Aritmetička progresija. Aritmetička progresija (9. razred): formule, primjeri Kako riješiti aritmetičku progresiju 9
Predmet: Aritmetičke i geometrijske progresije
Klasa: 9
Sistem obuke: materijal za pripremu izučavanja predmeta algebre i pripremne faze za polaganje OGE ispita
Target: formiranje pojmova aritmetičke i geometrijske progresije
Zadaci: naučiti razlikovati tipove napredovanja, naučiti ispravno, koristiti formule
Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (uslovi progresije)
u kojoj se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog po novom pojmu, koji se također naziva korak ili razlika progresije.
Stoga, specificiranjem koraka progresije i njegovog prvog člana, možete pronaći bilo koji njegov element koristeći formulu
1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije
I obrnuto je tačno. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka terminu koji stoji između njih, onda je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Koristeći ovu izjavu, vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.
Također, svojstvom aritmetičke progresije, gornja formula se može generalizirati na sljedeće
Ovo je lako provjeriti ako napišete pojmove desno od znaka jednakosti
Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.
2) Zbir prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se pomoću formule
Dobro zapamtite formulu za zbir aritmetičke progresije; ona je neophodna u proračunima i često se nalazi u jednostavnim životnim situacijama.
3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbir, već dio niza počevši od njegovog k-tog člana, tada će vam biti korisna sljedeća formula sume
4) Od praktičnog interesa je pronalaženje zbira n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, koristite formulu
Pronađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...
Rješenje:
Prema stanju koje imamo
Odredimo korak napredovanja
Koristeći dobro poznatu formulu, nalazimo četrdeseti član progresije
Aritmetička progresija data je trećim i sedmim članom. Pronađite prvi član progresije i zbir deset.
Rješenje:
Zapišimo date elemente progresije koristeći formule
Aritmetička progresija je data nazivnikom i jednim od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbir njegovih 50 članova počevši od 50 i zbir prvih 100.
Rješenje:
Zapišimo formulu za stoti element progresije
i pronađite prvu
Na osnovu prvog nalazimo 50. član progresije
Pronalaženje zbroja dijela progresije
i zbir prvih 100
Zbir progresije je 250. Pronađite broj članova aritmetičke progresije ako:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Rješenje:
Napišimo jednačine u terminima prvog člana i koraka progresije i odredimo ih
Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u formulu sume kako bismo odredili broj članova u zbroju
Vršimo pojednostavljenja
i riješi kvadratnu jednačinu
Od dvije pronađene vrijednosti, samo broj 8 odgovara uslovima problema. Dakle, zbir prvih osam članova progresije je 111.
Riješite jednačinu
1+3+5+...+x=307.
Rješenje:
Ova jednačina je zbir aritmetičke progresije. Hajde da napišemo njegov prvi član i pronađemo razliku u progresiji
Pronađene vrijednosti zamjenjujemo u formulu za zbir progresije da bismo pronašli broj pojmova
Kao iu prethodnom zadatku, izvršit ćemo pojednostavljenja i riješiti kvadratnu jednačinu
Od dvije vrijednosti biramo logičniju. Imamo da je zbir 18 članova progresije sa datim vrijednostima a1=1, d=2 jednak Sn=307.
Primjeri rješavanja problema: Aritmetička progresija
Problem 1
Studentski tim je ugovorio polaganje keramičkih pločica na pod u sali omladinskog kluba površine 288 m2. Sticanje iskustva, studenti su svakog narednog dana, počevši od drugog, postavljali 2 m2 više nego drugog. prethodnog dana, a njihova zaliha pločica bila je dovoljna za tačno 11 dana rada. Planirajući da se na isti način poveća i produktivnost rada, predradnik je odredio da će za završetak posla biti potrebno još 5 dana. Koliko kutija pločica treba naručiti ako je 1 kutija dovoljna za 1,2 m2 poda, a 3 kutije su potrebne za zamjenu nekvalitetnih pločica?
Rješenje
Prema uslovima problema, to je jasno mi pričamo o tome o aritmetičkoj progresiji u kojoj neka
a1=h, Sn=288, n=16
Tada koristimo formulu: Sn= (2a1+d(n-1))*n/0.86=200mmHg. Art.
288=(2x+2*15)*16/2
Izračunajmo koliko će m2 studenti položiti za 11 dana: S11=(2*3+2*10)*11,2=143m2
288-143=145m2 ostalo nakon 11 dana rada, tj. za 5 dana
145/1.2=121 (otprilike) kutije potrebno je naručiti 5 dana.
121+3=124 kutije se moraju naručiti uzimajući u obzir nedostatke
Odgovor: 124 kutije
Problem 2
Nakon svakog pokreta klipa vakuum pumpe, 20% zraka u njemu se uklanja iz posude. Odredimo pritisak vazduha unutar posude nakon šest pokreta klipa, ako je početni pritisak bio 760 mm Hg. Art.
Rješenje
Pošto se nakon svakog pokreta klipa 20% raspoloživog zraka ukloni iz posude, ostaje 80% zraka. Da biste saznali tlak zraka u posudi nakon sljedećeg kretanja klipa, potrebno je pomnožiti pritisak prethodnog kretanja klipa sa 0,8.
Imamo geometrijsku progresiju čiji je prvi član 760, a imenilac 0,8. Broj koji izražava pritisak vazduha u posudi (u mm Hg) nakon šest pokreta klipa je sedmi član ove progresije. To je jednako 760*0,86=200mmHg. Art.
Odgovor: 200 mmHg.
Dato aritmetička progresija, gdje su peti i deseti član jednaki 38 i 23, respektivno. Pronađite petnaesti član progresije i zbir njegovih prvih deset članova.
Rješenje:
Nađite broj članova aritmetičke progresije 5,14,23,...,, ako je njen th član 239.
Rješenje:
Nađi broj članova aritmetičke progresije je 9,12,15,...,, ako je njen zbir 306.
Rješenje:
Pronađite x za koji brojevi x-1, 2x-1, x2-5 čine aritmetičku progresiju
Rješenje:
Nađimo razliku između 1 i 2 člana progresije:
d=(2x-1)-(x-1)=x
Nađimo razliku između 2 i 3 člana progresije:
d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4
Jer razlika je ista, onda se termini progresije mogu izjednačiti:
Kada se provjeri u oba slučaja, dobija se aritmetička progresija
Odgovor: pri x=-1 i x=4
Aritmetička progresija je data njenim trećim i sedmim članom a3=5; a7=13. Pronađite prvi član progresije i zbir deset.
Rješenje:
Od druge jednačine oduzimamo prvu, kao rezultat nalazimo korak progresije
a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, što znači d=2
Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u bilo koju od jednadžbi kako bismo pronašli prvi član aritmetičke progresije
Izračunavamo zbir prvih deset članova progresije
S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100
Odgovor: a1=1; S10=100
U aritmetičkoj progresiji čiji je prvi član -3,4 i čija je razlika 3, pronađite peti i jedanaesti član.
Dakle, znamo da je a1 = -3,4; d = 3. Naći: a5, a11-.
Rješenje. Da bismo pronašli n-ti član aritmetičke progresije, koristimo formulu: an = a1+ (n – 1)d. Imamo:
a5 = a1 + (5 – 1)d = -3,4 + 4 3 = 8,6;
a11 = a1 + (11 – 1)d = -3,4 + 10 3 = 26,6.
Kao što vidite, u ovom slučaju rješenje nije teško.
Dvanaesti član aritmetičke progresije je 74, a razlika je -4. Pronađite trideset četvrti član ove progresije.
Rečeno nam je da je a12 = 74; d = -4, i trebamo pronaći a34-.
U ovom zadatku nije moguće odmah primijeniti formulu an = a1 + (n – 1)d, jer Prvi član a1 je nepoznat. Ovaj problem se može riješiti u nekoliko koraka.
1. Koristeći termin a12 i formulu za n-ti član, nalazimo a1:
a12 = a1 + (12 – 1)d, sada pojednostavimo i zamijenimo d: a12 = a1 + 11 · (-4). Iz ove jednačine nalazimo a1: a1 = a12 – (-44);
Znamo dvanaesti član iz izjave problema, tako da lako možemo izračunati a1
a1 = 74 + 44 = 118. Pređimo na drugi korak - izračunavanje a34.
2. Opet, koristeći formulu an = a1 + (n – 1)d, pošto je a1 već poznato, odredićemo a34-,
a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14.
Odgovor: Trideset četvrti član aritmetičke progresije je -14.
Kao što vidite, rješenje drugog primjera je složenije. Ista formula se koristi dva puta za dobijanje odgovora. Ali sve je tako komplikovano. Rješenje se može skratiti korištenjem dodatnih formula.
Kao što je već napomenuto, ako je a1 poznat u zadatku, onda je formula za određivanje n-og člana aritmetičke progresije vrlo zgodna za korištenje. Ali, ako uvjet ne specificira prvi pojam, tada u pomoć može priskočiti formula koja povezuje n-ti pojam koji nam je potreban i termin ak naveden u problemu.
an = ak + (n – k)d.
Rešimo drugi primjer, ali koristeći novu formulu.
Dato je: a12 = 74; d = -4. Nađi: a34-.
Koristimo formulu an = ak + (n – k)d. U našem slučaju to će biti:
a34 = a12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14.
Odgovor na problem dobija se mnogo brže, jer nije bilo potrebe za dodatnim radnjama i traženjem prvog člana progresije.
Koristeći gornje formule, možete riješiti probleme izračunavanja razlike aritmetičke progresije. Dakle, koristeći formulu an = a1 + (n – 1)d možete izraziti d:
d = (an – a1) / (n – 1). Međutim, problemi sa datim prvim članom se ne susreću tako često, a mogu se riješiti pomoću naše formule an = ak + (n – k)d, iz koje je jasno da je d = (an – ak) / (n – k). Pogledajmo ovaj problem.
Naći razliku aritmetičke progresije ako je poznato da je a3 = 36; a8 = 106.
Koristeći formulu koju smo dobili, rješenje problema se može napisati u jednom redu:
d = (a8 – a3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14.
Bez ove formule, rješavanje problema bi trajalo mnogo duže, jer sistem od dvije jednačine bi morao biti riješen.
Geometrijske progresije
1. Formula th člana (zajednički termin progresije).
2. Formula za zbir prvih članova progresije: . Kada je uobičajeno govoriti o konvergentnoj geometrijskoj progresiji; u ovom slučaju, možete izračunati zbir cjelokupne progresije koristeći formulu.
3. Formula za “geometrijsku sredinu”: ako su , , tri uzastopna člana geometrijske progresije, onda po definiciji imamo sljedeće odnose: ili ili .
Razumijevanje mnogih tema iz matematike i fizike povezano je sa poznavanjem svojstava brojevnih nizova. Školarci u 9. razredu, kada izučavaju predmet "Algebra", razmatraju jedan od važnih nizova brojeva - aritmetičku progresiju. Predstavljamo osnovne formule aritmetičke progresije (9. razred), kao i primjere njihove upotrebe za rješavanje zadataka.
Algebarska ili aritmetička progresija
Brojevni niz o kojem će biti riječi u ovom članku naziva se dva Različiti putevi predstavljeno u naslovu ovog stava. Dakle, pod aritmetičkom progresijom u matematici podrazumijevamo niz brojeva u kojem se bilo koja dva susjedna broja razlikuju za isti iznos, koji se naziva razlika. Brojevi u takvoj seriji obično se označavaju slovima s nižim cijelim indeksom, na primjer, a1, a2, a3 i tako dalje, gdje indeks označava broj elementa serije.
Uzimajući u obzir gornju definiciju aritmetičke progresije, možemo napisati sljedeću jednakost: a2-a1 =...=an-an-1=d, ovdje je d razlika algebarske progresije, a n bilo koji cijeli broj. Ako je d>0, onda možemo očekivati da će svaki sljedeći član serije biti veći od prethodnog, u ovom slučaju govorimo o rastućoj progresiji. Ako d
Formule aritmetičke progresije (9. razred škole)
Razmatrani niz brojeva, budući da je naređen i pokorava se nekima matematički zakon, ima dva svojstva važna za njegovu upotrebu:
Prvu formulu je lako razumjeti, jer je direktna posljedica činjenice da se svaki član niza koji se razmatra razlikuje od svog susjeda istom razlikom.
Druga formula za aritmetičku progresiju može se dobiti ako primetimo da se ispostavi da je zbir a1+an ekvivalentan zbiru a2+an-1, a3+an-2 i tako dalje. Zaista, budući da je a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1 i an-1 = -d+an, zatim zamjenom ovih izraza u odgovarajuće sume, nalazimo da oni će biti isti. Faktor n/2 u 2. formuli (za Sn) se pojavljuje zbog činjenice da su sumi tipa ai+1+an-i tačno n/2, ovdje je i cijeli broj u rasponu od 0 do n/2 - 1.
Prema sačuvanim istorijskim dokazima, formulu za zbir Sn prvi je dobio Carl Gauss (slavni njemački matematičar) kada je dobio zadatak od svog učitelja da sabere prvih 100 brojeva.
Primjer problema #1: pronađite razliku
Problemi u kojima se postavlja pitanje: poznavanje formula aritmetičke progresije, kako pronaći d (d), najjednostavniji su koji mogu biti samo za ovu temu.
Navedimo primjer: dat numerički niz -5,-2, 1, 4, ..., potrebno je odrediti njegovu razliku, odnosno d.
To se može učiniti što je lakše moguće: trebate uzeti dva elementa i oduzeti manji od većeg. U ovom slučaju imamo: d = -2 - (-5) = 3.
Da biste bili sigurni u dobiveni odgovor, preporučuje se provjeriti preostale razlike, jer prikazani niz možda neće zadovoljiti uvjet algebarske progresije. Imamo: 1-(-2)=3 i 4-1=3. Ovi podaci ukazuju da smo dobili tačan rezultat (d=3) i dokazali da niz brojeva u iskazu problema zaista predstavlja algebarsku progresiju.
Primjer zadatka br. 2: pronađite razliku, znajući dva člana progresije
Razmotrimo još jedan zanimljiv problem, koji pita kako pronaći razliku. U ovom slučaju, formula aritmetičke progresije se mora koristiti za n-ti član. Dakle, zadatak: s obzirom na prvi i peti broj niza koji odgovaraju svim svojstvima algebarske progresije, na primjer, to su brojevi a1 = 8 i a5 = -10. Kako pronaći razliku d?
Trebali biste početi rješavati ovaj problem zapisujući opšti pogled formule za n-ti element: an = a1+d*(-1+n). Sada možete ići na dva načina: ili odmah zamijenite brojeve i radite s njima, ili izrazite d, a zatim prijeđite na određene a1 i a5. Koristeći posljednju metodu, dobijamo: a5 = a1+d*(-1+5) ili a5 = 4*d+a1, što znači da je d = (a5-a1)/4. Sada možete bezbedno zameniti poznate podatke iz uslova i dobiti konačan odgovor: d = (-10-8)/4 = -4,5.
Imajte na umu da je u ovom slučaju razlika u progresiji bila negativna, odnosno da postoji opadajući niz brojeva. Na ovu činjenicu potrebno je obratiti pažnju prilikom rješavanja problema kako ne biste pobrkali znakove "+" i "-". Sve gore navedene formule su univerzalne, pa ih uvijek treba slijediti bez obzira na predznak brojeva s kojima se operacije izvode.
Primjer rješavanja zadatka br. 3: pronaći a1, znajući razliku i element
Hajde da malo promijenimo iskaz problema. Neka postoje dva broja: razlika d=6 i 9. element progresije a9 = 10. Kako pronaći a1? Formule za aritmetičku progresiju ostaju nepromijenjene, upotrijebimo ih. Za broj a9 imamo sljedeći izraz: a1+d*(9-1) = a9. Odakle lako dobijamo prvi element niza: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.
Primjer rješavanja zadatka br. 4: naći a1, znajući dva elementa
Ova verzija problema je komplikovana verzija prethodne. Suština je ista, potrebno je izračunati a1, ali sada razlika d nije poznata, a umjesto nje je dat drugi element progresije.
Primjer ove vrste problema je sljedeći: pronađite prvi broj niza za koji je poznato da je aritmetička progresija i da su njegovi 15. i 23. element 7 odnosno 12.
Ovaj problem je potrebno riješiti tako što ćemo napisati izraz za n-ti član za svaki element poznat iz uvjeta, imamo: a15 = d*(15-1)+a1 i a23 = d*(23-1)+a1. Kao što vidite, imamo dva linearne jednačine, koje treba riješiti u odnosu na a1 i d. Uradimo ovo: oduzmimo prvu od druge jednačine, onda ćemo dobiti sljedeći izraz: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. Prilikom izvođenja posljednje jednadžbe, vrijednosti a1 su izostavljene jer se poništavaju kada se oduzmu. Zamjenom poznatih podataka nalazimo razliku: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.
Vrijednost d mora biti zamijenjena bilo kojom formulom za poznati element da dobijemo prvi član niza: a15 = 14*d+a1, odakle je: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = -1,75.
Provjerimo dobijeni rezultat da bismo to učinili, nalazimo a1 kroz drugi izraz: a23 = d*22+a1 ili a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.
Primjer rješavanja zadatka br. 5: pronaći zbir n elemenata
Kao što vidite, do sada je za rješenje korištena samo jedna formula aritmetičke progresije (9. razred). Sada predstavljamo problem čija rješenja zahtijevaju poznavanje druge formule, odnosno za zbir Sn.
Postoji sljedeća uređena serija brojeva -1,1, -2,1, -3,1,..., potrebno je izračunati zbir njegovih prvih 11 elemenata.
Iz ove serije je jasno da je opadajuća, a a1 = -1,1. Njegova razlika je jednaka: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Sada definišimo 11. član: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Nakon što ste završili pripremne proračune, možete koristiti gornju formulu za iznos, imamo: S11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Pošto su svi članovi negativni brojevi, njihov zbir ima i odgovarajući predznak.
Primjer rješavanja zadatka br. 6: pronaći zbir elemenata od n do m
Možda je ova vrsta problema najteža za većinu školaraca. Dajemo tipičan primjer: za niz brojeva 2, 4, 6, 8..., potrebno je pronaći zbir od 7. do 13. članova.
Formule aritmetičke progresije (ocena 9) koriste se potpuno isto kao u svim prethodnim zadacima. Preporučuje se rješavanje ovog problema korak po korak:
Idemo do rješenja. Kao iu prethodnom slučaju, izvršit ćemo pripremne proračune: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.
Izračunajmo dva zbroja: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Uzmimo razliku i dobijemo željeni odgovor: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Imajte na umu da je prilikom dobijanja ove vrijednosti zbir 6 elemenata progresije korišten kao oduzetak, pošto je 7. član uključen u zbir S7-13.
Razumijevanje mnogih tema iz matematike i fizike povezano je sa poznavanjem svojstava brojevnih nizova. Školarci u 9. razredu, kada izučavaju predmet "Algebra", razmatraju jedan od važnih nizova brojeva - aritmetičku progresiju. Predstavljamo osnovne formule aritmetičke progresije (9. razred), kao i primjere njihove upotrebe za rješavanje zadataka.
Algebarska ili aritmetička progresija
Brojevne serije o kojima će biti reči u ovom članku nazivaju se na dva različita načina, predstavljena u naslovu ovog paragrafa. Dakle, pod aritmetičkom progresijom u matematici podrazumijevamo niz brojeva u kojem se bilo koja dva susjedna broja razlikuju za isti iznos, koji se naziva razlika. Brojevi u takvoj seriji obično se označavaju slovima s nižim cijelim indeksom, na primjer, 1, a 2, a 3 i tako dalje, gdje indeks označava broj elementa serije.
Uzimajući u obzir gornju definiciju aritmetičke progresije, možemo napisati sljedeću jednakost: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, ovdje je d razlika algebarske progresije i n bilo koji cijeli broj . Ako je d>0, onda možemo očekivati da će svaki sljedeći član serije biti veći od prethodnog, u ovom slučaju govorimo o rastućoj progresiji. Ako d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .
Formule aritmetičke progresije (9. razred škole)
Dotični niz brojeva, budući da je uređen i poštuje neki matematički zakon, ima dva svojstva koja su važna za njegovu upotrebu:
- Prvo, znajući samo dva broja a 1 i d, možete pronaći bilo koji član niza. Ovo se radi pomoću sljedeće formule: a n = a 1 +(n-1)*d.
- Drugo, da biste izračunali zbir prvih n članova, nije ih potrebno sabirati po redu, jer možete koristiti sljedeću formulu: S n = n*(a n +a 1)/2.
Prvu formulu je lako razumjeti, jer je direktna posljedica činjenice da se svaki član niza koji se razmatra razlikuje od svog susjeda istom razlikom.
Druga formula za aritmetičku progresiju može se dobiti ako primetimo da se ispostavi da je zbir a 1 +a n ekvivalentan zbiru a 2 +a n-1, a 3 +a n-2 i tako dalje. Zaista, budući da je a 2 = d+a 1, a n-2 = -2*d+a n, a 3 = 2*d+a 1 i a n-1 = -d+a n, onda zamjenjujući ove izraze u odgovarajućim iznosima, nalazimo da će oni biti isti. Faktor n/2 u 2. formuli (za S n) pojavljuje se zbog činjenice da su sumi tipa a i+1 +a n-i tačno n/2, ovdje je i cijeli broj u rasponu od 0 do n /2 -1.
Prema sačuvanim istorijskim dokazima, formulu za zbir S n prvi je dobio Carl Gauss (čuveni njemački matematičar) kada je dobio zadatak od svog učitelja da sabere prvih 100 brojeva.
Primjer problema #1: pronađite razliku
Problemi u kojima se postavlja pitanje: poznavanje formula aritmetičke progresije, kako pronaći d (d), najjednostavniji su koji mogu biti samo za ovu temu.
Navedimo primjer: dat numerički niz -5,-2, 1, 4, ..., potrebno je odrediti njegovu razliku, odnosno d.
To se može učiniti što je lakše moguće: trebate uzeti dva elementa i oduzeti manji od većeg. U ovom slučaju imamo: d = -2 - (-5) = 3.
Da biste bili sigurni u dobiveni odgovor, preporučuje se provjeriti preostale razlike, jer prikazani niz možda neće zadovoljiti uvjet algebarske progresije. Imamo: 1-(-2)=3 i 4-1=3. Ovi podaci ukazuju da smo dobili tačan rezultat (d=3) i dokazali da niz brojeva u iskazu problema zaista predstavlja algebarsku progresiju.
Primjer zadatka br. 2: pronađite razliku, znajući dva člana progresije
Razmotrimo još jedan zanimljiv problem, koji pita kako pronaći razliku. U ovom slučaju, formula aritmetičke progresije se mora koristiti za n-ti član. Dakle, zadatak: s obzirom na prvi i peti broj niza koji odgovaraju svim svojstvima algebarske progresije, na primjer, to su brojevi a 1 = 8 i a 5 = -10. Kako pronaći razliku d?
Trebali biste početi rješavati ovaj problem tako što ćete napisati opći oblik formule za n-ti element: a n = a 1 +d*(-1+n). Sada možete ići na dva načina: ili odmah zamijenite brojeve i radite s njima, ili izrazite d, a zatim prijeđite na određene 1 i 5. Koristeći posljednju metodu, dobijamo: a 5 = a 1 +d*(-1+5) ili a 5 = 4*d+a 1, što znači da je d = (a 5 -a 1)/4. Sada možete bezbedno zameniti poznate podatke iz uslova i dobiti konačan odgovor: d = (-10-8)/4 = -4,5.
Imajte na umu da je u ovom slučaju razlika u progresiji bila negativna, odnosno da postoji opadajući niz brojeva. Na ovu činjenicu potrebno je obratiti pažnju prilikom rješavanja problema kako ne biste pobrkali znakove "+" i "-". Sve gore navedene formule su univerzalne, pa ih uvijek treba slijediti bez obzira na predznak brojeva s kojima se operacije izvode.
Primjer rješavanja zadatka br. 3: pronaći a1, znajući razliku i element
Hajde da malo promijenimo iskaz problema. Neka postoje dva broja: razlika d=6 i 9. element progresije a 9 = 10. Kako pronaći a1? Formule za aritmetičku progresiju ostaju nepromijenjene, upotrijebimo ih. Za broj a 9 imamo sljedeći izraz: a 1 +d*(9-1) = a 9. Odakle lako dobijamo prvi element niza: a 1 = a 9 -8*d = 10 - 8*6 = -38.
Primjer rješavanja zadatka br. 4: naći a1, znajući dva elementa
Ova verzija problema je komplikovana verzija prethodne. Suština je ista, potrebno je izračunati 1, ali sada razlika d nije poznata, a umjesto nje je dat drugi element progresije.
Primjer ove vrste problema je sljedeći: pronađite prvi broj niza za koji je poznato da je aritmetička progresija i da su njegovi 15. i 23. element 7 odnosno 12.
Ovaj problem je potrebno riješiti tako što ćemo napisati izraz za n-ti član za svaki element poznat iz uvjeta, imamo: a 15 = d*(15-1)+a 1 i a 23 = d*(23-1) +a 1 . Kao što vidite, dobili smo dvije linearne jednadžbe koje je potrebno riješiti za 1 i d. Uradimo ovo: oduzmimo prvu od druge jednačine, onda ćemo dobiti sljedeći izraz: a 23 -a 15 = 22*d - 14*d = 8*d. Prilikom izvođenja posljednje jednadžbe, vrijednosti 1 su izostavljene jer se poništavaju kada se oduzmu. Zamjenom poznatih podataka nalazimo razliku: d = (a 23 -a 15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.
Vrijednost d mora biti zamijenjena bilo kojom formulom za poznati element da bi se dobio prvi član niza: a 15 = 14*d+a 1, od čega: a 1 =a 15 -14*d = 7-14* 0,625 = -1,75.
Provjerimo dobijeni rezultat da bismo to učinili, nalazimo 1 kroz drugi izraz: a 23 = d*22+a 1 ili a 1 = a 23 -d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.
Primjer rješavanja zadatka br. 5: pronaći zbir n elemenata
Kao što vidite, do sada je za rješenje korištena samo jedna formula aritmetičke progresije (9. razred). Sada predstavljamo problem čija rješenja zahtijevaju poznavanje druge formule, odnosno za zbir S n.
Postoji sljedeća uređena serija brojeva -1,1, -2,1, -3,1,..., potrebno je izračunati zbir njegovih prvih 11 elemenata.
Iz ove serije je jasno da je opadajuća, a a 1 = -1,1. Njegova razlika je jednaka: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Sada definišimo 11. član: a 11 = 10*d + a 1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Nakon što ste završili pripremne proračune, možete koristiti gornju formulu za iznos, imamo: S 11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Pošto su svi članovi negativni brojevi, njihov zbir ima i odgovarajući predznak.
Primjer rješavanja zadatka br. 6: pronaći zbir elemenata od n do m
Možda je ova vrsta problema najteža za većinu školaraca. Dajemo tipičan primjer: za niz brojeva 2, 4, 6, 8..., potrebno je pronaći zbir od 7. do 13. članova.
Formule aritmetička progresija(9. razred) koriste se potpuno isto kao u svim prethodnim zadacima. Preporučuje se rješavanje ovog problema korak po korak:
- Prvo pronađite zbir 13 članova koristeći standardnu formulu.
- Zatim izračunajte ovaj zbir za prvih 6 elemenata.
- Nakon toga oduzmite 2. od 1. iznosa.
Idemo do rješenja. Kao iu prethodnom slučaju, izvršićemo pripremne proračune: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.
Izračunajmo dva zbroja: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Uzimamo razliku i dobijamo željeni odgovor: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Imajte na umu da je prilikom dobijanja ove vrijednosti zbir 6 elemenata progresije korišćen kao oduzetak, pošto je 7. član uključen u zbir S 7-13.
klasa: 9
Vrsta lekcije: lekcija o učenju novog gradiva.
Cilj časa: Formiranje pojma aritmetičke progresije kao jedne od vrsta nizova, izvođenje formule za n-ti član, upoznavanje sa karakterističnim svojstvima članova aritmetičke progresije. Rješavanje problema.
Ciljevi lekcije:
- Obrazovni- upoznati pojmove aritmetičke progresije; formule n-tog člana; karakteristično svojstvo koje imaju članovi aritmetičke progresije.
- Razvojni- razvijaju sposobnost upoređivanja matematičkih pojmova, pronalaženja sličnosti i razlika, sposobnost zapažanja, uočavanja obrazaca i razmišljanja po analogiji; razviti sposobnost izgradnje i interpretacije matematičkog modela neke realne situacije.
- Obrazovni- promovirati interesovanje za matematiku i njene primjene, aktivnost, sposobnost komuniciranja i razumno brane svoje stavove.
Oprema: kompjuter, multimedijalni projektor, prezentacija (Prilog 1)
Udžbenici: Algebra 9, Yu. N. Mindyuk, S. B.
Plan lekcije:
- Organizacioni momenat, postavljanje zadataka
- Ažuriranje znanja, usmeni rad
- Učenje novog gradiva
- Primarna konsolidacija
- Sumiranje lekcije
- Zadaća
Kako bi se povećala jasnoća i lakši rad sa materijalom, lekcija je popraćena prezentacijom. Međutim, to nije uslov i ista lekcija se može izvoditi u učionicama koje nisu opremljene multimedijalnom opremom. U tu svrhu potrebni podaci mogu se pripremiti na tabli ili u obliku tabela i postera.
Tokom nastave
I. Organizacioni momenat, iskaz problema.
Pozdrav.
Tema današnje lekcije je aritmetička progresija. U ovoj lekciji naučit ćemo što je aritmetička progresija, kakav opći oblik ima, saznat ćemo kako razlikovati aritmetičku progresiju od drugih nizova i rješavati probleme koji koriste svojstva aritmetičke progresije.
II. Ažuriranje znanja, usmeni rad.
Niz () je dat formulom: =. Koji broj ima član ovog niza ako je 144? 225? 100? Da li su brojevi 48 članovi ovog niza? 49? 168?
Poznato je o nizu () da, . Kako se zove ovaj metod specificiranja niza? Pronađite prva četiri člana ovog niza.
Poznato je o nizu () koji . Kako se zove ovaj metod specificiranja niza? Pronađite ako?
III. Učenje novog gradiva.
Progresija je niz veličina, od kojih je svaka naredna u određenoj zavisnosti od prethodne, zajednička za čitavu progresiju. Termin je danas u velikoj mjeri zastario i nalazi se samo u kombinacijama “aritmetičke progresije” i “geometrijske progresije”.
Termin "progresija" je latinskog porijekla (progression, što znači "pomicanje naprijed") i uveo ga je rimski autor Boetije (6. vijek). U matematici se ovaj termin ranije koristio za označavanje bilo kojeg niza brojeva konstruiranih u skladu sa zakonom koji omogućava da se ovaj niz neograničeno nastavlja u jednom smjeru. Trenutno se termin „napredak“ ne koristi u svom izvornom širokom smislu. Dvije važne posebne vrste progresija - aritmetička i geometrijska - zadržale su svoja imena.
Razmotrite nizove brojeva:
- 2, 6, 10, 14, 18, :.
- 11, 8, 5, 2, -1, :.
- 5, 5, 5, 5, 5, :.
Koji je treći član prvog niza? Naknadni član? Prethodni član? Koja je razlika između drugog i prvog termina? Treći i drugi član? Četvrti i treći?
Ako je niz konstruiran po istom zakonu, zaključi kakva će biti razlika između šestog i petog člana prvog niza? Između sedam i šest?
Imenujte sljedeća dva člana svakog niza. Zašto tako misliš?
(odgovori učenika)
Koje zajedničko svojstvo imaju ovi nizovi? Navedite ovo svojstvo.
(odgovori učenika)
Brojčani nizovi koji imaju ovo svojstvo nazivaju se aritmetičke progresije. Pozovite učenike da sami pokušaju formulirati definiciju.
Definicija aritmetičke progresije: aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom dodanom istom broju:
( - aritmetička progresija, ako je , gdje je neki broj.
Broj d, koji pokazuje koliko se sljedeći član niza razlikuje od prethodnog, naziva se razlika progresije: .
Pogledajmo ponovo sekvence i razgovarajmo o razlikama. Koje karakteristike ima svaka sekvenca i sa čime su povezane?
Ako je razlika u aritmetičkoj progresiji pozitivna, tada se progresija povećava: 2, 6, 10, 14, 18, :. (
Ako je u aritmetičkoj progresiji razlika negativna ( , tada se progresija smanjuje: 11, 8, 5, 2, -1, :. (
Ako je razlika nula () i svi članovi progresije su jednaki istom broju, niz se naziva stacionarnim: 5, 5, 5, 5, :.
Kako postaviti aritmetičku progresiju? Hajde da razmotrimo sledeći problem.
Zadatak. U skladištu je 1. bilo 50 tona uglja. Svakog dana mesec dana u skladište stiže kamion sa 3 tone uglja. Koliko će uglja biti u skladištu 30., ako za to vrijeme nije utrošen ugalj iz skladišta.
Ako za svaki broj zapišemo količinu uglja u skladištu, dobićemo aritmetičku progresiju. Kako riješiti ovaj problem? Da li zaista morate izračunati količinu uglja za svaki dan u mjesecu? Može li se nekako bez ovoga? Napominjemo da će do 30. u magacin stići 29 automobila sa ugljem. Tako će 30. u skladištu biti 50 + 329 = 137 tona uglja.
Dakle, znajući samo prvi član aritmetičke progresije i razliku, možemo pronaći bilo koji član niza. Je li to uvijek tako?
Hajde da analiziramo kako svaki član niza zavisi od prvog člana i razlike:
Tako smo dobili formulu za n-ti član aritmetičke progresije.
Primjer 1. Niz () je aritmetička progresija. Pronađite ako i .
Koristimo formulu za n-ti član ,
Odgovor: 260.
Razmotrite sljedeći problem:
U aritmetičkoj progresiji parni članovi su izbrisani: 3, :, 7, :, 13: Da li je moguće vratiti izgubljene brojeve?
Učenici će vjerovatno prvo izračunati razliku progresije, a zatim pronaći nepoznate pojmove progresije. Zatim ih možete zamoliti da pronađu odnos između nepoznatog člana niza, prethodnog i sljedećeg.
Rješenje: Iskoristimo činjenicu da je u aritmetičkoj progresiji razlika između susjednih članova konstantna. Neka je željeni član niza. Onda
Komentar. Ovo svojstvo aritmetičke progresije je njeno karakteristično svojstvo. To znači da je u bilo kojoj aritmetičkoj progresiji svaki član, počevši od drugog, jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i narednih ( . I, obrnuto, svaki niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i narednih, aritmetička je progresija.
IV. Primarna konsolidacija.
- br. 575 ab - oralno
- br. 576 avd - usmeno
- br. 577b - nezavisno sa ovjerom
Niz (je aritmetička progresija. Pronađite ako i
Koristimo formulu za n-ti član,
Odgovor: -24.2.
Naći 23. i n-ti član aritmetičke progresije -8; -6,5; :
Rješenje: Prvi član aritmetičke progresije je -8. Nađimo razliku aritmetičke progresije da bismo ovo uradili, potrebno je da oduzmemo prethodni od sledećeg člana niza: -6,5-(-8) = 1,5.
Koristimo formulu za n-ti član:
Pronađite prvi član aritmetičke progresije () ako .
Prisjetimo se početka naše lekcije, momci. Da li ste tokom današnje lekcije uspjeli naučiti nešto novo ili otkriti? Koje smo si ciljeve lekcije postavili? Mislite li da smo uspjeli ostvariti svoje ciljeve?
Zadaća.
Tačka 25, br. 578a, br. 580b, br. 582, br. 586a, br. 601a.
Kreativni zadatak za jake učenike: Dokažite to u aritmetičkoj progresiji za sve brojeve tako da k I .
Hvala na lekciji, momci. Odradili ste dobar posao danas.
Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Pregled:
Predmet
Aritmetička progresija
CILJA:
- naučiti da prepoznaju aritmetičku progresiju koristeći njenu definiciju i znak;
- naučiti kako rješavati probleme koristeći definiciju, znak, formulu za opći pojam progresije.
CILJEVI ČASA:
dati definiciju aritmetičke progresije, dokazati znak aritmetičke progresije i naučiti kako ih koristiti u rješavanju problema.
NASTAVNE METODE:
ažuriranje znanja učenika, samostalan rad, samostalni rad, kreiranje problemske situacije.
SAVREMENE TEHNOLOGIJE:
IKT, učenje zasnovano na problemima, diferencirano učenje, tehnologije koje štede zdravlje.
PLAN LEKCIJE
Faze lekcije. | Vrijeme implementacije. |
|
Organiziranje vremena. | 2 minute |
|
Ponavljanje onoga što je pokriveno | 5 minuta |
|
Učenje novog gradiva | 15 minuta |
|
Minut fizičkog vaspitanja | 3 minute |
|
Izvršavanje zadataka na temu | 15 minuta |
|
Zadaća | 2 minute |
|
Rezimirajući | 3 minute |
TOKOM NASTAVE:
- U prošloj lekciji smo se upoznali sa konceptom „sekvence“.
Danas ćemo nastaviti proučavati nizove brojeva, definirati neke od njih i upoznati se s njihovim svojstvima i karakteristikama.
- Odgovorite na pitanja: Šta je niz?
Koje sekvence postoje?
Na koje načine možete postaviti redoslijed?
Šta je niz brojeva?
Koje metode specificiranja niza brojeva poznajete? Koja formula se naziva rekurentna?
- Zadati numerički nizovi:
- 1, 2, 3, 4, 5, …
- 2, 5, 8, 11, 14,…
- 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
- 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …
Pronađite obrazac svakog niza i imenujte sljedeća tri pojma svakog od njih.
- a n = a n -1 +1
- a n = a n -1 + 3
- a n = a n -1 + (-2)
- a n = a n -1 + 0,5
Dajte formulu ponavljanja za svaki niz.
Slajd 1
Brojčani niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju, naziva se aritmetička progresija.
Broj d naziva se razlika aritmetičke progresije.
Aritmetička progresija je numerički niz, tako da može biti rastuća, opadajuća ili konstantna. Navedite primjere takvih nizova, navedite razliku između svake progresije i izvucite zaključak.
Hajde da izvedemo formulu za opšti pojam aritmetičke progresije.
Na tabli: neka a 1 je prvi član progresije, d je onda njegova razlika
a 2 =a 1 +d
a 3 =(a 1 +d)+d=a 1 +2d
a 4 =(a 1 +2d)+d=a 1 +3d
a 5 =(a 1 +3d)+d=a 1 +4d
a n =a 1 +d (n-1) - formula n-og člana aritmetičke progresije.
Riješite zadatak: U aritmetičkoj progresiji, prvi član je 5, a razlika je 4.
Pronađite 22. član ove progresije.
Učenik odlučuje na odboru: a n =a 1 +d(n-1)
A 22 =a 1 +21d=5+21*4=89
Minut fizičkog vaspitanja.
Ustali smo.
Ruke na pojasu. Nagibi lijevo, desno, (2 puta);
Savijte se naprijed, nazad (2 puta);
Podignite ruke gore, duboko udahnite, spustite ruke dolje, izdahnite. (2 puta)
Rukovali su se. Hvala ti.
Sjeli smo. Nastavimo lekciju.
Zadatke rješavamo koristeći formulu za opći pojam aritmetičke progresije.
Učenicima se nude sljedeći zadaci:
- U aritmetičkoj progresiji, prvi član je -2, d=3, a n =118.
Nađi br.
- U aritmetičkoj progresiji, prvi član je 7, petnaesti član je –35. Pronađite razliku.
- Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji d=-2, a39=83. Pronađite prvi član progresije.
Učenici su podijeljeni u grupe. Zadatak se daje 5 minuta. Zatim prva 3 učenika koji su riješili probleme rješavaju ih na tabli. Rješenje je duplicirano na slajdovima.
Razmotrimo karakteristična svojstva aritmetičke progresije.
U aritmetičkoj progresiji
a n -d=a (n-1)
a n +d=a (n+1)
Dodajmo ove dvije jednakosti pojam po član, dobićemo: 2a n =a (n+1) +a (n-1)
A n =(a (n+1) +a (n-1))/2
To znači da je svaki član aritmetičke progresije, osim prvog i posljednjeg, jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova.
TEOREMA:
Numerički niz je aritmetička progresija ako i samo ako je svaki od njegovih članova, osim prvog (i posljednjeg u slučaju konačnog niza), jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova (karakteristično svojstvo aritmetička progresija).