Definicija i karakteristike pravougaonika, kratak opis. Šta je pravougaonik? Posebni slučajevi pravougaonika
Pravougaonik je četverougao u kojem je svaki ugao pravi.
Dokaz
Svojstvo se objašnjava djelovanjem karakteristike 3 paralelograma (to jest, \ugao A = \ugao C , \ugao B = \ugao D )
2. Suprotne strane su jednake.
AB = CD,\enspace BC = AD
3. Suprotne strane su paralelne.
AB \paralelni CD,\enrazmak BC \paralelni AD
4. Susjedne strane su okomite jedna na drugu.
AB \perp BC,\enspace BC \perp CD,\enspace CD \perp AD,\enspace AD \perp AB
5. Dijagonale pravougaonika su jednake.
AC = BD
Dokaz
Prema imovina 1 Pravougaonik je paralelogram, što znači AB = CD.
Dakle, \trougao ABD = \trougao DCA na dva kraka (AB = CD i AD - zglob).
Ako su obje figure ABC i DCA identične, onda su i njihove hipotenuze BD i AC identične.
Dakle AC = BD.
Od svih figura (samo od paralelograma!), samo pravougaonik ima jednake dijagonale.
Dokažimo i ovo.
ABCD je paralelogram \Rightarrow AB = CD, AC = BD po uslovu. \Rightarrow \triangle ABD = \troangle DCA već sa tri strane.
Ispada da je \ugao A = \ugao D (kao uglovi paralelograma). I \ugao A = \ugao C, \ugao B = \ugao D.
To zaključujemo \ugao A = \ugao B = \ugao C = \ugao D. Svi su 90^(\circ) . Ukupno - 360^(\circ) .
Dokazan!
6. Kvadrat dijagonale jednak je zbiru kvadrata njene dvije susjedne strane.
Ovo svojstvo je tačno zbog Pitagorine teoreme.
AC^2=AD^2+CD^2
7. Dijagonala dijeli pravougaonik na dva identična pravougaona trougla.
\trougao ABC = \trougao ACD, \enrazmak \trougao ABD = \trougao BCD
8. Tačka presjeka dijagonala ih dijeli na pola.
AO = BO = CO = DO
9. Točka presjeka dijagonala je centar pravougaonika i opisane kružnice.
10. Zbir svih uglova je 360 stepeni.
\ugao ABC + \ugao BCD + \ugao CDA + \ugao DAB = 360^(\circ)
11. Svi uglovi pravougaonika su pravi.
\ugao ABC = \ugao BCD = \ugao CDA = \ugao DAB = 90^(\circ)
12. Prečnik kružnice opisane oko pravougaonika jednak je dijagonali pravougaonika.
13. Uvijek možete opisati krug oko pravougaonika.
Ovo svojstvo je tačno zbog činjenice da je zbir suprotnih uglova pravougaonika 180^(\circ)
\ugao ABC = \ugao CDA = 180^(\circ),\enspace \ugao BCD = \ugao DAB = 180^(\circ)
14. Pravougaonik može sadržavati upisan krug i samo jedan ako ima jednake dužine stranica (u pitanju je kvadrat).
Lekcija na temu "Pravougaonik i njegova svojstva"
Ciljevi lekcije:
Ponoviti pojam pravougaonika na osnovu znanja koje su učenici stekli na predmetu matematike od 1. do 6. razreda.
Razmotrite svojstva pravougaonika kao posebne vrste paralelograma.
Razmotrimo određeno svojstvo pravougaonika.
Pokažite primjenu svojstava na rješavanje problema.
Tokom nastave.
I O organizacioni trenutak.
Informirajte svrhu lekcije, temu lekcije.
II Učenje novog gradiva.
ponoviti:
1. Koja se figura naziva paralelogramom?
2. Koja svojstva ima paralelogram?
● Uvesti koncept pravougaonika.
Koji paralelogram se može nazvati pravougaonikom?
Definicija: Pravougaonik je paralelogram u kojem su svi uglovi pravi.(slajd 3)
To znači da pošto je pravougaonik paralelogram, on ima sva svojstva paralelograma. Pošto pravougaonik ima drugačije ime, mora imati svoje svojstvo (slajd 4).
● Aktivnost učenika (samostalna): Istražite stranice, uglove i dijagonale paralelograma i pravougaonika, zapisujući rezultate u tabelu.
Paralelogram
Pravougaonik
Zabave
Uglovi
Dijagonale
Izvucite zaključak: Dijagonale pravougaonika su jednake.
● Ovaj izlaz je posebno svojstvo pravokutnika:
Teorema. D Dijagonale pravougaonika su jednake.
Dato: ABCD – pravougaonik,
AC and BD dijagonale.
Dokazati: AC = BD
dokaz:
1) Razmotrimo ∆ ACD i ∆ ABD:
A) AD C =
D AB = 90°,
b) A D– general,
c) AB = C D – suprotne strane pravougaonika,
Dakle, trokuti su jednaki na dvije strane.
2) Pošto su trouglovi jednaki, onda je AC = BD.
● Razmotrimo svojstva pravougaonika, znajući da je paralelogram.
Nekretnina 1: zbir uglova pravougaonika je 360°.
Dokaz: a) pošto pravougaonik ima četiri ugla od 90°, njihov zbir je 360°.
b) pošto je pravougaonik četvorougao, zbir uglova četvorougla je (n – 2) ∙180° = (4 – 2) ∙180° = 2∙180° = 360°.
Nekretnina 2: suprotne strane pravougaonika su jednake.
Dokaz: a) pošto je pravougaonik paralelogram, a paralelogram ima suprotne strane jednake, onda će i suprotne stranice pravougaonika biti jednake.
Kako drugačije možete dokazati ovu činjenicu?
b) ako povučemo dijagonalu AC, onda iz jednakosti pravokutnih trouglova ABC i CDI (prema hipotenuzi i oštrom kutu) slijedi jednakost suprotnih strana pravokutnika.
Svojstvo 3: Dijagonale pravougaonika se sijeku i sijeku presječnu točku.
Dokaz: a) kako je pravougaonik paralelogram, a u paralelogramu se dijagonale sijeku i dijele na pola presječnom točkom, onda se dijagonale pravougaonika sijeku i dijele na pola presječnom točkom.
Postoji li još jedan dokaz ove imovine?
b) Da, kroz jednakost trouglova AOB i D OS (duž stranice i dva susjedna ugla)
Svojstvo 4: Simetrala ugla pravougaonika odsijeca od njega jednakokraki trougao.
dokaz: a) kako je pravougaonik paralelogram, a u paralelogramu simetrala oštrog ugla odsijeca od njega jednakokraki trougao, onda u pravougaoniku simetrala bilo kojeg ugla odsijeca od njega jednakokraki trougao.
Postoji li neki drugi način da se dokaže ovo svojstvo?
b) Moguće je. Razmotrimo pravougli trougao ABC i dokažimo jednakost uglova BAK i BKA. Tada možemo zaključiti da su stranice AB i BC jednake.
Sva svojstva se dokazuju korištenjem svojstava paralelograma.
Otkrili smo da pravougaonik ima pet svojstava:
III Konsolidacija proučenog gradiva.
Zadaci razreda: 1. Pronađite obim pravokutnika (usmeno)
a)b)
Rješenje:
a) P = (6+4)∙2, P = 20(dm) (suprotne strane pravougaonika su jednake)
b) zato što dijagonale pravougaonika su jednake, tada su ∆ M OK i ∆ M ON jednakokrake, OB i OA su medijane, dakle i visine. Tada je 2BO = MN = 8, 2AO = MK = 4.
R = (8 + 4)∙2, R = 24(dm)
2. Nađite stranice pravougaonika, znajući da je njegov obim 24 cm.
Rješenje: 1) ∆AVM je jednakokraka, pošto je AM simetrala,
znači AB = VM.
2) 24 = (AB + VM + MS) ∙2,
12 = AB + VM + MS,
12 = VM + VM +MS,
12 = MS + 2∙VM.
3)
3 MV = 9, MV = 3, MS = 6
4) AB = CD = 3, AD = BC = 3 +6 = 9
Odgovor: 3 cm, 9 cm, 3 cm, 9 cm.
№ 403 (udžbenik)
Dato: ABCO -pravougaonik, D = 30°,
znači C D = 0,5AC = 6 cm.
2) AB = C D = 6 cm.
3) U pravougaoniku, dijagonale su jednake i podeljene su na pola tačkom preseka, tj. AO = BO = 6 cm.
4) P(aov) = AO + VO + AB = 6 +6+ 6 = 18 cm.
Odgovor: 18 cm.
IV Sumiranje lekcije.
Pravougaonik ima sledeća svojstva:
1. Zbir uglova pravougaonika je 360°.
2. Suprotne strane pravougaonika su jednake.
3. Dijagonale pravougaonika se sijeku i dijele se na pola u tački presjeka.
4. Simetrala ugla pravougaonika odsijeca od njega jednakokraki trougao.
5. Dijagonale pravougaonika su jednake.
V Domaća zadaća.
P. 45, pitanja 12,13. br. 399, 401 a), 404
Kod kuće razmislite o znaku pravougaonika.
Pravougaonik je jedinstven po svojoj jednostavnosti. Na osnovu ove brojke učenici počinju da uče osnove geometrije. Stoga se u srednjoj školi izgube, ne znajući osnovna svojstva i karakteristike pravougaonika, uzalud smatrajući ovu figuru prejednostavnom.
Pravougaonik
Definicija pravougaonika poznata je još od osnovne škole: to je paralelogram u kojem su svi uglovi jednaki 90 stepeni. Postavlja se pitanje: šta je paralelogram?
Uprkos lukavom nazivu, ovaj oblik je jednostavan kao pravougaonik. Paralelogram je konveksan četvorougao čije su stranice u paru jednake i paralelne.
U definiciji obavezno istaknite riječ konveksno. Zato što su konveksni i nekonveksni četvorouglovi jasno razdvojeni u geometriji. Štaviše, nekonveksne figure se uopće ne izučavaju u školskom predmetu matematike, jer su mnogo nepredvidljivije po svojim svojstvima.
Rice. 1. Konveksni četverouglovi
Pravougaonik je poseban slučaj paralelograma. Štoviše, postoje i drugi posebni slučajevi paralelograma, na primjer, romb; Kao i drugi specijalni slučajevi pravougaonika - kvadrata. Stoga, prije nego što možete dokazati da je figura pravougaonik, morate dokazati da je paralelogram.
Svojstva pravougaonika
Svojstva pravokutnika mogu se podijeliti u dvije grupe: svojstva paralelograma i svojstva pravokutnika.
Svojstva paralelograma:
- Suprotne strane su jednake i paralelne u parovima.
- Suprotni uglovi su jednaki.
Rice. 2. Svojstva paralelograma
Svojstva pravougaonika:
- Svi uglovi su jednaki 90 stepeni, što proizilazi iz definicije figure.
- Dijagonala pravougaonika dijeli figuru na dva mala jednaka pravokutna trougla. Ovo svojstvo je lako dokazati. Trokuti će biti pravougaoni, jer će uključivati jedan ugao od 90 stepeni. U ovom slučaju, dijagonala će biti zajednička strana, a noge će biti jednake, jer su suprotne strane pravokutnika u paru jednake i paralelne.
- Dijagonale pravougaonika su jednake.
Rice. 3. Beam
Pravougaoni znakovi
Pravougaonik ima samo tri glavne karakteristike:
- Na uglu. Ako je jedan od uglova paralelograma 90 stepeni, onda je paralelogram pravougaonik.
- Ako su tri ugla četvorougla jednaka 90 stepeni, onda je četvorougao pravougaonik. Imajte na umu da u ovom slučaju nema potrebe dokazivati da imamo paralelogram. Dovoljno je znati vrijednosti uglova četvorougla.
- Dijagonalno: Ako su dijagonale paralelograma jednake, onda je takav paralelogram pravougaonik.
Obratite pažnju na koju se figuru primjenjuje karakteristika, ovo je važno u dokazu.
Koja je razlika između znaka i svojstva? Znak je razlika po kojoj se figura može razlikovati od drugih. Kao ime osobe. Vidite prijatelja, zapamtite njegovo ime i odmah znate šta možete očekivati od njega. Ali očekivanja od osobe su već svojstva. Svojstva se mogu primijeniti samo nakon što dokažete da je ova ili ona figura ispred vas. A za ovaj dokaz su nam potrebni znakovi.
Šta smo naučili?
Naučili smo šta je paralelogram. Razgovarali smo o posebnim slučajevima paralelograma, uključujući i onaj najčešći - pravougaonik. Identifikovana su svojstva i karakteristike pravougaonika. Primijetili smo da neki od znakova vrijede za bilo koji četverougao, a neki samo za paralelogram.
Testirajte na temu
Ocjena članka
Prosječna ocjena: 4.1. Ukupno primljenih ocjena: 268.
Odjeljci: Osnovna škola
Predmet: Vrste četvorouglova. Pravougaonik
- Osigurati da učenici steknu znanja o razne vrstečetvorouglovi, pravougaonici.
- Razviti sposobnost klasificiranja činjenica, izvođenja zaključaka, građenja pravougaonika i razlikovanja od većeg broja četverouglova.
- Negovanje motiva za učenje i pozitivnog stava prema nastavi.
Tip časa – kombinovani.
Vrsta časa je didaktička igra.
Nastavne metode i tehnike: dijaloške i heurističke metode:
- organizacija rada u parovima;
- frontalni rad;
- operativni oblik provjere znanja (posebne kartice);
- demonstracija vizualnih pomagala;
- rad u timovima.
Oprema:
- grafoskop;
- plakat sa vrstama četvorouglova;
- vizualna pomagala za bajku;
- signalne kartice;
- bušene kartice za svakog učenika sa pripremljenim tablicama;
- pravokutni prazni;
- makaze, ravnala, olovke, trokuti za crtanje;
- magnetna ploča;
- pravokutnici s brojevima;
- materijali (crveni pravougaonici za podsticanje ispitanika);
- gramofon.
Tokom nastave
I. Ažuriranje prethodnog znanja (5 minuta)Danas u našoj lekciji idemo na putovanje u nevjerovatnu zemlju. Geometrija:
– Ko zna šta na grčkom znači reč „geometrija“?
“Geo” – zemlja, “metrija” – mjerenje.
Ova nauka se pojavila u Grčkoj.
Na našem putovanju (učiteljica pokazuje junaka iz bajke) pratit će nas neverovatan junak - čarobnjak.
– On je sve vas šifrovao, a vi ćete putovati pod šifrovanim brojevima.
-Ko ga je prepoznao? (Starac Hottabych.)
– Ko je napisao knjigu “Starac Hottabych”? (Lagin.)
Starac Hottabych je veoma star čarobnjak i njegovo znanje je zastarjelo, pa je došao na vašu lekciju i želi saznati šta moderna djeca sada uče. Pomozite čarobnjaku da to shvati.
– Šta je prikazano na tabli? (Geometrijske figure.)
– Odredi u koje 2 grupe možeš podijeliti ove geometrijske oblike? (Trouglovi i četvorouglovi.)
Popunite karticu br. 1. Navedite brojeve trouglova i četvorouglova. Sva djeca označavaju brojeve na kartici.
U ovom trenutku 2 učenika zapisuju svoje odgovore na ploču.
– Na drugoj kartici označite brojeve trouglova po uglovima (tupougaoni, pravougaoni, oštri) i stranicama (jednakostranični i jednakokraki).
Radovi se obavljaju po opcijama, a zatim razmjenjuju karte i vrše međusobnu provjeru u parovima.
II. Formiranje novih koncepata i metoda djelovanja(20 minuta)
1) Danas ćemo se naš junak i ja upoznati sa vrstama četvorouglova, naime; sa pravougaonikom, naučimo kako ga nacrtati i razlikovati od drugih oblika. U geometriji postoji mnogo trouglova i četvorouglova. Evo kako neki od njih izgledaju:
VRSTE KVADAGONA
– Koje od njih već poznajete?
Djeca imenuju vrste koje poznaju.
– Šta je zajedničko ovim figurama što ih spaja u jednu grupu?
(4 strane, 4 ugla, 4 vrha.)
– Po čemu se jedan tip razlikuje od drugog? (Dužine stranica i karakteristike uglova.)
Učitelj skreće pažnju djece na tabelu i kaže definicije.
- Square - pravougaonik sa svim stranama jednakim.
- Trapez – četverougao u kojem su samo 2 suprotne strane paralelne (prijevod: „stol”).
- Paralelogram - četvorougao čije su suprotne strane paralelne i jednake. - paralelogram sa svim stranama jednakim.
- Nepravilan četverougao - figura čije stranice nisu jednake i nisu paralelne.
2) Pomozite Hottabychu da pronađe slične iz niza četverouglova (1 3 5).
– Kako se zovu uglovi slika 1, 3, 5? (Direktno.)
– Kako biste nazvali ove brojke? (Pravougaonici.)
– Pokušaj mi reći šta je pravougaonik?
Pravougaonik je geometrijska figura u kojoj su svi uglovi pravi, a suprotne strane jednake.
– Koji su vrhovi pravougaonika ABCD? (A, B, C, D su vrhovi.)
- Šta je sa uglovima? (<АВД, <ВДС, <ДСА, <САВ)
- Strane? (AV, VD, SD, SA)
– Mislite li da je pravougaonik neophodna geometrijska figura ili ne (da).
Bajka će vam pomoći da to vidite.
3) Bajka “Korisni pravougaonik”.
Pravougaonik je bio ljubomoran na kvadrat.
- Tako sam nespretna. Ako se podignem do svoje pune visine, postaću dugačak i uzak. Volim ovo:
– A ako legnem na bok, biću nizak i debeo:
- I uvek ostaješ isti - stojiš, sediš i ležiš.
"Da", rekao je trg ponosno. Za mene su sve strane jednake, ne kao kod nekih ljudi, nekad je velikoglava, nekad palačinka-palačinka. I jednog dana se desilo ovo:
Starac Hottabych se izgubio u šumi. Nije imao leteći tepih, brada mu je bila mokra od kiše i nije mogao da izađe iz šume. Prošao je kroz gustiš i naišao na kvadrat i pravougaonik.
– Mogu li se popeti na tebe i vidjeti gdje mi je dom? - upitao je trg.
Hottabych se prvo popeo na jednu stranu trga, ali nije ništa vidio jer su mu vrhovi drveća bili na putu. Tada je čarobnjak zamolio kvadrat da se okrene na drugu stranu, ali, kao što znate, sve strane kvadrata su jednake, pa opet nije vidio ništa.
- Građanski trg, pomozi mi da bar pređem reku. Trg se približio rijeci i pokušao dotaknuti drugu obalu. ALI...prskanje!.
– Možda vam mogu pomoći? – predložio je skroman pravougaonik.
Ustao je u svoju punu visinu i Hottabych se popeo na njega i
bio viši od drveća. U daljini je ugledao svoju kuću i znao kuda da ide. Tada je pravougaonik ležao na boku i postao most. Hottabych je prešao reku duž pravougaonika, pomogao mu da ustane i, zahvaljujući pravougaoniku, otišao kući.
I trg, koji se nakon kupanja sušio na obali, rekao je
pravougaonik:
– Ispostavilo se da ste korisna figura
- Pa, šta ti pričaš! – skromno se osmehnuo pravougaonik.
Samo što su moje stranice različite dužine: 2 su dugačke, 2 kratke. Ponekad ovo može biti veoma zgodno.
– Koje pravougaone objekte vidite u svojoj učionici?
4) Postoji poseban trokut za crtanje pomoću kojeg možete odrediti prave uglove u geometrijskoj figuri. Pokušajte eksperimentalno odrediti koji od ovih oblika su pravokutnici.
KARTICA #3.
– Kako vam je trougao za crtanje pomogao u ovoj potrazi?
Djeca identifikuju i imenuju brojeve figura (2,4). Na tabli demonstriraju kako im je trokut za crtanje pomogao u njihovoj definiciji.
5) Fizminutka(pjesma “Dvaput dva je četiri”).
Vaš učitelj će biti sretan
Pogledaj svoju
Djeca stoje blizu svojih stolova
Pokažite to svima
Ruke naprijed
I onda obrnuto
Rezultat je bio avion
Letimo
Nerazdvojni prijatelji / 2 puta
Kvadrat, pravougaonik,
Nerazdvojni prijatelji
Geometrija i školarac
6) Nacrtajte pravougaonik koristeći segmente i trokut za crtanje:
Djeca crtaju u svojim sveskama, a zatim sa objašnjenjem na tabli.
Nacrtajte segment od 4 cm Spojite stranu trougla sa segmentom i napravite pravi ugao, odvojite segment, itd.
1. Nacrtaj pravougaonik znajući da je jedna strana 2 cm, a druga 4 cm veća.
Analiza zadatka:
– Možete li odmah nacrtati pravougaonik? (ne)
- Zašto? (Ne znamo dužinu druge strane.)
- Kako pronaći dužinu druge strane? (2+4=6).
Radi tim od 4 osobe.
2. Imate pravougaonike sa stranicama od 8 cm i 4 cm. Treba ih iseći na 4 identična trokuta, a zatim napraviti kvadrat. Kako uraditi?
3. Starac Hottabych želi biti siguran da ste bili pažljivi i naučili o čemu smo razgovarali. U njegovo ime ja postavljam pitanja, a vi signalnim karticama pokazujete odgovor: Da – zeleno, Ne – crveno.
1) Da li je tačno da ako figura ima 4 ugla, 4 strane, 4 vrha, onda se može nazvati četvorougao? (da)
2) Da li je pravougaonik vrsta četvorougla? (da)
3) Da li je tačno da suprotne strane pravougaonika nisu jednake? (ne)
4) Da li je tačno da se kvadrat može nazvati pravougaonikom i četvorougao? (da)
4. Grafički diktat
Označite tačku A, od nje nadole pod pravim uglom nacrtajte segment dužine 2 cm i označite njegov kraj tačkom B. Od B na desno pod pravim uglom nacrtajte segment dužine 4 cm i označite kraj tačkom C. Nacrtajte a segment dužine 2 cm prema gore pod pravim uglom i označite tačku D. Sami dopunite figuru kojoj smo posvetili dosta pažnje u lekciji.
-Koja je ovo figura? (pravougaonik)
5. Pronađite 3 četverougla na crtežu:
6. Zagonetke.
Nakon što riješite zagonetke, saznat ćete šta vam naš gost želi reći.
– O kojoj cifri je reč?
On je moj prijatelj dugo vremena,
Svaki ugao u njemu je pravi.
Sve četiri strane
Ista dužina.
Drago mi je da vam ga mogu predstaviti.
- Kako se on zove? ( Square)
– Kakva to figura može reći o sebi?
ti si na meni, ti si na njemu,
Pogledaj nas sve.
Imamo sve, imamo sve
Na tri strane i tri ugla,
I isto toliko vrhova
I tri puta - teške stvari,
Uradićemo to tri puta. ( Trougao)
– Koje vrste četvorouglova poznajete?
– Koji oblik se zove pravougaonik?
V. Domaći.Smislite bajku ili križaljku o geometrijskim oblicima.
Bibliografija:
- V. Volina „Praznik broja“, Moskva, Drfa 1997
- A.M. Pyshkalo „Metodika nastave elemenata geometrije u osnovnoj školi“, Obrazovanje, 1980.
- Časopis “Zavuch”, br. 1, 2000, Fomin A.A. “Poštivanje pedagoških zahtjeva kao faktor koji povećava profesionalnu kompetenciju savremenog nastavnika”, str. 21.
- Časopis " Osnovna škola“, br. 2, 2001 “Geometrija”, str.15.
- List “Osnovna škola”, br. 3, 1997. “Geometrija”, str. 4.
Ciljevi lekcije
Učvrstiti znanje učenika o temi pravougaonika;
Nastaviti sa upoznavanjem učenika sa definicijama i svojstvima pravougaonika;
Naučiti školarce da koriste stečeno znanje o ovoj temi prilikom rješavanja zadataka;
Razvijati interesovanje za predmet matematike, pažnju, logičko mišljenje;
Razvijati sposobnost samoanalize i discipline.
Ciljevi lekcije
Ponoviti i učvrstiti znanja učenika o konceptu kao što je pravougaonik, nadovezujući se na znanje stečeno u prethodnim razredima;
Nastaviti sa usavršavanjem znanja učenika o svojstvima i karakteristikama pravougaonika;
Nastaviti razvijati vještine u procesu rješavanja zadataka;
Probuditi interesovanje za časove matematike;
Negovati interesovanje za egzaktne nauke i pozitivan stav prema nastavi matematike.
Plan lekcije
1. Teorijski dio, opći podaci, definicije.
2. Ponavljanje teme “Pravougaonici”.
3. Svojstva pravougaonika.
4. Znakovi pravougaonika.
5. Zanimljivosti iz života trouglova.
6. Zlatni pravougaonik, opšti pojmovi.
7. Pitanja i zadaci.
Šta je pravougaonik
U prethodnim razredima ste već učili teme o pravokutnicima. Sada osvježimo pamćenje i prisjetimo se kakva je to figura koja se zove pravougaonik.
Pravougaonik je paralelogram čija su četiri ugla prava i jednaka 90 stepeni.
Pravougaonik je geometrijska figura koja se sastoji od 4 stranice i četiri prava ugla.
Suprotne strane pravougaonika su uvek jednake.
Ako uzmemo u obzir definiciju pravougaonika prema euklidskoj geometriji, onda da bi se četverougao smatrao pravokutnikom, potrebno je da u ovoj geometrijskoj figuri najmanje tri ugla budu prava. Iz ovoga slijedi da će i četvrti ugao biti devedeset stepeni.
Iako je jasno da kada zbir uglova četvorougla nema 360 stepeni, onda ova figura nije pravokutnik.
Ako pravilni pravougaonik ima sve strane jednake jedna drugoj, onda se takav pravougaonik naziva kvadrat.
U nekim slučajevima kvadrat može djelovati kao romb ako takav romb, osim jednakih stranica, ima sve prave uglove.
Da bi se dokazalo učešće bilo koje geometrijske figure u pravougaoniku, dovoljno je da ova geometrijska figura ispunjava barem jedan od ovih zahtjeva:
1. kvadrat dijagonale ove figure mora biti jednak zbiru kvadrata 2 strane koje imaju zajedničku tačku;
2. dijagonale geometrijske figure moraju imati istu dužinu;
3. svi uglovi geometrijske figure moraju biti jednaki devedeset stepeni.
Ako ovi uslovi ispunjavaju barem jedan uslov, onda imate pravougaonik.
Pravougaonik u geometriji je glavna osnovna figura, koja ima mnogo podtipova, sa svojim posebnim svojstvima i karakteristikama.
vježba: Imenujte geometrijske oblike koji pripadaju pravokutnicima.
Pravougaonik i njegova svojstva
Sada se prisjetimo svojstava pravokutnika:
Pravougaonik ima sve dijagonale jednake;
Pravougaonik je paralelogram sa paralelnim suprotnim stranama;
Stranice pravougaonika će također biti njegove visine;
Pravougaonik ima jednake suprotne stranice i uglove;
Krug se može opisati oko bilo kojeg pravougaonika, a dijagonala pravougaonika će biti jednaka prečniku opisane kružnice.
Dijagonale pravougaonika dijele ga na 2 jednaka trokuta;
Slijedeći Pitagorinu teoremu, kvadrat dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata njegove 2 nesuprotne strane;
vježba:
1. Pravougaonik ima dve mogućnosti u kojima se može podeliti na 2 jednaka pravougaonika. Nacrtajte dva pravougaonika u svoju svesku i podelite ih tako da dobijete 2 jednaka pravougaonika.
2. Nacrtajte krug oko pravougaonika, čiji će prečnik biti jednak dijagonali pravougaonika.
3. Da li je moguće upisati krug u pravougaonik tako da dodiruje sve njegove stranice, ali pod uslovom da ovaj pravougaonik nije kvadrat?
Pravougaoni znakovi
Paralelogram će biti pravougaonik:
1. ako mu je barem jedan ugao pravi;
2. ako su sva četiri njegova ugla prava;
3. ako su suprotne strane jednake;
4. ako su najmanje tri ugla prava;
5. ako su mu dijagonale jednake;
6. ako je kvadrat dijagonale jednak zbiru kvadrata nesuprotnih strana.
Zanimljivo je znati
Da li ste znali da ako nacrtate simetrale uglova u pravougaoniku koji ima neravne susedne strane, onda kada se preseku, na kraju ćete dobiti pravougaonik.
Ali ako nacrtana simetrala pravougaonika siječe jednu od njegovih stranica, tada odsječe jednakokraki trokut od ovog pravokutnika.
Da li ste znali da je i prije nego što je Malevich naslikao svoj izvanredni „Crni kvadrat“, 1882. godine, na izložbi u Parizu, predstavljena slika Paula Bilo na čijem je platnu bio prikazan crni pravougaonik sa osebujnim nazivom „Bitka crnaca u tunel”.
Ova ideja sa crnim pravougaonikom inspirisala je druge kulturne ličnosti. Francuski pisac i humorista Alphonse Allais objavio je čitav niz svojih radova i vremenom se pojavio pravougaoni pejzaž radikalno crvene boje pod nazivom „Žetva paradajza na obali Crvenog mora od strane apoplektičnih kardinala“, koji takođe nije imao nikakvu sliku.
Vježbajte
1. Imenujte svojstvo koje je jedinstveno za pravougaonik?
2. Koja je razlika između proizvoljnog paralelograma i pravougaonika?
3. Da li je tačno da bilo koji pravougaonik može biti paralelogram? Ako je to tako, onda dokažite zašto?
4. Navedite četverouglove koji su pravokutnici.
5. Navedite svojstva pravokutnika.
Istorijska činjenica
Euklidov pravougaonik
Da li ste znali da je Euklidski pravougaonik, koji se naziva zlatnim presekom, dugo vremena za bilo koju građevinu od verskog značaja bio savršena i proporcionalna osnova za gradnju tih dana. Uz njegovu pomoć izgrađena je većina renesansnih građevina i klasičnih hramova u staroj Grčkoj.
„Zlatni“ pravougaonik se obično naziva geometrijski pravougaonik, omjer veće i manje strane jednak je zlatnom omjeru.
Ovaj odnos stranica ovog pravougaonika bio je 382 prema 618, odnosno otprilike 19 prema 31. Euklidovski pravougaonik je u to vreme bio najcelishodniji, najpogodniji, sigurniji i pravilniji pravougaonik od svih geometrijskih oblika. Zbog ove karakteristike, Euklidovski pravougaonik, odnosno njegove aproksimacije, korišten je u cijelom prostoru. Korišćen je u kućama, slikama, namještaju, prozorima, vratima, pa čak i knjigama.
Kod Navaho Indijanaca, pravougaonik je uspoređivan sa ženskim oblikom, jer se smatrao uobičajenim, standardnim oblikom kuće, simbolizirajući ženu koja je vlasnik ove kuće.
Predmeti > Matematika > Matematika 8. razred