, ako povećate plan za 1,2 puta u svim pokazateljima, dobit ćete novi vektor sa istim brojem komponenti). Vektori koji sadrže jednak broj aditivnih komponenti istog imena mogu se dodavati i oduzimati.
Slovna oznaka V. obično je podebljana (iako se to ne poštuje uvijek).
Zbir vektora x = (x 1 ,..., x n) i y = (y 1 , ..., y n) je također V. ( x + y ) = (x 1 + y 1 , ..., x n +y n).
Tačkasti proizvod vektora x I y je broj jednak zbroju proizvoda odgovarajućih komponenti ovih varijabli:
Vektori x I y su pozvani ortogonalno, ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli.
Jednakost V. - komponenta, odnosno dva V. su jednaka ako su im odgovarajuće komponente jednake.
Vector 0 - (0, ..., 0) null;
n-dimenzionalni V. - pozitivan ( x > 0), ako su sve njegove komponente x i iznad nule, nenegativan (x ≥ 0), ako su sve njegove komponente x i veći od 0 ili jednak nuli, tj. x i≤ 0; I polupozitivan, ako je barem jedna komponenta x i≥ 0 (oznaka x ≥ 0); ako vektori imaju jednak broj komponenti, moguće je njihovo uređenje (potpuno ili djelomično), tj. uvođenje u skup vektora binarnu relaciju “> ”: x > y , x ≥y , x ≥ y ovisno o tome da li je razlika pozitivna, polupozitivna ili nenegativna x – y.
ZAKON UPORABE- izjava da ako se upotreba bilo kojeg poveća faktor proizvodnje a istovremeno se čuvaju troškovi svih ostalih faktora (tzv fiksno), zatim fizički volumen marginalni proizvod proizvedeno uz pomoć navedenog faktora će početi (barem od određene faze) da se smanjuje.
PRODUCTION BEAM- geometrijski položaj tačaka koji prikazuje proporcionalno povećanje broja resurse kada koristite određeni tehnološka metoda sa povećanjem intenzitet.
Na primjer, ako je kombinacija 3 jedinice. kapital (sredstva) i 2 ud. rad (tj. kombinacija 3 K + 2L) daje 10 jedinica. neki proizvod, pa kombinacije 6 K + 4L, 9K + 6L, dajući 20 odnosno 30 jedinica. itd., ležat će na grafu na pravoj liniji koja se zove P. l. ili tehnološki snop. Uz različitu kombinaciju faktora P. l. imaće drugačiji nagib. Zbog nedjeljivosti mnogih faktori proizvodnje broj tehnoloških metoda i, shodno tome, P. l. prihvata se kao konačna.
Na primjer, ako tim od tri rudara radi u ugljenokopu i doda im se još jedan, proizvodnja će se povećati za četvrtinu, a ako se doda peti, šesti, sedmi, povećanje proizvodnje će se početi smanjivati i onda potpuno prestanite: rudari u skučenim uslovima jednostavno će stajati jedni drugima na putu.
Ključni koncept ovdje je granična produktivnost rada (šire gledano - marginalna produktivnost faktora proizvodnje δ Y/δ x). Na primjer, ako se uzmu u obzir dva faktora, onda kako troškovi jednog od njih (prvog ili drugog) rastu, njegova granična produktivnost opada.
Zakon je kratkoročno primjenjiv i za ovu tehnologiju (njegova revizija mijenja situaciju).