Kako riješiti aritmetičku progresiju 9. Postovi označeni "aritmetička progresija 9. razreda"
Matematika ima svoju lepotu, baš kao i slikarstvo i poezija.
Ruski naučnik, mehaničar N.E. Zhukovsky
Vrlo uobičajeni zadaci u prijemni ispiti u matematici su problemi vezani za koncept aritmetičke progresije. Da biste uspješno rješavali takve probleme, morate dobro poznavati svojstva aritmetičke progresije i imati određene vještine u njihovoj primjeni.
Prisjetimo se najprije osnovnih svojstava aritmetičke progresije i predstavimo najvažnije formule, vezano za ovaj koncept.
Definicija. Redoslijed brojeva, u kojoj se svaki naredni pojam razlikuje od prethodnog za isti broj, zove se aritmetička progresija. U ovom slučaju brojnazvana razlika u progresiji.
Za aritmetičku progresiju važe sljedeće formule:
, (1)
Gdje . Formula (1) se naziva formulom opšteg člana aritmetičke progresije, a formula (2) predstavlja glavno svojstvo aritmetičke progresije: svaki član progresije se poklapa sa aritmetičkom sredinom njegovih susednih članova i .
Imajte na umu da se upravo zbog ovog svojstva progresija koja se razmatra naziva "aritmetička".
Gore navedene formule (1) i (2) su generalizirane na sljedeći način:
(3)
Za izračunavanje iznosa prvo članovi aritmetičke progresijeformula se obično koristi
(5) gdje i .
Ako uzmemo u obzir formulu (1), onda iz formule (5) slijedi
Ako označimo , onda
Gdje . Budući da su formule (7) i (8) generalizacija odgovarajućih formula (5) i (6).
posebno, iz formule (5) slijedi, Šta
Većini studenata malo je poznato svojstvo aritmetičke progresije, formulisano kroz sljedeću teoremu.
Teorema. Ako onda
Dokaz. Ako onda
Teorema je dokazana.
Na primjer , koristeći teoremu, može se pokazati da
Idemo dalje na razmatranje tipičnih primjera rješavanja problema na temu „Aritmetička progresija“.
Primjer 1. Neka bude. Pronađite .
Rješenje. Primjenom formule (6) dobijamo . Budući da i , onda ili .
Primjer 2. Neka je tri puta veći, a kada se podijeli s količnikom, rezultat je 2, a ostatak je 8. Odrediti i .
Rješenje. Iz uslova primjera slijedi sistem jednačina
Pošto , , i , onda iz sistema jednačina (10) dobijamo
Rješenje ovog sistema jednačina je i .
Primjer 3. Pronađite ako i .
Rješenje. Prema formuli (5) imamo ili . Međutim, koristeći svojstvo (9), dobijamo .
Budući da i , Zatim iz jednakosti jednačina slijedi ili .
Primjer 4. Pronađite ako .
Rješenje.Prema formuli (5) imamo
Međutim, koristeći teoremu, možemo pisati
Odavde i iz formule (11) dobijamo .
Primjer 5. Dato: . Pronađite .
Rješenje. Od tada. Međutim, stoga.
Primjer 6. Neka , i . Pronađite .
Rješenje. Koristeći formulu (9), dobijamo . Stoga, ako , onda ili .
Od i onda ovde imamo sistem jednačina
Rješavajući koje, dobivamo i .
Prirodni korijen jednadžbe je .
Primjer 7. Pronađite ako i .
Rješenje. Pošto prema formuli (3) imamo da , onda sistem jednačina slijedi iz uslova problema
Ako zamijenimo izrazu drugu jednačinu sistema, tada dobijamo ili .
Korijeni kvadratne jednadžbe su i .
Razmotrimo dva slučaja.
1. Neka , onda . Od i , onda .
U ovom slučaju, prema formuli (6), imamo
2. Ako , tada , i
Odgovor: i.
Primjer 8. Poznato je da i. Pronađite .
Rješenje. Uzimajući u obzir formulu (5) i uvjet primjera, pišemo i .
To implicira sistem jednačina
Ako pomnožimo prvu jednačinu sistema sa 2, a zatim je dodamo drugoj jednačini, dobićemo
Prema formuli (9) imamo. S tim u vezi, proizilazi iz (12) ili .
Od i , onda .
Odgovor: .
Primjer 9. Pronađite ako i .
Rješenje. Budući da , i pod uvjetom , onda ili .
Iz formule (5) je poznato, Šta . Od tada.
dakle, ovdje imamo sistem linearnih jednačina
Odavde dobijamo i . Uzimajući u obzir formulu (8), pišemo .
Primjer 10. Riješite jednačinu.
Rješenje. Iz date jednačine slijedi da . Pretpostavimo da , , i . U ovom slučaju .
Prema formuli (1), možemo napisati ili .
Budući da , tada jednačina (13) ima jedini odgovarajući korijen .
Primjer 11. Pronađite maksimalnu vrijednost pod uvjetom da i .
Rješenje. Od , tada se smatra aritmetička progresija se smanjuje. U tom smislu izraz poprima svoju maksimalnu vrijednost kada je broj minimalnog pozitivnog člana progresije.
Koristimo formulu (1) i činjenicu, kao . Onda dobijemo to ili .
Od , tada ili . Međutim, u ovoj nejednakostinajveći prirodni broj, Zbog toga .
Ako se vrijednosti , i zamijene u formulu (6), dobivamo .
Odgovor: .
Primjer 12. Odredite zbir svih dvocifrenih prirodnih brojeva koji, kada se podijele brojem 6, ostavljaju ostatak od 5.
Rješenje. Označimo skupom svih dvocifrenih prirodnih brojeva, tj. . Zatim ćemo konstruisati podskup koji se sastoji od onih elemenata (brojeva) skupa koji, kada se podijele brojem 6, daju ostatak od 5.
Jednostavan za instalaciju, Šta . Očigledno, da su elementi skupaformiraju aritmetičku progresiju, u kojem i .
Da bismo ustanovili kardinalnost (broj elemenata) skupa, pretpostavljamo da je . Budući da i , to slijedi iz formule (1) ili . Uzimajući u obzir formulu (5), dobijamo .
Gore navedeni primjeri rješavanja problema nikako ne mogu tvrditi da su iscrpni. Ovaj članak je napisan na osnovu analize savremenim metodama rješavanje tipičnih problema na zadatu temu. Za dublje proučavanje metoda za rješavanje problema vezanih za aritmetičku progresiju, preporučljivo je pogledati listu preporučene literature.
1. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate na fakultetima / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.
2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školski program. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.
3. Medynsky M.M. Puni kurs elementarna matematika u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojčani nizovi i progresije. – M.: Editus, 2015. – 208 str.
Imate još pitanja?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
web-stranici, prilikom kopiranja materijala u cijelosti ili djelomično, potrebna je poveznica na izvorni izvor.
Predmet: Aritmetičke i geometrijske progresije
Klasa: 9
Sistem obuke: materijal za pripremu izučavanja predmeta algebre i pripremne faze za polaganje OGE ispita
Target: formiranje pojmova aritmetičke i geometrijske progresije
Zadaci: naučiti razlikovati tipove napredovanja, naučiti ispravno, koristiti formule
Aritmetička progresija imenovati niz brojeva (uslovi progresije)
u kojoj se svaki sljedeći pojam razlikuje od prethodnog po novom pojmu, koji se također naziva korak ili razlika progresije.
Stoga, specificiranjem koraka progresije i njegovog prvog člana, možete pronaći bilo koji njegov element koristeći formulu
1) Svaki član aritmetičke progresije, počevši od drugog broja, je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana progresije
I obrnuto je tačno. Ako je aritmetička sredina susjednih neparnih (parnih) članova progresije jednaka terminu koji stoji između njih, onda je ovaj niz brojeva aritmetička progresija. Koristeći ovu izjavu, vrlo je lako provjeriti bilo koji niz.
Također, svojstvom aritmetičke progresije, gornja formula se može generalizirati na sljedeće
Ovo je lako provjeriti ako napišete pojmove desno od znaka jednakosti
Često se koristi u praksi za pojednostavljenje proračuna u problemima.
2) Zbir prvih n članova aritmetičke progresije izračunava se pomoću formule
Dobro zapamtite formulu za zbir aritmetičke progresije; ona je neophodna u proračunima i često se nalazi u jednostavnim životnim situacijama.
3) Ako trebate pronaći ne cijeli zbir, već dio niza počevši od njegovog k-tog člana, tada će vam biti korisna sljedeća formula sume
4) Od praktičnog interesa je pronalaženje zbira n članova aritmetičke progresije počevši od k-tog broja. Da biste to učinili, koristite formulu
Pronađite četrdeseti član aritmetičke progresije 4;7;...
Rješenje:
Prema stanju koje imamo
Odredimo korak napredovanja
Koristeći dobro poznatu formulu, nalazimo četrdeseti član progresije
Aritmetička progresija data je trećim i sedmim članom. Pronađite prvi član progresije i zbir deset.
Rješenje:
Zapišimo date elemente progresije koristeći formule
Aritmetička progresija je data nazivnikom i jednim od njegovih članova. Pronađite prvi član progresije, zbir njegovih 50 članova počevši od 50 i zbir prvih 100.
Rješenje:
Zapišimo formulu za stoti element progresije
i pronađite prvu
Na osnovu prvog nalazimo 50. član progresije
Pronalaženje zbroja dijela progresije
i zbir prvih 100
Zbir progresije je 250. Pronađite broj članova aritmetičke progresije ako:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Rješenje:
Napišimo jednačine u terminima prvog člana i koraka progresije i odredimo ih
Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u formulu sume kako bismo odredili broj članova u zbroju
Vršimo pojednostavljenja
i riješi kvadratnu jednačinu
Od dvije pronađene vrijednosti, samo broj 8 odgovara uslovima problema. Dakle, zbir prvih osam članova progresije je 111.
Riješite jednačinu
1+3+5+...+x=307.
Rješenje:
Ova jednačina je zbir aritmetičke progresije. Hajde da napišemo njegov prvi član i pronađemo razliku u progresiji
Pronađene vrijednosti zamjenjujemo u formulu za zbir progresije da bismo pronašli broj pojmova
Kao iu prethodnom zadatku, izvršit ćemo pojednostavljenja i riješiti kvadratnu jednačinu
Od dvije vrijednosti biramo logičniju. Imamo da je zbir 18 članova progresije sa datim vrijednostima a1=1, d=2 jednak Sn=307.
Primjeri rješavanja problema: Aritmetička progresija
Problem 1
Studentski tim je ugovorio polaganje keramičkih pločica na pod u sali omladinskog kluba površine 288 m2. Sticanje iskustva, studenti su svakog narednog dana, počevši od drugog, postavljali 2 m2 više nego drugog. prethodnog dana, a njihova zaliha pločica bila je dovoljna za tačno 11 dana rada. Planirajući da se na isti način poveća i produktivnost rada, predradnik je odredio da će za završetak posla biti potrebno još 5 dana. Koliko kutija pločica treba naručiti ako je 1 kutija dovoljna za 1,2 m2 poda, a 3 kutije su potrebne za zamjenu nekvalitetnih pločica?
Rješenje
Prema uslovima problema, to je jasno mi pričamo o tome o aritmetičkoj progresiji u kojoj neka
a1=h, Sn=288, n=16
Tada koristimo formulu: Sn= (2a1+d(n-1))*n/0.86=200mmHg. Art.
288=(2x+2*15)*16/2
Izračunajmo koliko će m2 studenti položiti za 11 dana: S11=(2*3+2*10)*11,2=143m2
288-143=145m2 ostalo nakon 11 dana rada, tj. za 5 dana
145/1.2=121 (otprilike) kutije se moraju naručiti 5 dana.
121+3=124 kutije se moraju naručiti uzimajući u obzir nedostatke
Odgovor: 124 kutije
Problem 2
Nakon svakog pokreta klipa vakuum pumpe, 20% zraka u njemu se uklanja iz posude. Odredimo pritisak vazduha unutar posude nakon šest pokreta klipa, ako je početni pritisak bio 760 mm Hg. Art.
Rješenje
Pošto se nakon svakog pokreta klipa 20% raspoloživog zraka ukloni iz posude, ostaje 80% zraka. Da biste saznali tlak zraka u posudi nakon sljedećeg kretanja klipa, potrebno je pomnožiti pritisak prethodnog kretanja klipa sa 0,8.
Imamo geometrijsku progresiju čiji je prvi član 760, a imenilac 0,8. Broj koji izražava pritisak vazduha u posudi (u mm Hg) nakon šest pokreta klipa je sedmi član ove progresije. To je jednako 760*0,86=200mmHg. Art.
Odgovor: 200 mmHg.
Zadata je aritmetička progresija, gdje su peti i deseti član jednaki 38, odnosno 23 Nađite petnaesti član progresije i zbir njegovih prvih deset članova.
Rješenje:
Nađite broj članova aritmetičke progresije 5,14,23,...,, ako je njen th član 239.
Rješenje:
Nađi broj članova aritmetičke progresije je 9,12,15,...,, ako je njen zbir 306.
Rješenje:
Pronađite x za koji brojevi x-1, 2x-1, x2-5 čine aritmetičku progresiju
Rješenje:
Nađimo razliku između 1 i 2 člana progresije:
d=(2x-1)-(x-1)=x
Nađimo razliku između 2 i 3 člana progresije:
d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4
Jer razlika je ista, onda se termini progresije mogu izjednačiti:
Kada se provjeri u oba slučaja, dobija se aritmetička progresija
Odgovor: pri x=-1 i x=4
Aritmetička progresija je data njenim trećim i sedmim članom a3=5; a7=13. Pronađite prvi član progresije i zbir deset.
Rješenje:
Od druge jednačine oduzimamo prvu, kao rezultat nalazimo korak progresije
a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, što znači d=2
Pronađenu vrijednost zamjenjujemo u bilo koju od jednadžbi kako bismo pronašli prvi član aritmetičke progresije
Izračunavamo zbir prvih deset članova progresije
S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100
Odgovor: a1=1; S10=100
U aritmetičkoj progresiji čiji je prvi član -3,4 i čija je razlika 3, pronađite peti i jedanaesti član.
Dakle, znamo da je a1 = -3,4; d = 3. Naći: a5, a11-.
Rješenje. Da bismo pronašli n-ti član aritmetičke progresije, koristimo formulu: an = a1+ (n – 1)d. Imamo:
a5 = a1 + (5 – 1)d = -3,4 + 4 3 = 8,6;
a11 = a1 + (11 – 1)d = -3,4 + 10 3 = 26,6.
Kao što vidite, u ovom slučaju rješenje nije teško.
Dvanaesti član aritmetičke progresije je 74, a razlika je -4. Pronađite trideset četvrti član ove progresije.
Rečeno nam je da je a12 = 74; d = -4, i trebamo pronaći a34-.
U ovom zadatku nije moguće odmah primijeniti formulu an = a1 + (n – 1)d, jer Prvi član a1 je nepoznat. Ovaj problem se može riješiti u nekoliko koraka.
1. Koristeći termin a12 i formulu za n-ti član, nalazimo a1:
a12 = a1 + (12 – 1)d, sada pojednostavimo i zamijenimo d: a12 = a1 + 11 · (-4). Iz ove jednačine nalazimo a1: a1 = a12 – (-44);
Znamo dvanaesti član iz izjave problema, tako da lako možemo izračunati a1
a1 = 74 + 44 = 118. Pređimo na drugi korak - izračunavanje a34.
2. Opet, koristeći formulu an = a1 + (n – 1)d, pošto je a1 već poznato, odredićemo a34-,
a34 = a1 + (34 – 1)d = 118 + 33 · (-4) = 118 – 132 = -14.
Odgovor: Trideset četvrti član aritmetičke progresije je -14.
Kao što vidite, rješenje drugog primjera je složenije. Ista formula se koristi dva puta za dobijanje odgovora. Ali sve je tako komplikovano. Rješenje se može skratiti korištenjem dodatnih formula.
Kao što je već napomenuto, ako je a1 poznat u zadatku, onda je formula za određivanje n-og člana aritmetičke progresije vrlo zgodna za korištenje. Ali, ako uvjet ne specificira prvi pojam, tada u pomoć može priskočiti formula koja povezuje n-ti pojam koji nam je potreban i termin ak naveden u problemu.
an = ak + (n – k)d.
Rešimo drugi primjer, ali koristeći novu formulu.
Dato je: a12 = 74; d = -4. Nađi: a34-.
Koristimo formulu an = ak + (n – k)d. U našem slučaju to će biti:
a34 = a12 + (34 – 12) · (-4) = 74 + 22 · (-4) = 74 – 88 = -14.
Odgovor na problem dobija se mnogo brže, jer nije bilo potrebe za dodatnim radnjama i traženjem prvog člana progresije.
Koristeći gornje formule, možete riješiti probleme izračunavanja razlike aritmetičke progresije. Dakle, koristeći formulu an = a1 + (n – 1)d možete izraziti d:
d = (an – a1) / (n – 1). Međutim, problemi sa datim prvim članom se ne susreću tako često, a mogu se riješiti pomoću naše formule an = ak + (n – k)d, iz koje je jasno da je d = (an – ak) / (n – k). Pogledajmo ovaj problem.
Pronađite razliku aritmetičke progresije ako je poznato da je a3 = 36; a8 = 106.
Koristeći formulu koju smo dobili, rješenje problema se može napisati u jednom redu:
d = (a8 – a3) / (8 – 3) = (106 – 36) / 5 = 14.
Bez ove formule, rješavanje problema bi trajalo mnogo duže, jer sistem od dvije jednačine bi morao biti riješen.
Geometrijske progresije
1. Formula th člana (zajednički termin progresije).
2. Formula za zbir prvih članova progresije: . Kada je uobičajeno govoriti o konvergentnoj geometrijskoj progresiji; u ovom slučaju, možete izračunati zbir cjelokupne progresije koristeći formulu.
3. Formula za “geometrijsku sredinu”: ako su , , tri uzastopna člana geometrijske progresije, onda po definiciji imamo sljedeće odnose: ili .
Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com
Naslovi slajdova:
Pregled:
Predmet
Aritmetička progresija
CILJA:
- naučiti da prepoznaju aritmetičku progresiju koristeći njenu definiciju i znak;
- naučiti kako rješavati probleme koristeći definiciju, znak, formulu za opći pojam progresije.
CILJEVI ČASA:
dati definiciju aritmetičke progresije, dokazati znak aritmetičke progresije i naučiti kako ih koristiti u rješavanju problema.
NASTAVNE METODE:
ažuriranje znanja učenika, samostalan rad, individualni rad, stvaranje problemske situacije.
SAVREMENE TEHNOLOGIJE:
IKT, učenje zasnovano na problemima, diferencirano učenje, tehnologije koje štede zdravlje.
PLAN LEKCIJE
Faze lekcije. | Vrijeme implementacije. |
|
Organiziranje vremena. | 2 minute |
|
Ponavljanje onoga što je pokriveno | 5 minuta |
|
Učenje novog gradiva | 15 minuta |
|
Minut fizičkog vaspitanja | 3 minute |
|
Izvršavanje zadataka na temu | 15 minuta |
|
Zadaća | 2 minute |
|
Rezimirajući | 3 minute |
TOKOM NASTAVE:
- U prošloj lekciji smo se upoznali sa konceptom „sekvence“.
Danas ćemo nastaviti proučavati nizove brojeva, definirati neke od njih i upoznati se s njihovim svojstvima i karakteristikama.
- Odgovorite na pitanja: Šta je niz?
Koje sekvence postoje?
Na koje načine možete postaviti redoslijed?
Šta je niz brojeva?
Koje metode specificiranja niza brojeva poznajete? Koja se formula naziva rekurentna?
- Zadati numerički nizovi:
- 1, 2, 3, 4, 5, …
- 2, 5, 8, 11, 14,…
- 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
- 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …
Pronađite obrazac svakog niza i imenujte sljedeća tri pojma svakog od njih.
- a n = a n -1 +1
- a n = a n -1 + 3
- a n = a n -1 + (-2)
- a n = a n -1 + 0,5
Navedite formulu ponavljanja za svaki niz.
Slajd 1
Brojčani niz, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju, naziva se aritmetička progresija.
Broj d naziva se razlika aritmetičke progresije.
Aritmetička progresija je numerički niz, tako da može biti rastuća, opadajuća ili konstantna. Navedite primjere takvih nizova, navedite razliku između svake progresije i izvucite zaključak.
Hajde da izvedemo formulu za opšti pojam aritmetičke progresije.
Na tabli: neka a 1 je prvi član progresije, d je onda njegova razlika
a 2 =a 1 +d
a 3 =(a 1 +d)+d=a 1 +2d
a 4 =(a 1 +2d)+d=a 1 +3d
a 5 =(a 1 +3d)+d=a 1 +4d
a n =a 1 +d (n-1) - formula n-og člana aritmetičke progresije.
Riješite zadatak: U aritmetičkoj progresiji, prvi član je 5, a razlika je 4.
Pronađite 22. član ove progresije.
Učenik odlučuje na odboru: a n =a 1 +d(n-1)
A 22 =a 1 +21d=5+21*4=89
Minut fizičkog vaspitanja.
Ustali smo.
Ruke na pojasu. Nagibi lijevo, desno, (2 puta);
Savijte se naprijed, nazad (2 puta);
Podignite ruke gore, duboko udahnite, spustite ruke dolje, izdahnite. (2 puta)
Rukovali su se. Hvala ti.
Sjeli smo. Nastavimo lekciju.
Zadatke rješavamo koristeći formulu za opći pojam aritmetičke progresije.
Učenicima se nude sljedeći zadaci:
- U aritmetičkoj progresiji, prvi član je -2, d=3, a n =118.
Nađi br.
- U aritmetičkoj progresiji, prvi član je 7, petnaesti član je –35. Pronađite razliku.
- Poznato je da je u aritmetičkoj progresiji d=-2, a39=83. Pronađite prvi član progresije.
Učenici su podijeljeni u grupe. Zadatak se daje 5 minuta. Zatim prva 3 učenika koji su riješili probleme rješavaju ih na tabli. Rješenje je duplicirano na slajdovima.
Razmotrimo karakteristična svojstva aritmetičke progresije.
U aritmetičkoj progresiji
a n -d=a (n-1)
a n +d=a (n+1)
Dodajmo ove dvije jednakosti pojam po član, dobićemo: 2a n =a (n+1) +a (n-1)
A n =(a (n+1) +a (n-1))/2
To znači da je svaki član aritmetičke progresije, osim prvog i posljednjeg, jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i narednih članova.
TEOREMA:
Numerički niz je aritmetička progresija ako i samo ako je svaki od njegovih članova, osim prvog (i posljednjeg u slučaju konačnog niza), jednak aritmetičkoj sredini prethodnog i sljedećih članova (karakteristično svojstvo aritmetička progresija).
Razumijevanje mnogih tema iz matematike i fizike povezano je sa poznavanjem svojstava brojevnih nizova. Školarci u 9. razredu, kada izučavaju predmet "Algebra", razmatraju jedan od važnih nizova brojeva - aritmetičku progresiju. Predstavljamo osnovne formule aritmetičke progresije (9. razred), kao i primjere njihove upotrebe za rješavanje zadataka.
Algebarska ili aritmetička progresija
Brojevni niz o kojem će biti riječi u ovom članku naziva se dva Različiti putevi predstavljeno u naslovu ovog stava. Dakle, pod aritmetičkom progresijom u matematici podrazumijevamo niz brojeva u kojem se bilo koja dva susjedna broja razlikuju za isti iznos, koji se naziva razlika. Brojevi u takvoj seriji obično se označavaju slovima s nižim cijelim indeksom, na primjer, a1, a2, a3 i tako dalje, gdje indeks označava broj elementa serije.
Uzimajući u obzir gornju definiciju aritmetičke progresije, možemo napisati sljedeću jednakost: a2-a1 =...=an-an-1=d, ovdje je d razlika algebarske progresije, a n bilo koji cijeli broj. Ako je d>0, onda možemo očekivati da će svaki sljedeći član serije biti veći od prethodnog, u ovom slučaju govorimo o rastućoj progresiji. Ako d
Formule aritmetičke progresije (9. razred škole)
Razmatrani niz brojeva, budući da je naređen i pokorava se nekima matematički zakon, ima dva svojstva važna za njegovu upotrebu:
Prvu formulu je lako razumjeti, jer je direktna posljedica činjenice da se svaki član niza koji se razmatra razlikuje od svog susjeda istom razlikom.
Druga formula za aritmetičku progresiju može se dobiti ako primetimo da se ispostavi da je zbir a1+an ekvivalentan zbiru a2+an-1, a3+an-2 i tako dalje. Zaista, budući da je a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1 i an-1 = -d+an, zatim zamjenom ovih izraza u odgovarajuće sume, nalazimo da oni će biti isti. Faktor n/2 u 2. formuli (za Sn) se pojavljuje zbog činjenice da su sumi tipa ai+1+an-i tačno n/2, ovdje je i cijeli broj u rasponu od 0 do n/2 - 1.
Prema sačuvanim istorijskim dokazima, formulu za zbir Sn prvi je dobio Carl Gauss (slavni njemački matematičar) kada je dobio zadatak od svog učitelja da sabere prvih 100 brojeva.
Primjer problema #1: pronađite razliku
Problemi u kojima se postavlja pitanje: poznavanje formula aritmetičke progresije, kako pronaći d (d), najjednostavniji su koji mogu biti samo za ovu temu.
Dajemo primjer: dat numerički niz -5,-2, 1, 4, ..., potrebno je odrediti njegovu razliku, odnosno d.
To se može učiniti što je lakše moguće: trebate uzeti dva elementa i oduzeti manji od većeg. U ovom slučaju imamo: d = -2 - (-5) = 3.
Da biste bili sigurni u dobiveni odgovor, preporučuje se provjeriti preostale razlike, jer prikazani niz možda neće zadovoljiti uvjet algebarske progresije. Imamo: 1-(-2)=3 i 4-1=3. Ovi podaci ukazuju da smo dobili tačan rezultat (d=3) i dokazali da niz brojeva u iskazu problema zaista predstavlja algebarsku progresiju.
Primjer zadatka br. 2: pronađite razliku, znajući dva člana progresije
Razmotrimo još jedan zanimljiv problem, koji pita kako pronaći razliku. U ovom slučaju, formula aritmetičke progresije se mora koristiti za n-ti član. Dakle, zadatak: s obzirom na prvi i peti broj niza koji odgovaraju svim svojstvima algebarske progresije, na primjer, to su brojevi a1 = 8 i a5 = -10. Kako pronaći razliku d?
Trebali biste početi rješavati ovaj problem zapisujući opšti pogled formule za n-ti element: an = a1+d*(-1+n). Sada možete ići na dva načina: ili odmah zamijenite brojeve i radite s njima, ili izrazite d, a zatim prijeđite na određene a1 i a5. Koristeći posljednju metodu, dobijamo: a5 = a1+d*(-1+5) ili a5 = 4*d+a1, što znači da je d = (a5-a1)/4. Sada možete bezbedno zameniti poznate podatke iz uslova i dobiti konačan odgovor: d = (-10-8)/4 = -4,5.
Imajte na umu da se u ovom slučaju razlika u progresiji pokazala negativnom, odnosno da postoji opadajući niz brojeva. Na ovu činjenicu potrebno je obratiti pažnju prilikom rješavanja problema kako ne biste pobrkali znakove "+" i "-". Sve gore navedene formule su univerzalne, pa ih uvijek treba slijediti bez obzira na predznak brojeva s kojima se operacije izvode.
Primjer rješavanja zadatka br. 3: naći a1, znajući razliku i element
Hajde da malo promijenimo iskaz problema. Neka postoje dva broja: razlika d=6 i 9. element progresije a9 = 10. Kako pronaći a1? Formule za aritmetičku progresiju ostaju nepromijenjene, upotrijebimo ih. Za broj a9 imamo sljedeći izraz: a1+d*(9-1) = a9. Odakle lako dobijamo prvi element serije: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.
Primjer rješavanja zadatka br. 4: naći a1, znajući dva elementa
Ova verzija problema je komplikovana verzija prethodne. Suština je ista, potrebno je izračunati a1, ali sada razlika d nije poznata, a umjesto nje je dat drugi element progresije.
Primjer ove vrste problema je sljedeći: pronađite prvi broj niza za koji je poznato da je aritmetička progresija i da su njegovi 15. i 23. element 7 odnosno 12.
Ovaj problem je potrebno riješiti tako što ćemo napisati izraz za n-ti član za svaki element poznat iz uvjeta, imamo: a15 = d*(15-1)+a1 i a23 = d*(23-1)+a1. Kao što vidite, imamo dva linearne jednačine, koje treba riješiti u odnosu na a1 i d. Uradimo ovo: oduzmimo prvu od druge jednačine, onda ćemo dobiti sljedeći izraz: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. Prilikom izvođenja posljednje jednadžbe, vrijednosti a1 su izostavljene jer se poništavaju kada se oduzmu. Zamjenom poznatih podataka nalazimo razliku: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.
Vrijednost d mora biti zamijenjena bilo kojom formulom za poznati element da dobijemo prvi član niza: a15 = 14*d+a1, odakle je: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = -1,75.
Provjerimo dobijeni rezultat da bismo to učinili, nalazimo a1 kroz drugi izraz: a23 = d*22+a1 ili a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.
Primjer rješavanja zadatka br. 5: pronaći zbir n elemenata
Kao što vidite, do sada je za rješenje korištena samo jedna formula aritmetičke progresije (9. razred). Sada predstavljamo problem čija rješenja zahtijevaju poznavanje druge formule, odnosno za zbir Sn.
Postoji sljedeći uređeni niz brojeva -1,1, -2,1, -3,1,..., potrebno je izračunati zbir njegovih prvih 11 elemenata.
Iz ove serije je jasno da je opadajuća, a a1 = -1,1. Njegova razlika je jednaka: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Sada definišimo 11. član: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Nakon što ste završili pripremne proračune, možete koristiti gornju formulu za iznos, imamo: S11 =11*(-1,1 +(-11,1))/2 = -67,1. Pošto su svi članovi negativni brojevi, njihov zbir ima i odgovarajući predznak.
Primjer rješavanja zadatka br. 6: pronaći zbir elemenata od n do m
Možda je ova vrsta problema najteža za većinu školaraca. Dajemo tipičan primjer: za niz brojeva 2, 4, 6, 8..., potrebno je pronaći zbir od 7. do 13. članova.
Formule aritmetičke progresije (ocena 9) koriste se potpuno isto kao i u svim prethodnim problemima. Preporučuje se rješavanje ovog problema korak po korak:
Idemo do rješenja. Kao iu prethodnom slučaju, izvršit ćemo pripremne proračune: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.
Izračunajmo dva zbroja: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Uzmimo razliku i dobijemo željeni odgovor: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Imajte na umu da je prilikom dobijanja ove vrijednosti zbir 6 elemenata progresije korišten kao oduzetak, pošto je 7. član uključen u zbir S7-13.
- Usekovanje glave Jovana Krstitelja: istorija
- Osvećenje hrama na Dubrovki Hram u čast svetih ravnoapostolnih Metodija i Kirila na Dubrovki
- Jedinstvene kupole - hram kneza Igora Černigovskog u Peredelkinu Crkva Preobraženja Gospodnjeg u Peredelkinu raspored bogosluženja
- Poslednji ispovednik kraljevske porodice Zvanični ispovednici ruskih careva