Očekivana vrijednost. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable Šta je matematičko očekivanje
Matematičko očekivanje diskretnog slučajna varijabla je zbir proizvoda svih njegovih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća.
Neka slučajna varijabla uzima samo vrijednosti vjerojatnosti koje su, respektivno, jednake, tada je matematičko očekivanje slučajne varijable određeno jednakošću
Ako diskretna slučajna varijabla uzima prebrojiv skup mogućih vrijednosti, onda
Štaviše, matematičko očekivanje postoji ako se niz na desnoj strani jednakosti apsolutno konvergira.
Komentar. Iz definicije proizilazi da je matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable neslučajna (konstantna) veličina.
Definicija matematičko očekivanje Uglavnom
Odredimo matematičko očekivanje slučajne varijable čija distribucija nije nužno diskretna. Počnimo sa slučajem nenegativnih slučajnih varijabli. Ideja će biti da se takve slučajne varijable aproksimiraju pomoću diskretnih za koje je matematičko očekivanje već određeno, i da se matematičko očekivanje postavi jednako granici matematičkih očekivanja diskretnih slučajnih varijabli koje ga aproksimiraju. Inače, ovo je vrlo korisna opća ideja, a to je da se za jednostavne objekte prvo određuje neka karakteristika, a zatim se za složenije objekte određuje aproksimacijom jednostavnijim.
Lema 1. Neka postoji proizvoljna nenegativna slučajna varijabla. Tada postoji niz diskretnih slučajnih varijabli takav da
Dokaz. Podijelimo poluosu na segmente jednake dužine i odredimo
Tada svojstva 1 i 2 lako slijede iz definicije slučajne varijable, i
Lema 2. Neka je nenegativna slučajna varijabla i i dva niza diskretnih slučajnih varijabli koje posjeduju svojstva 1-3 iz leme 1. Tada
Dokaz. Imajte na umu da za nenegativne slučajne varijable dopuštamo
Na osnovu svojstva 3, lako je vidjeti da postoji niz pozitivnih brojeva takav da
Iz toga slijedi
Koristeći svojstva matematičkih očekivanja za diskretne slučajne varijable, dobijamo
Prelaskom do granice na dobijamo tvrdnju leme 2.
Definicija 1. Neka je nenegativna slučajna varijabla, - niz diskretnih slučajnih varijabli koje imaju svojstva 1-3 iz leme 1. Matematičko očekivanje slučajne varijable je broj
Lema 2 garantuje da ne zavisi od izbora aproksimacionog niza.
Neka je sada proizvoljna slučajna varijabla. Hajde da definišemo
Iz definicije i to lako slijedi
Definicija 2. Matematičko očekivanje proizvoljne slučajne varijable je broj
Ako je barem jedan od brojeva na desnoj strani ove jednakosti konačan.
Osobine matematičkog očekivanja
Svojstvo 1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti:
Dokaz. Konstantu ćemo razmatrati kao diskretnu slučajnu varijablu koja ima jednu moguću vrijednost i uzima je s vjerovatnoćom, dakle,
Napomena 1. Definirajmo proizvod konstantne varijable diskretnom slučajnom promjenljivom kao diskretni slučajni slučaj čije su moguće vrijednosti jednake umnošku konstante mogućim vrijednostima; vjerovatnoće mogućih vrijednosti jednake su vjerojatnosti odgovarajućih mogućih vrijednosti, na primjer, ako je vjerovatnoća moguće vrijednosti jednaka onda je i vjerovatnoća da će vrijednost poprimiti vrijednost
Svojstvo 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja:
Dokaz. Neka je slučajna varijabla data zakonom raspodjele vjerovatnoće:
Uzimajući u obzir napomenu 1, pišemo zakon raspodjele slučajne varijable
Napomena 2. Prije nego što pređemo na sljedeće svojstvo, ističemo da se dvije slučajne varijable nazivaju neovisnim ako zakon raspodjele jedne od njih ne ovisi o mogućim vrijednostima koje je druga varijabla zauzela. Inače, slučajne varijable su zavisne. Nekoliko slučajnih varijabli naziva se međusobno neovisnim ako zakoni distribucije bilo kojeg broja njih ne ovise o mogućim vrijednostima koje su preostale varijable preuzele.
Napomena 3. Definirajmo proizvod nezavisnih slučajnih varijabli i kao slučajnu varijablu čije su moguće vrijednosti jednake umnošku svake moguće vrijednosti po svakoj mogućoj vrijednosti, vjerovatnoće mogućih vrijednosti proizvoda su jednake proizvodi vjerovatnoća mogućih vrijednosti faktora. Na primjer, ako je vjerovatnoća moguće vrijednosti, vjerovatnoća moguće vrijednosti je tada je vjerovatnoća moguće vrijednosti
Svojstvo 3. Matematičko očekivanje proizvoda dvije nezavisne slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:
Dokaz. Neka su nezavisne slučajne varijable određene njihovim vlastitim zakonima raspodjele vjerovatnoće:
Hajde da kompajliramo sve vrijednosti koje slučajna varijabla može uzeti da bismo to učinili, pomnožimo sve moguće vrijednosti sa svakom mogućom vrijednošću. Kao rezultat, dobijamo i, uzimajući u obzir napomenu 3, pišemo zakon distribucije, pretpostavljajući radi jednostavnosti da su sve moguće vrijednosti proizvoda različite (ako to nije slučaj, onda se dokaz izvodi u sličan način):
Matematičko očekivanje je jednako zbroju proizvoda svih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća:
Posljedica. Matematičko očekivanje proizvoda nekoliko međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.
Svojstvo 4. Matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova:
Dokaz. Neka slučajne varijable i budu određene sljedećim zakonima distribucije:
Hajde da kompajliramo sve moguće vrijednosti količine Da bismo to učinili, svakoj mogućoj vrijednosti dodamo svaku moguću vrijednost. dobićemo zbog jednostavnosti da su ove moguće vrijednosti različite (ako to nije slučaj, onda se dokaz izvodi na sličan način), a njihove vjerovatnoće označavamo sa i.
Matematičko očekivanje vrijednosti jednako je zbroju proizvoda mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća:
Dokažimo da događaj koji će poprimiti vrijednost (vjerovatnoća ovog događaja je jednaka) podrazumijeva događaj koji će poprimiti vrijednost ili (vjerovatnoća ovog događaja prema teoremi sabiranja je jednaka), i obrnuto. Iz toga slijedi da se jednakosti dokazuju na sličan način
Zamjenom desne strane ovih jednakosti u relaciju (*), dobijamo
ili konačno
Varijanca i standardna devijacija
U praksi je često potrebno procijeniti disperziju mogućih vrijednosti slučajne varijable oko njene srednje vrijednosti. Na primjer, u artiljeriji je važno znati koliko će granate pasti blizu cilja koji se pogađa.
Na prvi pogled može izgledati da je najlakši način za procjenu disperzije izračunati sva moguća odstupanja slučajne varijable, a zatim pronaći njihovu prosječnu vrijednost. Međutim, ovaj put neće dati ništa, jer je prosječna vrijednost odstupanja, tj. jer je bilo koja slučajna varijabla jednaka nuli. Ovo svojstvo se objašnjava činjenicom da su neka moguća odstupanja pozitivna, dok su druga negativna; kao rezultat njihovog međusobnog poništavanja, prosječna vrijednost odstupanja je nula. Ova razmatranja ukazuju na preporučljivost zamjene mogućih odstupanja njihovim apsolutnim vrijednostima ili njihovim kvadratima. To je ono što rade u praksi. Istina, u slučaju kada se moguća odstupanja zamjenjuju apsolutnim vrijednostima, mora se operirati apsolutne vrijednosti, što ponekad dovodi do ozbiljnih poteškoća. Stoga najčešće idu drugim putem, tj. izračunati prosječnu vrijednost kvadratne devijacije, koja se naziva disperzija.
U prethodnom smo predstavili niz formula koje nam omogućavaju da pronađemo numeričke karakteristike funkcija kada su poznati zakoni distribucije argumenata. Međutim, u mnogim slučajevima, da bi se pronašle numeričke karakteristike funkcija, nije potrebno čak ni poznavati zakone raspodjele argumenata, već je dovoljno poznavati samo neke od njihovih numeričkih karakteristika; u isto vrijeme generalno radimo bez ikakvih zakona distribucije. Određivanje numeričkih karakteristika funkcija iz datih numeričkih karakteristika argumenata se široko koristi u teoriji vjerovatnoće i može značajno pojednostaviti rješavanje niza problema. Većina ovih pojednostavljenih metoda odnosi se na linearne funkcije; međutim, neke elementarne nelinearne funkcije također dozvoljavaju sličan pristup.
U ovom tekstu ćemo predstaviti niz teorema o numeričkim karakteristikama funkcija, koje zajedno predstavljaju vrlo jednostavan aparat za izračunavanje ovih karakteristika, primenljiv u širokom spektru uslova.
1. Matematičko očekivanje neslučajne vrijednosti
Formulisano svojstvo je sasvim očigledno; može se dokazati razmatranjem neslučajne varijable kao posebne vrste slučajne, sa jednom mogućom vrijednošću sa vjerovatnoćom jedan; onda prema općoj formuli za matematičko očekivanje:
.
2. Varijanca neslučajne veličine
Ako je vrijednost koja nije slučajna, onda
3. Zamjena neslučajne vrijednosti za znak matematičkog očekivanja
, (10.2.1)
to jest, neslučajna vrijednost se može uzeti kao znak matematičkog očekivanja.
Dokaz.
a) Za diskontinuirane količine
b) Za kontinuirane količine
.
4. Izuzimanje neslučajne vrijednosti iz predznaka disperzije i standardne devijacije
Ako je neslučajna veličina, i slučajna je, onda
, (10.2.2)
to jest, neslučajna vrijednost se može izvući iz predznaka disperzije kvadraturom.
Dokaz. Po definiciji varijanse
Posljedica
,
to jest, neslučajna vrijednost se može izvući iz predznaka standardne devijacije svojom apsolutnom vrijednošću. Dokaz dobijamo uzimajući kvadratni korijen iz formule (10.2.2) i uzimajući u obzir da je r.s.o. - značajno pozitivnu vrijednost.
5. Matematičko očekivanje sume slučajnih varijabli
Dokažimo da za bilo koje dvije slučajne varijable i
to jest, matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja.
Ovo svojstvo je poznato kao teorema sabiranja matematičkih očekivanja.
Dokaz.
a) Neka je sistem diskontinuiranih slučajnih varijabli. Primijeniti na zbir slučajnih varijabli opšta formula(10.1.6) za matematičko očekivanje funkcije dva argumenta:
.
Ho ne predstavlja ništa više od ukupne vjerovatnoće da će količina poprimiti vrijednost:
;
dakle,
.
Slično ćemo to dokazati
,
i teorema je dokazana.
b) Neka je sistem kontinuiranih slučajnih varijabli. Prema formuli (10.1.7)
. (10.2.4)
Transformirajmo prvi od integrala (10.2.4):
;
slično
,
i teorema je dokazana.
Posebno treba napomenuti da teorema za sabiranje matematičkih očekivanja vrijedi za sve slučajne varijable - i zavisne i nezavisne.
Teorema za sabiranje matematičkih očekivanja generalizirana je na proizvoljan broj pojmova:
, (10.2.5)
odnosno matematičko očekivanje sume nekoliko slučajnih varijabli jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja.
Da bismo to dokazali, dovoljno je koristiti metodu potpune indukcije.
6. Matematičko očekivanje linearne funkcije
Razmotrite linearnu funkciju nekoliko slučajnih argumenata:
gdje su neslučajni koeficijenti. Dokažimo to
, (10.2.6)
tj. matematičko očekivanje linearne funkcije jednako je istoj linearnoj funkciji matematičkih očekivanja argumenata.
Dokaz. Koristeći teoremu sabiranja m.o. i pravilo postavljanja neslučajne količine izvan predznaka m.o., dobijamo:
.
7. Dispepovaj zbir slučajnih varijabli
Varijanca zbira dvije slučajne varijable jednaka je zbroju njihovih varijansi plus dvostruki korelacijski moment:
Dokaz. Označimo
Prema teoremi sabiranja matematičkih očekivanja
Pređimo sa slučajnih varijabli na odgovarajuće centrirane varijable. Oduzimajući jednakost (10.2.9) pojam po član od jednakosti (10.2.8), imamo:
Po definiciji varijanse
Q.E.D.
Formula (10.2.7) za varijansu sume može se generalizirati na bilo koji broj pojmova:
, (10.2.10)
gdje je korelacijski moment veličina, znak ispod zbroja znači da se zbrajanje proteže na sve moguće kombinacije slučajnih varijabli u paru .
Dokaz je sličan prethodnom i slijedi iz formule za kvadrat polinoma.
Formula (10.2.10) se može napisati u drugom obliku:
, (10.2.11)
gdje se dvostruki zbir proteže na sve elemente korelacijske matrice sistema veličina , koji sadrži i korelacijske momente i varijanse.
Ako su sve slučajne varijable , uključeni u sistem, nisu u korelaciji (tj., kada ), formula (10.2.10) ima oblik:
, (10.2.12)
to jest, varijansa zbira nekoreliranih slučajnih varijabli jednaka je zbiru varijansi termina.
Ova pozicija je poznata kao teorema sabiranja varijansi.
8. Varijanca linearne funkcije
Razmotrimo linearnu funkciju nekoliko slučajnih varijabli.
gdje su neslučajne veličine.
Dokažimo da je disperzija ove linearne funkcije izražena formulom
, (10.2.13)
gdje je korelacijski moment veličina , .
Dokaz. Hajde da uvedemo notaciju:
. (10.2.14)
Primjenjujući formulu (10.2.10) za disperziju sume na desnu stranu izraza (10.2.14) i uzimajući u obzir to, dobijamo:
gdje je korelacijski moment veličina:
.
Izračunajmo ovaj trenutak. Imamo:
;
slično
Zamjenom ovog izraza u (10.2.15) dolazimo do formule (10.2.13).
U posebnom slučaju kada su sve količine nisu u korelaciji, formula (10.2.13) ima oblik:
, (10.2.16)
to jest, varijansa linearne funkcije nekoreliranih slučajnih varijabli jednaka je zbroju proizvoda kvadrata koeficijenata i varijansi odgovarajućih argumenata.
9. Matematičko očekivanje proizvoda slučajnih varijabli
Matematičko očekivanje proizvoda dvije slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja plus korelacijski moment:
Dokaz. Poći ćemo od definicije korelacionog momenta:
Transformirajmo ovaj izraz koristeći svojstva matematičkog očekivanja:
što je očigledno ekvivalentno formuli (10.2.17).
Ako slučajne varijable nisu u korelaciji, onda formula (10.2.17) poprima oblik:
to jest, matematičko očekivanje proizvoda dvije nekorelirane slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.
Ova pozicija je poznata kao teorema množenja matematičkih očekivanja.
Formula (10.2.17) nije ništa drugo do izraz drugog mešovitog centralnog momenta sistema kroz drugi mešoviti početni trenutak i matematička očekivanja:
. (10.2.19)
Ovaj izraz se često koristi u praksi kada se izračunava korelacioni moment na isti način na koji se za jednu slučajnu varijablu varijansa često izračunava kroz drugi početni trenutak i matematičko očekivanje.
Teorema množenja matematičkih očekivanja generalizirana je na proizvoljan broj faktora, samo u ovom slučaju za njenu primjenu nije dovoljno da su veličine nekorelirane, već je potrebno da se pojave neki viši mješoviti momenti čiji broj zavisi na broj pojmova u proizvodu, nestaju. Ovi uslovi su svakako zadovoljeni ako su slučajne varijable uključene u proizvod nezavisne. U ovom slučaju
, (10.2.20)
odnosno, matematičko očekivanje proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.
Ova se tvrdnja može lako dokazati potpunom indukcijom.
10. Varijanca proizvoda nezavisnih slučajnih varijabli
Dokažimo to za nezavisne veličine
Dokaz. Označimo . Po definiciji varijanse
Pošto su količine nezavisne, i
Kada su nezavisne, količine su takođe nezavisne; dakle,
,
Ali ne postoji ništa više od drugog početnog momenta veličine, i stoga se izražava kroz disperziju:
;
slično
.
Zamjenom ovih izraza u formulu (10.2.22) i dovođenjem sličnih pojmova dolazimo do formule (10.2.21).
U slučaju kada se centrirane slučajne varijable (varijable sa matematičkim očekivanjima jednakim nuli) pomnože, formula (10.2.21) ima oblik:
, (10.2.23)
odnosno varijansa proizvoda nezavisnih centriranih slučajnih varijabli jednaka je proizvodu njihovih varijansi.
11. Viši momenti zbira slučajnih varijabli
U nekim slučajevima potrebno je izračunati najveće momente zbira nezavisnih slučajnih varijabli. Dokažimo neke relacije povezane ovdje.
1) Ako su veličine nezavisne, onda
Dokaz.
odakle, prema teoremi množenja matematičkih očekivanja
Ali prvi centralni moment za bilo koju količinu je nula; dva srednja člana nestaju i formula (10.2.24) je dokazana.
Relacija (10.2.24) se lako generalizuje indukcijom na proizvoljan broj nezavisnih članova:
. (10.2.25)
2) Četvrti centralni moment zbira dvije nezavisne slučajne varijable izražava se formulom
gdje su varijanse veličina i .
Dokaz je potpuno sličan prethodnom.
Koristeći metodu potpune indukcije, lako je dokazati generalizaciju formule (10.2.26) na proizvoljan broj nezavisnih članova.
Kao što je već poznato, zakon raspodjele u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu. Međutim, često je zakon distribucije nepoznat i čovjek se mora ograničiti na manje informacija. Ponekad je čak isplativije koristiti brojeve koji ukupno opisuju slučajnu varijablu; takvi brojevi se nazivaju numeričke karakteristike slučajne varijable.
Jedna od važnih numeričkih karakteristika je matematičko očekivanje.
Matematičko očekivanje je približno jednako prosječnoj vrijednosti slučajne varijable.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih njegovih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća.
Ako je slučajna varijabla karakterizirana konačnim nizom distribucije:
X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
R | p 1 | p 2 | p 3 | … | r p |
zatim matematičko očekivanje M(X) određena formulom:
Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable određeno je jednakošću:
gdje je gustina vjerovatnoće slučajne varijable X.
Primjer 4.7. Pronađite matematičko očekivanje broja poena koji se pojavljuju pri bacanju kocke.
Rješenje:
Slučajna vrijednost X uzima vrijednosti 1, 2, 3, 4, 5, 6. Kreirajmo zakon njegove distribucije:
X | ||||||
R |
Tada je matematičko očekivanje:
Svojstva matematičkog očekivanja:
1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti:
M (S) = S.
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka matematičkog očekivanja:
M (CX) = CM (X).
3. Matematičko očekivanje proizvoda dvije nezavisne slučajne varijable jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja:
M(XY) = M(X)M(Y).
Primjer 4.8. Nezavisne slučajne varijable X I Y dati su sljedećim zakonima o distribuciji:
X | Y | ||||||
R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable XY.
Rješenje.
Nađimo matematička očekivanja svake od ovih veličina:
Slučajne varijable X I Y nezavisno, stoga je traženo matematičko očekivanje:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Posljedica. Matematičko očekivanje proizvoda nekoliko međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja.
4. Matematičko očekivanje zbira dvije slučajne varijable jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Posljedica. Matematičko očekivanje sume nekoliko slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja termina.
Primjer 4.9. Ispaljuju se 3 hica sa vjerovatnoćom pogađanja mete jednakim p 1 = 0,4; p2= 0,3 i p 3= 0,6. Pronađite matematičko očekivanje ukupnog broja pogodaka.
Rješenje.
Broj pogodaka pri prvom udarcu je slučajna varijabla X 1, koji može uzeti samo dvije vrijednosti: 1 (pogodan) sa vjerovatnoćom p 1= 0,4 i 0 (promašaj) sa vjerovatnoćom q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matematičko očekivanje broja pogodaka pri prvom metku jednako je vjerovatnoći pogotka:
Slično, nalazimo matematička očekivanja broja pogodaka za drugi i treći hitac:
M(X 2)= 0,3 i M(X 3)= 0,6.
Ukupan broj pogodaka je također slučajna varijabla koja se sastoji od zbira pogodaka u svakom od tri hica:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Potrebna matematička očekivanja X Nalazimo ga koristeći teoremu o matematičkom očekivanju sume.
Slučajne varijable, pored zakona distribucije, takođe se mogu opisati numeričke karakteristike .
Matematičko očekivanje M (x) slučajne varijable naziva se njena srednja vrijednost.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable se izračunava pomoću formule
Gdje – vrijednosti slučajne varijable, str ja- njihove vjerovatnoće.
Razmotrimo svojstva matematičkog očekivanja:
1. Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti
2. Ako se slučajna varijabla pomnoži sa određenim brojem k, tada će se matematičko očekivanje pomnožiti s istim brojem
M (kx) = kM (x)
3. Matematičko očekivanje sume slučajnih varijabli jednako je zbiru njihovih matematičkih očekivanja
M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)
4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)
5. Za nezavisne slučajne varijable x 1, x 2, … x n, matematičko očekivanje proizvoda jednako je proizvodu njihovih matematičkih očekivanja
M (x 1, x 2, … x n) = M (x 1) M (x 2) … M (x n)
6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0
Izračunajmo matematičko očekivanje za slučajnu varijablu iz primjera 11.
M(x) = = .
Primjer 12. Neka slučajne varijable x 1, x 2 budu specificirane u skladu sa zakonima distribucije:
x 1 Tabela 2
x 2 Tabela 3
Izračunajmo M (x 1) i M (x 2)
M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0
M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0
Matematička očekivanja obje slučajne varijable su ista – jednaka su nuli. Međutim, priroda njihove distribucije je drugačija. Ako se vrijednosti x 1 malo razlikuju od njihovog matematičkog očekivanja, onda se vrijednosti x 2 u velikoj mjeri razlikuju od njihovog matematičkog očekivanja, a vjerovatnoće takvih odstupanja nisu male. Ovi primjeri pokazuju da je iz prosječne vrijednosti nemoguće odrediti do kojih odstupanja od nje dolazi, kako manjih tako i većih. Dakle, uz iste prosječne godišnje količine padavina u dva područja, ne može se reći da su ova područja podjednako povoljna za poljoprivredne radove. Slično prosjeku plate Nije moguće suditi o omjeru visoko i nisko plaćenih radnika. Stoga se uvodi numerička karakteristika - disperzija D(x) , koji karakteriše stepen odstupanja slučajne varijable od njene prosečne vrednosti:
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
Disperzija je matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od matematičkog očekivanja. Za diskretnu slučajnu varijablu, varijansa se izračunava pomoću formule:
D(x)= = (3)
Iz definicije disperzije proizilazi da je D (x) 0.
Svojstva disperzije:
1. Varijanca konstante je nula
2. Ako se slučajna varijabla pomnoži sa određenim brojem k, tada će se varijansa pomnožiti s kvadratom ovog broja
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)
4. Za parno nezavisne slučajne varijable x 1 , x 2 , … x n varijansa sume je jednaka zbiru varijansi.
D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)
Izračunajmo varijansu za slučajnu varijablu iz primjera 11.
Matematičko očekivanje M (x) = 1. Prema tome, prema formuli (3) imamo:
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
Imajte na umu da je lakše izračunati varijansu ako koristite svojstvo 3:
D (x) = M (x 2) – M 2 (x).
Izračunajmo varijanse za slučajne varijable x 1 , x 2 iz primjera 12 koristeći ovu formulu. Matematička očekivanja obje slučajne varijable su nula.
D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204
D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260
Kako bliža vrijednost disperzija na nulu, manji je širenje slučajne varijable u odnosu na srednju vrijednost.
Količina se zove standardna devijacija. Način slučajne varijable x diskretni tip Md Naziva se vrijednost slučajne varijable koja ima najveću vjerovatnoću.
Način slučajne varijable x kontinuirani tip Md, je realan broj definisan kao tačka maksimuma gustine distribucije verovatnoće f(x).
Medijan slučajne varijable x kontinuirani tip Mn je realan broj koji zadovoljava jednačinu
- Priprema prženih paprika za zimu: recepti sa belim lukom u ulju i marinadom
- Kiseli sos. Recepti za kuvanje. Slatko-kiseli sos za piletinu (recept korak po korak) Gotov slatko-kiseli sos
- Pire od bundeve: recepti sa piletinom, sirom, kajmakom, dijetalni i za djecu, od Julije Vysotske, u loncu i sporom kuhaču
- Recepti za brašno od orašastih plodova