Nestandardni zadaci. Nestandardni zadaci kao sredstvo za razvijanje interesovanja za matematiku kod učenika
Zbirka predstavlja materijale o razvijanju sposobnosti učenika u rješavanju nestandardnih zadataka, odnosno onih za koje algoritam rješenja nije unaprijed poznat, važna je komponenta školskog obrazovanja. Kako naučiti školarce da rješavaju nestandardne probleme? O jednom od moguće opcije takva obuka - stalno takmičenje u rješavanju zadataka - opisana je na stranicama Matematičkog dodatka (br. 28-29, 38-40/96). Skup zadataka koji vam se nudi može se koristiti i u vannastavnim aktivnostima. Materijal je pripremljen na zahtev nastavnika u gradu Kostromi.
Vještine rješavanja problema su najvažnija (i najlakša za kontrolisanje) komponenta matematičkog razvoja učenika. Radi se o ne o standardnim zadacima (vježbama), već o zadacima nestandardno, algoritam rješenja za koji nije unaprijed poznat (granica između ovih vrsta zadataka je proizvoljna, a ono što je nestandardno za učenika šestog razreda može biti poznato učeniku sedmog razreda! 150 zadataka predloženih u nastavku (direktan nastavak nestandardnih zadataka za učenike petog razreda) namijenjeni su za godišnje takmičenje u 6. razredu. Ovi zadaci se također mogu koristiti u vannastavne aktivnosti.
Komentari na zadatke
Svi zadaci se mogu podijeliti u tri grupe:
1.Izazovi za domišljatost. Rješavanje ovakvih problema, po pravilu, ne zahtijeva duboko znanje, potrebna je samo inteligencija i želja da se prevladaju poteškoće na putu do rješenja. Između ostalog, ovo je prilika da se zainteresuju učenici koji ne pokazuju mnogo žara za učenje, a posebno za matematiku.
2.Zadaci za konsolidaciju gradiva. S vremena na vrijeme potrebno je rješavati probleme osmišljene isključivo za konsolidaciju naučenih ideja. Imajte na umu da je preporučljivo provjeriti stupanj asimilacije novog materijala neko vrijeme nakon njegovog proučavanja.
3.Zadaci za propedeutiku novih ideja. Problemi ovog tipa pripremaju studente za sistematsko proučavanje programskog materijala, a ideje i činjenice sadržane u njima dobijaju prirodnu i jednostavnu generalizaciju u budućnosti. Na primjer, izračunavanje različitih numeričkih suma pomoći će učenicima da shvate izvođenje formule sume aritmetička progresija, a ideje i činjenice sadržane u nekim od zadataka s riječima u ovom setu pripremaju vas za proučavanje tema: Sistemi linearne jednačine", "Ujednačeno kretanje" itd. Kako iskustvo pokazuje, što se gradivo duže proučava, lakše ga je naučiti.
O rješavanju problema
Zapazimo fundamentalno važne tačke:
1. Pružamo “čisto aritmetička” rješenja za probleme riječi gdje je to moguće, čak i ako ih učenici mogu lako riješiti pomoću jednačina. To se objašnjava činjenicom da reproduciranje gradiva u verbalnom obliku zahtijeva znatno veći logički napor i stoga najefikasnije razvija mišljenje učenika. Sposobnost izlaganja gradiva u verbalnom obliku najvažniji je pokazatelj nivoa matematičkog mišljenja.
2. Proučeni materijal se bolje apsorbira ako je u svijesti učenika povezan sa drugim materijalom, pa se po pravilu pozivamo na već riješene probleme (takvi linkovi su upisani kurzivom).
3. Probleme je korisno riješiti Različiti putevi(pozitivna ocjena se daje za bilo koju metodu rješenja). Dakle, za sve tekstualne probleme osim aritmetika se razmatra algebarski rješenje (jednačina). Nastavniku se preporučuje da diriguje komparativna analiza predložena rješenja.
Problemski uslovi
▼ 1.1. S kojim se jednocifrenim brojem treba pomnožiti da bi rezultat bio novi broj napisan samo u jedinicama?
1.2. Ako Anya ide pješke do škole i vraća se autobusom, onda na putu provede ukupno 1,5 sat. Koliko će vremena Anya provesti na putu ako ide pješice do i od škole?
1.3. Krompir je pojeftinio za 20%. Koliko posto više krompira možete kupiti za isti iznos?
1.4. Kanta od šest litara sadrži 4 litre kvasa, a kanta od sedam litara sadrži 6 litara. Kako podijeliti sav raspoloživi kvas na pola koristeći ove kante i praznu teglu od tri litre?
1.5. Da li je moguće premjestiti šahovskog viteza iz donjeg lijevog ugla ploče u gornji desni ugao, obilazeći svako polje tačno jednom? Ako je moguće, onda navedite rutu ako ne, onda objasnite zašto.
▼ 2.1. Da li je tačna izjava: ako da negativan broj Ako saberete kvadrat istog broja, uvijek ćete dobiti pozitivan broj?
2.2. Od kuće do škole hodam 30 minuta, a brat 40 minuta. Koliko će mi minuta trebati da stignem brata ako je izašao iz kuće 5 minuta prije mene?
2.3.
Učenik je na tabli napisao primjer množenja dvocifrenim brojevima. Zatim je izbrisao sve brojeve i zamijenio ih slovima. Rezultat je jednakost: .
Dokažite da učenik nije u pravu.
2.4.
Vrč balansira dekanter i čašu, dva vrča su teška kao tri šolje, a čaša i čaša balansiraju dekanter. Koliko čaša izbalansira dekanter?
▼ 3.1. Putnik je, prešavši polovinu puta, otišao u krevet i spavao dok mu nije preostalo pola puta koje je prešao dok je spavao. Koliko je puta prešao dok je spavao?
3.2. Koja je riječ šifrirana u broju ako se svako slovo zamijeni svojim brojem u abecedi?
3.3. Dato je 173 broja, od kojih je svaki jednak 1 ili -1. Da li ih je moguće podijeliti u dvije grupe tako da su zbroji brojeva u grupama jednaki?
3.4. Učenik je knjigu pročitao za 3 dana. Prvog dana je pročitao 0,2 cijele knjige i još 16 stranica, drugog dana pročitao je 0,3 ostatka i još 20 stranica, a trećeg dana pročitao je 0,75 od novog ostatka i zadnjih 30 stranica. Koliko stranica ima u knjizi?
3.5. Oslikana kocka sa ivicom od 10 cm isečena je na kocke sa ivicom od 1 cm Koliko bi ih bilo kockica sa jednom obojenom ivicom? Sa dve obojene ivice?
▼ 4.1. Od brojeva 21, 19, 30, 25, 3, 12, 9, 15, 6, 27 izaberite tri broja čiji je zbir 50.
4.2. Automobil se kreće brzinom od 60 km/h. Koliko vam je potrebno da povećate brzinu da pređete kilometar jedan minut brže?
4.3. Jedan kvadrat je dodat na tic-tac-toe dasku (vidi sliku). Kako prvi igrač treba da igra da bi bio siguran da će pobediti?
4.4. Na šahovskom turniru učestvovalo je 7 osoba. Svaki šahist je odigrao po jednu partiju. Koliko je utakmica odigrano?
4.5. Da li je moguće iseći šahovsku tablu na pravougaonike 3x1?
▼ 5.1. Knjigu su platili 5.000 rubalja. I ostaje da se plati onoliko koliko bi ostalo da se plati da su platili onoliko koliko je ostalo da se plati. Koliko košta knjiga?
5.2. Nećak je pitao strica koliko ima godina. Stric je odgovorio: "Ako na polovinu mojih godina dodate 7, saznaćete koliko sam imao godina prije 13 godina." Koliko godina ima tvoj ujak?
5.3. Ako unesete 0 između znamenki dvocifrenog broja, onda je rezultirajući trocifreni broj 9 puta veći od originalnog. Pronađite ovaj dvocifreni broj.
5.4. Pronađite zbir brojeva 1 + 2 + … + 870 + 871.
5.5. Ima 6 štapića dužine 1 cm, 3 štapa – 2 cm, 6 štapića – 3 cm, 5 štapića – 4 cm na drugu?
▼ 6.1. Multiplikand je povećan za 10%, a množilac smanjen za 10%. Kako je to promijenilo rad?
6.2.
Tri trkača A
, B
I IN
takmičio se u utrci na 100 m A
stigao do kraja trke B
zaostajao za njim 10 m, Kada B
stigao do cilja IN
zaostajao za njim za 10 m. Koliko je metara zaostao IN
od A
, Kada A
završio?
6.3.
Broj odsutnih učenika u razredu jednak je broju prisutnih učenika. Nakon što je jedan učenik napustio čas, broj izostanaka je izjednačen sa brojem prisutnih. Koliko učenika ima u razredu?
6.4 . Lubenica balansira dinju i cveklu. Dinja balansira kupus i cveklu. Dvije lubenice teže kao tri glavice kupusa. Koliko je puta dinja teža od cvekle?
6.5. Može li se pravougaonik 4x8 izrezati na 9 kvadrata?
▼ 7.1. Cijena proizvoda je snižena za 10%, a zatim ponovo za 10%. Hoće li proizvod pojeftiniti ako mu se cijena odmah smanji za 20%?
7.2. Veslač, koji je plutao uz reku, izgubio je šešir ispod mosta. Nakon 15 minuta primijetio je da nedostaje, vratio se i uhvatio šešir 1 km od mosta. Kolika je brzina toka rijeke?
7.3. Poznato je da je jedan od novčića lažan i lakši od ostalih. U koliko vaganja na vagi bez utega možete odrediti koji je novčić krivotvoren?
7.4. Da li je moguće, prema pravilima igre, staviti svih 28 domina u lanac tako da na jednom kraju bude „šestica“, a na drugom „petica“?
7.5. Ima 19 telefona. Da li ih je moguće povezati u parove tako da svaki bude povezan sa tačno trinaest njih?
▼ 8.1. U takmičenjima po olimpijskom sistemu učestvuje 47 boksera (poraženi je eliminisan). Koliko borbi se mora voditi da bi se odredio pobjednik?
8.2. U vrtu rastu stabla jabuke i trešnje. Ako uzmete sve trešnje i sva stabla jabuke, onda će biti jednak broj oba stabla, a ukupno u vrtu ima 360 stabala. Koliko je stabala jabuka i trešanja bilo u bašti?
8.3. Kolya, Borya, Vova i Yura zauzeli su prva četiri mjesta na takmičenju, a nijedna dva dječaka nisu podijelila nijedno mjesto među sobom. Na pitanje ko je osvojio koje mesto, Kolja je odgovorio: "Ni prvi ni četvrti, Borja je rekao: "Drugi", a Vova je primetio da nije poslednji. Koje je mjesto zauzeo svaki od dječaka ako su svi rekli istinu?
8.4. Da li je broj djeljiv sa 9?
8.5. Izrežite pravougaonik dužine 9 cm i širine 4 cm na dva jednaka dela tako da se mogu saviti u kvadrat.
▼ 9.1. Sakupili smo 100 kg gljiva. Ispostavilo se da je njihova vlažnost bila 99%. Kada su pečurke osušene, vlažnost
smanjen na 98%. Kolika je bila masa gljiva nakon sušenja?
9.2. Da li je moguće koristiti brojeve 1, 2, 3, ..., 11, 12 za kreiranje tabele od 3 reda i 4 kolone tako da je zbir brojeva u svakoj koloni isti?
9.3. Koji broj završava zbirom 135x + 31y + 56x+y, ako su x i y – cijeli brojevi?
9.4. Pet dječaka imaju Andrej, Borya, Volodya, Gena i Dima različite starosti: jedan ima 1 godinu, drugi 2 godine, ostali 3, 4 i 5 godina. Volodja je najmanji, Dima je star koliko su Andrej i Gena zajedno. Koliko godina ima Borya? Kome se još može utvrditi starost?
9.5. Šahovska ploča ima dva odsječena polja: donje lijevo i gornje desno. Da li je moguće pokriti takvu šahovsku tablu sa 2x1 domino „kostima“?
▼ 10.1. Da li je moguće od brojeva 1,2,3,…. 11.12 kreirati tabelu od 3 reda i 4 kolone tako da je zbir brojeva u svakom od tri reda isti?
10.2. Direktor fabrike obično stiže u grad vozom u 8 sati. Jednog dana direktor je stigao na stanicu u 7 sati i otišao do fabrike. Nakon što je sreo automobil, sjeo je u njega i stigao u pogon 20 minuta ranije nego inače. Koliko je sati pokazao kada je direktor sreo mašinu?
10.3 . U dve vreće ima 140 kg brašna. Ako 1/8 brašna sadržanog u prvoj vrećici prebacite iz prve u drugu, tada će u obje vrećice biti jednake količine brašna. Koliko je brašna u početku bilo u svakoj vrećici?
10.4. U jednom mjesecu, tri srijede su bile na parnim brojevima. Koji datum je druga nedjelja ovog mjeseca?
10.5. Nakon 7 pranja, dužina, širina i debljina sapuna su prepolovljene. Koliko će pranja izdržati preostali sapun?
▼ 11.1. Nastavite niz brojeva: 10, 8, 11, 9, 12, 10 do osmog broja. Po kom pravilu se sastavlja?
11.2. Od kuće do škole Yura kasni 5 minuta Lena, ali on je hodao duplo brže od nje. Koliko minuta nakon odlaska Yuraće sustići Lena?
11.3. 2100?
11.4. Učenici dva šesta razreda kupili su 737 udžbenika, a svaki je kupio isti broj udžbenika. Koliko je bilo učenika šestog razreda i koliko je udžbenika kupio svaki od njih?
11.5 . Pronađite površinu trokuta prikazanog na slici (površina svake ćelije je 1 sq. cm).
▼ 12.1. Sadržaj vlage svježe pokošene trave je 60%, a sijena 15%. Koliko će se sijena proizvesti od jedne tone svježe pokošene trave?
12.2. Pet učenika kupilo je 100 sveska. Kolya I Vasya kupio 52 notesa, Vasya I Yura– 43, Yura I Sasha - 34, Sasha I Seryozha– 30. Koliko je svaki od njih kupio sveska?
12.3. Koliko je šahista igralo na turniru po krugu ako je odigrano ukupno 190 partija?
12.4. Kojom se cifrom završava broj Z100?
12.5. Poznato je da su dužine stranica trougla cijeli brojevi, pri čemu je jedna stranica jednaka 5, a druga 1. Kolika je dužina treće stranice?
▼ 13.1. Karta je koštala rubalja. Nakon sniženja cijena, broj putnika je povećan za 50%, a prihodi za 25%. Koliko je koštala karta nakon sniženja?
13.2. Brod traje 5 dana od Nižnjeg Novgoroda do Astrahana i 7 dana nazad. Koliko će splavovima trebati da plove od Nižnjeg Novgoroda do Astrahana?
13.3. Yura Pozajmio sam knjigu na 3 dana. Prvog dana je pročitao polovinu knjige, drugog - trećinu preostalih stranica, a broj pročitanih stranica trećeg dana bio je jednak polovini stranica pročitanih prva dva dana. Jeste li imali vremena? Yura pročitati knjigu za 3 dana?
13.4. Aljoša, Borja I Vitya uči u istom razredu. Jedan od njih ide kući iz škole autobusom, drugi tramvajem, a treći trolejbusom. Jedan dan posle škole Alyosha Otpratio sam prijatelja do autobuske stanice. Kada je pored njih prošao trolejbus, treći prijatelj je viknuo sa prozora: “ Borya, Zaboravili ste svoju svesku u školi!” Koju vrstu prevoza svi koriste za povratak kući?
13.5. Sada sam duplo starija od tebe kada sam ja bila stara kao ti sada. Sada smo zajedno 35 godina. Koliko godina ima svako od vas?
▼ 14.1. Navedeni broj je 2001. Poznato je da je zbir bilo koje četiri od njih pozitivan. Da li je tačno da je zbir svih brojeva pozitivan?
14.2. Kada je biciklista prošao stazom, pukla je guma. Ostatak puta je prepešačio i na njemu je proveo 2 puta više vremena nego vozeći bicikl. Koliko puta je biciklista išao brže nego što je hodao?
14.3. Postoje vage s dvije čaše i utezi od 1, 3, 9, 27 i 81 g. Dokazati da se vaga može uravnotežiti ako je masa tereta: a) 13 g; b) 19 g; c) 23 g; d) 31 godina
14.4.
Učenik je na tabli napisao primjer za množenje dvocifrenih brojeva. Zatim je izbrisao sve brojeve i zamijenio ih slovima: identične brojeve identičnim slovima, a različite brojeve različitim. Rezultat je jednakost: .
Dokažite da učenik nije u pravu.
14.5. Među muzičarima svaki sedmi je šahista, a među šahistima svaki deveti muzičar. Ko su više: muzičari ili šahisti? Zašto?
▼ 15.1. Dužina pravokutnog presjeka povećana je za 35%, a širina smanjena za 14%. Za koji postotak se promijenila površina parcele?
15.2. Izračunaj zbir cifara broja 109! Zatim su izračunali zbir cifara novodobijenog broja i nastavili sve dok se ne dobije jednocifreni broj. Koji je ovo broj?
15.3. Tri petka u određenom mjesecu padala su na parne datume. Koji dan u sedmici je bio 18. ovog mjeseca?
15.4. Stvar je u toku Brown, Jones I Smith. Jedan od njih je počinio krivično djelo. Tokom istrage svaki od njih je dao po dvije izjave:
smeđa: 1. Ja nisam kriminalac. 2. Jones također.
Jones: 1, Ovo nije Brown. 2. Ovo je Smith.
Živeo: 1. Criminal Brown. 2. Nisam ja.
Utvrđeno je da je jedan od njih dva puta lagao, drugi dva puta istinu, a treći je jednom lagao i jednom rekao istinu. Ko je počinio zločin?
15.5. Sat pokazuje 19:15. Koliki je ugao između kazaljki minuta i sata?
▼ 16.1. Ako je osoba koja stoji u redu ispred vas bila viša od osobe koja stoji iza osobe koja stoji ispred vas, da li je osoba koja stoji ispred vas viša od vas?
16.2. U razredu ima manje od 50 učenika. Za test je jedna sedmina učenika dobila ocjenu „5“, treća je dobila ocjenu „4“, a polovina je dobila ocjenu „3“. Ostali su dobili "2". Koliko je takvih radova bilo?
16.3. Dva biciklista su istovremeno napustila bodove A I IN jedan prema drugom i sastali su se na 70 km od A. Nastavljajući da se kreću istom brzinom, stigli su do svojih krajnjih odredišta i, nakon isto toliko odmora, vratili se nazad. Drugi sastanak je održan 90 km od IN. Pronađite udaljenost od A prije IN.
16.4. Da li je broj djeljiv? 111…111 (999 jedinica) od 37?
16.5. Podijelite pravougaonik 18x8 na komade tako da se dijelovi mogu presavijati u kvadrat.
▼ 17.1. Kada Vanya Pitali su ga koliko ima godina, pomislio je i rekao: "Tri puta sam mlađi od tate, ali tri puta stariji od Serjože." Onda je mali dotrčao Xierezanje i rekao da je tata 40 godina stariji od njega. Koliko godina Vanya?
17.2. Teret je dostavljen u tri skladišta. U prvo i drugo skladište je isporučeno 400 tona, u drugo i treće 300 tona zajedno, a u prvo i treće po 440 tona Koliko je tona tereta dopremljeno u svako skladište posebno?
17.3. Sa stropa sobe dvije su muve puzale okomito niz zid. Spustivši se na pod, otpuzali su nazad. Prva muva je puzala u oba smjera istom brzinom, a druga, iako se dizala duplo sporije od prve, ali se spuštala dvostruko brže. Koja će muva prva otpuzati?
17.4. U prodavnicu je doneseno 25 kutija jabuka tri sorte, a u svakoj kutiji su bile jabuke jedne sorte. Da li je moguće pronaći 9 kutija jabuka iste sorte?
17.5. Nađi dva prosta broja čiji su zbir i razlika također prost broj.
▼ 18.1. Zamišljen je trocifreni broj u kojem se jedna cifra poklapa sa bilo kojim od brojeva 543, 142 i 562, a druga dva se ne poklapaju. Koji je predviđeni broj?
18.2. Na balu je svaki gospodin plesao sa tri dame, a svaka dama sa tri gospodina. Dokažite da je na balu broj dama bio jednak broju džentlmena.
18.3. Škola ima 33 odjeljenja, 1150 učenika. Da li u ovoj školi postoji odeljenje sa najmanje 35 učenika?
18.4. U jednom dijelu grada više od 94% kuća ima više od 5 spratova. Koji je najmanji mogući broj kuća na ovom području?
18.5. Pronađite sve trouglove čije su stranice cijelih centimetara, a dužina svakog od njih ne prelazi 2 cm.
▼ 19.1. Dokažite da ako je zbir dva prirodna broja manji od 13, onda je njihov proizvod najviše 36.
19.2. Od 75 prstenova identičnog izgleda, jedan se razlikuje po težini od ostalih. Kako možete u dva vaganja na čašičnoj vagi odrediti da li je ovaj prsten lakši ili teži od ostalih?
19.3. Avion je prvo leteo od A do B brzinom od 180 km/h, ali kada je imao 320 km manje nego što je već preleteo, povećao je brzinu na 250 km/h. Ispostavilo se da je prosječna brzina aviona duž cijele rute bila 200 km/h. Odredite udaljenost od A do V.
19.4. Policajac se okrenuo na zvuk razbijanja stakla i ugledao četvoricu tinejdžera kako bježe od razbijene vitrine. 5 minuta kasnije bili su u policijskoj stanici. Andrey naveo da je staklo razbijeno Viktore, Viktore tvrdio da je kriv Sergej.Sergej uvjeravao da Victor laži, ali Yuri insistirao da to nije on uradio. Iz daljeg razgovora ispostavilo se da je samo jedan od momaka govorio istinu. Ko je razbio staklo?
19.5. Na tabli su napisani svi prirodni brojevi od 1 do 99 Kojih brojeva ima više na tabli - parnih ili neparnih?
▼ 20.1. Dva seljaka su otišla iz sela u grad. Prošavši stazom, sjeli su da se odmore. “Koliko još treba ići?” - pitao je jedan drugog. “Imamo još 12 km više nego što smo već prešli”, glasio je odgovor. Kolika je udaljenost između grada i sela?
20.2. Dokažite da broj 7777 + 1 nije djeljiv sa 5.
20.3. Porodica ima četvero djece, starosti 5, 8, 13 i 15 godina. Dječija imena Anja, Borja, Vera I Galya. Koliko svako dijete ima godina ako jedna od djevojčica ide u vrtić, Anya stariji Bori i zbir godina Ani I Vjera djeljivo sa 3?
20.4. U mračnoj prostoriji ima 10 lubenica i 8 dinja (dinje i lubenice se ne razlikuju na dodir). Koliko voća treba uzeti da bi među njima bile barem dvije lubenice?
20.5. Pravougaona školska parcela ima obim od 160 m. Kako će se promijeniti njena površina ako se dužina svake strane poveća za 10 m?
▼ 21.1. Pronađite zbroj 1 + 5 + … + 97 + 101.
21.2. Jučer je broj prisutnih učenika na nastavi bio 8 puta veći od onih koji su bili odsutni. Danas još 2 učenika nisu došla i ispostavilo se da je 20% prisutnih učenika izostalo. Koliko učenika ima u razredu?
21.3. Šta je više 3200 ili 2300?
21.4. Koliko dijagonala ima trideset četvorougao?
21.5. U sredini parcele kvadratnog oblika nalazi se cvjetnjak, koji također ima oblik kvadrata. Površina parcele je 100 m2. Strana gredice je upola manja od strane parcele. Koja je površina cvjetnjaka?
▼ 22.1. Smanjite razlomak
22.2. Komad žice dužine 102 cm mora se izrezati na komade dužine 15 i 12 cm tako da nema ostataka. Kako uraditi? Koliko rješenja ima problem?
22.3. Kutija sadrži 7 crvenih i 5 plavih olovaka. Olovke se uzimaju iz kutije u mraku. Koliko olovaka trebate uzeti da među njima budu barem dvije crvene i tri plave?
22.4. U jednoj posudi 2a litara vode, a drugi je prazan. Pola vode se sipa iz 1. posude u 2.,
zatim se voda iz 2. sipa u 1., pa voda iz 1. se sipa u 2. itd. Koliko će litara vode biti u prvoj posudi nakon transfuzije iz 1995. godine?
8. Od broja ...5960 precrtajte sto cifara tako da dobijeni broj bude najveći.
▼ 23.1. Prvo smo popili šoljicu crne kafe i dolili je mlekom. Zatim su popili šolje i ponovo dolili mleko. Zatim su popili još pola šolje i ponovo dolili mleko. Na kraju smo popili cijelu šolju. Šta ste više pili: kafu ili mleko?
23.2. Dodali smo 3 trocifrenom broju na lijevoj strani i on se povećao 9 puta. Koji je ovo broj?
23.3. Od tačke A to point IN dvije bube puze i vraćaju se. Prva buba je puzala u oba smjera istom brzinom. Drugi se uvukao IN 1,5 puta brže, a nazad 1,5 puta sporije od prvog. U koju se buba vratila A ranije?
23.4. Koji je broj veći: 2,379∙23 ili 2,378∙23?
23.5. Površina kvadrata je 16 m2. Kolika će biti površina kvadrata ako:
a) povećati stranu kvadrata za 2 puta?
B) povećati stranu kvadrata za 3 puta?
C) povećati stranu kvadrata za 2 dm?
▼ 24.1. S kojim se brojem treba pomnožiti da bi se dobio broj koji je napisan samo peticama?
24.2. Da li je tačno da je broj 1 kvadrat nekog prirodnog broja?
24.3. Auto iz A V IN vozio prosječnom brzinom od 50 km/h, a vraćao se nazad brzinom od 30 km/h. Koja je njegova prosječna brzina?
24.4. Dokazati da se bilo koji iznos od cijelog broja rubalja veći od sedam može platiti bez promjene u novčanicama od 3 i 5 rubalja?
24.5. U fabriku su dovezene dvije vrste trupaca: dužine 6 i 7 metara. Koje trupce je isplativije sjeći?
▼ 25.1. Zbir nekoliko brojeva je 1. Može li zbir njihovih kvadrata biti manji od 0,01?
25.2. Ima 10 vreća novčića. Devet vrećica sadrži prave kovanice (težine 10 g svaka), a jedna sadrži lažne novčiće (težine 11 g). Pomoću jednog vaganja na elektronskoj vagi možete odrediti koja torba sadrži krivotvorene kovanice.
25.3. Dokažite da zbir bilo koja četiri uzastopna prirodna broja nije djeljiv sa 4.
25.3. Od broja ...5960 precrtajte sto cifara tako da dobijeni broj bude najmanji.
25.4. Kupili smo nekoliko identičnih knjiga i identičnih albuma. Za knjige su platili 10 rubalja. 56 kopejki Koliko je knjiga kupljeno ako je cijena jedne knjige više od jedne rublje viša od cijene albuma, a kupljeno je 6 knjiga više od albuma.
▼ 26.1. Dvije suprotne strane pravougaonika uvećane su za svoj dio, a druge dvije smanjene za dio. Kako se promijenila površina pravougaonika?
26.2. Na fudbalskom turniru učestvuje deset ekipa. Dokažite da će za bilo koji raspored utakmica uvijek postojati dvije ekipe koje su odigrale isti broj utakmica.
26.3. Avion leti pravolinijski od grada A do B, a zatim nazad. Njegova sopstvena brzina je konstantna. Kada će avion letjeti skroz brže: u nedostatku vjetra ili u vjetru koji stalno duva u smjeru od A do B?
26.4. Brojevi 100 i 90 podijeljeni su jednim te istim brojem. U prvom slučaju ostatak je bio 4, a u drugom 18. Po kom broju je izvršeno dijeljenje?
26.5.
Šest prozirnih tikvica sa vodom raspoređeno je u dva paralelna reda od po 3 tikvice. Na sl. 1, vidljive su tri prednje tikvice, a na Sl. 2 – dva desna. Kroz prozirne stijenke tikvica vidljivi su nivoi vode u svakoj vidljivoj tikvici i u svim tikvicama iza njih. Odredite kojim su redoslijedom tikvice i koliki je nivo vode u svakoj od njih.
▼ 27.1. Prvog dana kosačka ekipa je pokosila polovinu livade i još 2 hektara, a drugog dana – 25% preostalog dela i poslednjih 6 hektara. Pronađite područje livade.
27.2. Ima 11 vreća novčića. Deset vrećica sadrži prave kovanice (težine po 10 g), a jedna lažne novčiće (težine 11 g). Odredite koja torba sadrži krivotvorene kovanice samo jednim vaganjem.
27.3. Kutija sadrži 10 crvenih, 8 plavih i 4 žute olovke. Olovke se uzimaju iz kutije u mraku. Koji je najmanji broj olovaka koji se mora uzeti da bi među njima sigurno bilo: a) najmanje 4 olovke iste boje? B) najmanje 6 olovaka iste boje? C) najmanje 1 olovka svake boje?
D) najmanje 6 plavih olovaka?
27.4. Vasja je rekao da zna rješenje jednačine xy 8+ x 8y = 1995. u prirodnim brojevima. Dokaži da Vasja nije u pravu.
27.5.
Nacrtajte takav poligon i tačku unutar njega tako da nijedna strana poligona nije u potpunosti vidljiva iz ove tačke (na slici 3. strana nije u potpunosti vidljiva iz tačke O AB).
▼ 28.1. Griša i tata su otišli u streljanu. Dogovor je bio ovakav: Grisha ispaljuje 5 hitaca i za svaki pogodak u metu dobija pravo da ispali još 2 hica. Grisha je ukupno ispalio 17 hitaca. Koliko puta je pogodio metu?
28.2. Parče papira je isječeno na 4 komada, zatim su neki (možda svi) od tih komada također isječeni na 4 komada, itd. Može li rezultat biti tačno 50 komada papira?
28.3. Jahač je prvu polovinu puta galopirao brzinom od 20 km/h, a drugu polovinu brzinom od 12 km/h. Pronađite prosječnu brzinu jahača.
28.4. Postoje 4 lubenice različite težine. Koristeći vage bez utega, kako ih možete rasporediti u rastućem redoslijedu mase u ne više od pet vaganja?
28.5. Dokazati da je nemoguće povući pravu liniju tako da siječe sve strane 1001-ugla (a da ne prolazi kroz njegove vrhove).
▼ 29.1. Prime A broj 1?
29.2. Jedna boca sadrži bijelo, a druga crno vino. Kapnimo jednu kap crnog vina u bijelo, a zatim jednu kap iz dobivene smjese vratimo u crno vino. Šta je više od bijelog vina u crnom ili crnog vina u bijelom?
29.3. Kuriri se kreću ravnomjerno, ali različitim brzinama, od A V IN jedno prema drugom. Nakon sastanka, jednom je trebalo da provede još 16 sati, a drugom - 9 sati, koliko je svakom od njih potrebno da pređe cijeli put od A do B?
29.4. Šta je veće, 3111 ili 1714?
29.5. a) Zbir stranica kvadrata je 40 dm. Kolika je površina kvadrata?
b) Površina kvadrata 64. Koliki je njegov obim?
▼ 30.1. Da li je moguće broj 203 predstaviti kao zbir više članova, čiji je proizvod takođe jednak 203?
30.2. Stotinu gradova je povezano avio kompanijama. Dokažite da među njima postoje dva grada kroz koja prolazi isti broj avio-kompanija.
30.3. Od četiri spolja identična dijela, jedan se po masi razlikuje od ostala tri, ali se ne zna da li je njegova masa veća ili manja. Kako prepoznati ovaj dio po dva vaganja na vagi bez utega?
30.4. Kojom se cifrom završava broj?
13 + 23 + … + 9993?
30.5. Nacrtajte 3 ravne linije tako da se list sveske podijeli na najveći broj dijelova. Koliko će delova biti? Nacrtajte 4 prave linije sa istim uslovom. Koliko dijelova sada ima?
RJEŠENJA PROBLEMA
1.1. Provjeravanjem se uvjeravamo: ako se broj pomnoži sa 9, rezultat će biti Pitanje učenicima: zašto bi samo broj 9 bio "provjeren"?)
1.2. Ako Anya putuje autobusom u oba smjera, onda joj cijelo putovanje traje 30 minuta, dakle, u jednom pravcu autobusom stiže za 15 minuta. Ako Anya ide pješice do škole i vraća se autobusom, onda na putu provede ukupno 1,5 sat, što znači da tamo stiže pješice u jednom pravcu za 1 sat i 15 minuta. Ako Anya ide pješice do i iz škole, onda na putu provodi 2 sata i 30 minuta.
1.3. Pošto je krompir pojeftinio za 20%, sada morate potrošiti 80% raspoloživog novca na sav ranije kupljen krompir, a sa preostalih 20% kupiti još 1/4 krompira, što je 25%. 4
1.4. Napredak rješenja vidljiv je iz tabele:
u koraku |
1. korak |
2. korak |
3. od njih |
4. korak |
5. korak |
|
1.5. Da biste obišli sva 64 polja šahovske ploče, obići svako polje tačno jednom. Vitez mora napraviti 63 poteza. Svakim potezom vitez prelazi iz bijelog polja u crno (ili s crnog na bijelo polje), pa će nakon poteza s parnim brojevima vitez završiti na poljima iste boje kao i originalni. , a nakon "neparnih" poteza, na polja suprotne boje. Dakle, vitez ne može ući u gornji desni ugao table na 63. potezu, jer je iste boje kao i gornji desni.
Koncept "nestandardnog zadatka" koriste mnogi metodolozi. Dakle, Yu M. Kolyagin objašnjava ovaj koncept na sljedeći način: „Pod nestandardni razumeo zadatak, pri čijoj prezentaciji učenici ne znaju unaprijed ni kako to riješiti ni kako edukativni materijal odluka je zasnovana."
Definicija nestandardnog problema data je i u knjizi “Kako naučiti rješavati probleme” autora L.M. Fridman, E.N. Turetsky: “ Nestandardni zadaci- to su oni za koje u predmetu nema matematike opšta pravila i odredbe kojima se definiše tačan program za njihovo rješavanje."
Nestandardne zadatke ne treba miješati sa zadacima povećane složenosti. Uslovi zadataka povećane složenosti su takvi da omogućavaju studentima da prilično lako identifikuju matematički aparat koji je potreban za rešavanje problema iz matematike. Nastavnik kontroliše proces konsolidacije znanja dobijenih programom obuke rješavanjem zadataka ovog tipa. Ali nestandardni zadatak zahtijeva prisustvo istraživačke prirode. Međutim, ako je rješavanje zadatka iz matematike za jednog učenika nestandardno, jer mu nisu poznate metode rješavanja zadataka ove vrste, onda se za drugog rješavanje zadatka odvija na standardan način, jer je takve zadatke već riješio i više od jedne. Isti problem iz matematike u 5. razredu je nestandardan, ali u 6. razredu je običan, čak ni povećane složenosti.
Analiza udžbenika i nastavna sredstva u matematici pokazuje da svaki problem riječi u određenim uvjetima može biti nestandardan, au drugim - običan, standardni. Standardni problem u jednom kursu matematike može biti nestandardan u drugom kursu.
Na osnovu analize teorije i prakse korišćenja nestandardnih problema u nastavi matematike, moguće je utvrditi njihovu opštu i specifičnu ulogu. Nestandardni zadaci:
- · naučiti djecu da koriste ne samo gotove algoritme, već i da samostalno pronalaze nove načine rješavanja problema, tj. promovirati sposobnost pronalaženja originalnih načina za rješavanje problema;
- · uticati na razvoj domišljatosti i inteligencije učenika;
- · sprečavaju razvoj štetnih klišea pri rešavanju problema, uništavaju pogrešne asocijacije u znanjima i veštinama učenika, podrazumevaju ne toliko usvajanje algoritamskih tehnika, koliko pronalaženje novih veza u znanju, prenošenje znanja u nove uslove, i ovladavanje raznim tehnikama mentalne aktivnosti;
- · stvoriti povoljne uslove za povećanje snage i dubine znanja učenika, osigurati svjesno usvajanje matematičkih pojmova.
Nestandardni zadaci:
- · ne treba imati gotove algoritme koje su djeca zapamtila;
- · sadržaj mora biti dostupan svim učenicima;
- · moraju biti sadržajno zanimljivi;
- · Za rješavanje nestandardnih zadataka studenti moraju imati dovoljno znanja koja su stekli u programu.
Rješavanje nestandardnih zadataka aktivira aktivnosti učenika. Učenici uče da upoređuju, klasifikuju, generalizuju, analiziraju, a to doprinosi trajnijem i svesnijem usvajanju znanja.
Kao što je praksa pokazala, nestandardni problemi su vrlo korisni ne samo za lekcije, već i za vannastavne aktivnosti, za olimpijske zadatke, jer se time otvara mogućnost da se istinski razlikuju rezultati svakog učesnika. Takvi zadaci mogu se uspješno koristiti i kao individualni zadaci za one učenike koji se lako i brzo nose sa glavnim dijelom samostalan rad na času, ili za zainteresovane kao dodatni zadaci. Kao rezultat, studenti dobijaju intelektualni razvoj i pripremu za aktivan praktični rad.
Ne postoji opšteprihvaćena klasifikacija nestandardnih problema, ali B.A. Kordemsky identificira sljedeće vrste takvih zadataka:
- · Problemi vezani za školski predmet matematike, ali povećane težine - kao što su zadaci matematičkih olimpijada. Namijenjen uglavnom školarcima sa određenim interesovanjem za matematiku; tematski, ovi zadaci se obično odnose na jedan ili drugi specifični dio školskog programa. Ovdje povezane vježbe produbljuju nastavni materijal, dopunjuju i uopštavaju pojedine odredbe školskog predmeta, proširuju matematičke vidike i razvijaju vještine rješavanja teških problema.
- · Problemi kao što je matematička zabava. Direktno vezano za školski program nemaju i po pravilu ne zahtevaju opsežnu matematičku obuku. To, međutim, ne znači da druga kategorija zadataka uključuje samo lagane vježbe. Postoje problemi sa vrlo teškim rješenjima i problemi za koje još nije dobijeno rješenje. “Nekonvencionalni problemi, predstavljeni na uzbudljiv način, unose emocionalni element u mentalne vježbe. Nisu povezani s potrebom da se za njihovo rješavanje uvijek primjenjuju naučena pravila i tehnike, zahtijevaju mobilizaciju cjelokupnog akumuliranog znanja, uče ljude da traže originalna, nestandardna rješenja, obogaćuju umjetnost rješavanja prekrasnim primjerima i izazivaju divljenje. moć uma.”
Ova vrsta zadatka uključuje:
razne zagonetke s brojevima („...primjeri u kojima su svi ili neki brojevi zamijenjeni zvjezdicama ili slovima. Ista slova zamjenjuju iste brojeve, različita slova - različiti brojevi.“) i zagonetke za domišljatost;
logički problemi, čije rješenje ne zahtijeva proračune, već se zasniva na izgradnji lanca preciznog zaključivanja;
zadaci čije se rješavanje zasniva na kombinaciji matematičkog razvoja i praktične genijalnosti: vaganje i transfuzija u teškim uslovima;
matematički sofizmi su namjerni, lažni zaključak koji izgleda kao tačan. (Sofizam je dokaz lažnog iskaza, a greška u dokazu je vješto prikrivena. Sofizam u prijevodu s grčkog znači pametan izum, trik, zagonetka);
šaljivi zadaci;
kombinatorni problemi u kojima se razmatraju različite kombinacije datih objekata koje zadovoljavaju određene uslove (B.A. Kordemsky, 1958).
Ništa manje zanimljiva je klasifikacija nestandardnih problema koju je dao I.V. Egorchenko:
- · zadaci koji imaju za cilj pronalaženje odnosa između datih objekata, procesa ili pojava;
- · problemi koji su nerješivi ili se ne mogu riješiti školskim predmetom na datom nivou znanja učenika;
- zadaci koji zahtijevaju:
crtanje i korišćenje analogija, utvrđivanje razlika između datih objekata, procesa ili pojava, uspostavljanje suprotnosti datih pojava i procesa ili njihovih antipoda;
implementacija praktične demonstracije, apstrakcija od određenih svojstava predmeta, procesa, pojave ili specifikacija jednog ili drugog aspekta date pojave;
uspostavljanje uzročno-posledičnih veza između datih objekata, procesa ili pojava;
konstruiranje analitički ili sintetički uzročno-posljedičnih lanaca s naknadnom analizom rezultirajućih opcija;
ispravna implementacija niza određenih radnji, izbjegavajući greške „zamke“;
pravljenje prelaza iz planarne u prostornu verziju datog procesa, objekta, fenomena ili obrnuto (I.V. Egorchenko, 2003).
Dakle, ne postoji jedinstvena klasifikacija nestandardnih zadataka. Ima ih nekoliko, ali je autor rada u studiji koristio klasifikaciju koju je predložio I.V. Egorchenko.
Nije ni čudo zabavan matematike je postala zabava “za svih vremena i naroda." Za rješavanje ovakvih problema nisu potrebna posebna znanja - dovoljna je samo jedna pretpostavka, koju je, međutim, ponekad teže pronaći nego metodično rješavanje standardnog školskog problema.Rješavanje zabavnog aritmetičkog problema.
Za 3 – 5 razrede
Koliko zmajeva?
Dvoglavi i sedmoglavi zmajevi okupili su se na skupu.
Na samom početku sastanka, Kralj Zmajeva, Zmaj sa 7 glava, prebrojao je sve okupljene po glavama.
Pogledao je oko svoje krunisane srednje glave i video 25 glava.
Kralj je bio zadovoljan rezultatima proračuna i zahvalio se svima prisutnima na prisustvu na sastanku.
Koliko je zmajeva došlo na miting?
(a) 7; (b) 8; 9; (d) 10; (e) 11;
Rješenje:
Oduzmimo 6 glava koje mu pripadaju od 25 glava koje je izbrojao Kralj Zmajeva.
Ostaće još 19 golova. Svi preostali Zmajevi ne mogu biti dvoglavi (19 je neparan broj).
Može postojati samo 1 7-glavi Zmaj (ako je 2, onda će za dvoglave Zmajeve ostati neparan broj glava. A za tri Zmaja nema dovoljno glava: (7 · 3 = 21 > 19).
Oduzmite 7 glava ovog pojedinačnog Zmaja od 19 glava i dobijete ukupan broj glava koje pripadaju dvoglavim Zmajevima.
Dakle, dvoglavi zmajevi:
(19 - 7) / 2 = 6 zmajeva.
Ukupno: 6 +1 +1 (Kralj) = 8 Zmajeva.
Tačan odgovor: b = 8 zmajeva
♦ ♦ ♦
Rješavanje zabavnog matematičkog problema
Za 4 - 8 razred
Koliko pobjeda?
Nikita i Aleksandar igraju šah.
Prije početka utakmice su se složili
da će pobjednik igre dobiti 5 bodova, poraženi neće dobiti bodove, a svaki igrač će dobiti 2 boda ako se igra završi neriješeno.
Odigrali su 13 utakmica i zajedno osvojili 60 poena.
Aleksandar je dobio tri puta više bodova za te utakmice koje je dobio nego za one koje su neriješene.
Koliko je pobeda Nikita osvojio?
(a) 1; (b) 2; 3; (d) 4; (e) 5;
Tačan odgovor: (b) 2 pobede (Nikita pobedio)
Rješenje.
Svaki remi daje 4 boda, a svaka pobjeda 5 bodova.
Ako bi se sve utakmice završile neriješeno, dječaci bi postigli 4 · 13 = 52 boda.
Ali postigli su 60 poena.
Iz toga proizilazi da je 8 utakmica završilo pobjedom.
I 13 - 5 = 5 utakmica završeno je neriješeno.
Aleksandar je postigao 5 · 2 = 10 poena u 5 nerešenih partija, što znači da je, ako je pobedio, postigao 30 poena, odnosno dobio je 6 partija.
Tada je Nikita dobio (8-6=2) 2 gema.
♦ ♦ ♦
Rješavanje zabavnog aritmetičkog problema
Za 4 - 8 razred
Koliko dana bez hrane?
Marsovska međuplanetarna letjelica stigla je u posjetu Zemlji.
Marsovci jedu najviše jednom dnevno, ujutro, u podne ili uveče.
Ali jedu samo kada osete glad. Mogu ostati bez hrane nekoliko dana.
Tokom boravka Marsovaca na Zemlji, jeli su 7 puta.
Takođe znamo da su ostali bez hrane 7 puta ujutro, 6 puta u podne i 7 puta uveče.
Koliko su dana Marsovci proveli bez hrane tokom svoje posete?
(a) 0 dana; (b) 1 dan; 2 dana; (d) 3 dana; (e) 4 dana; (a) 5 dana;
Tačan odgovor: 2 dana (Marsovci su proveli bez hrane)
Rješenje.
Marsovci su jeli 7 dana, jednom dnevno, a broj dana kada su ručali bio je jedan više od broja dana kada su doručkovali ili večerali.
Na osnovu ovih podataka moguće je napraviti raspored unosa hrane za Marsovce. Ovo je vjerovatna slika.
Vanzemaljci su ručali prvog dana, večerali drugog dana, doručkovali trećeg, ručali četvrtog, večerali petog, doručkovali šestog i ručali sedmog.
To jest, Marsovci su doručkovali 2 dana, i proveli 7 dana bez doručka, jeli večeru 2 puta i proveli 7 dana bez večere, jeli ručak 3 puta i živeli bez ručka 6 dana.
Dakle 7 + 2 = 9 i 6 + 3 = 9 dana. To znači da su živjeli na Zemlji 9 dana, a 2 su ostala bez hrane (9 - 7 = 2).
♦ ♦ ♦
Rješavanje zabavnog nestandardnog problema
Za 4 - 8 razred
Koliko vremena?
Biciklista i pješak su istovremeno napustili tačku A i stalnom brzinom krenuli ka tački B.
Biciklista je stigao do tačke B i odmah krenuo u povratku i sreo Pješaka sat vremena kasnije od trenutka kada su napustili tačku A.
Ovdje se biciklista ponovo okrenuo i obojica su krenuli u pravcu tačke B.
Kada je biciklista stigao do tačke B, ponovo se okrenuo i ponovo sreo Pješaka 40 minuta nakon njihovog prvog susreta.
Koliki je zbir cifara broja koji izražava vrijeme (u minutama) potrebno da Pješak stigne od tačke A do tačke B?
(a) 2; (b) 14; 12; (d) 7; (e)9.
Tačan odgovor: e) 9 (zbir cifara broja je 180 minuta - ovo je koliko dugo Pješak putuje od A do B)
Sve postaje jasno ako nacrtate crtež.
Nađimo razliku između dva puta bicikliste (jedna staza je od A do prvog susreta (puna zelena linija), druga staza je od prvog susreta do drugog (isprekidana zelena linija)).
Nalazimo da je ta razlika tačno jednaka udaljenosti od tačke A do drugog susreta.
Pješak pređe ovu udaljenost za 100 minuta, a biciklista za 60 minuta - 40 minuta = 20 minuta. To znači da biciklista putuje 5 puta brže.
Označimo udaljenost od tačke A do tačke u kojoj se dogodio 1 susret kao jedan dio, a put biciklista do 1. susreta kao 5 dijelova.
Zajedno su do prvog susreta prešli dvostruku udaljenost između tačaka A i B, odnosno 5 + 1 = 6 dijelova.
Dakle, od A do B postoje 3 dijela. Nakon prvog susreta, pješak će morati hodati još 2 dijela do tačke B.
Cijelu udaljenost će preći za 3 sata ili 180 minuta, pošto 1 dio pređe za 1 sat.