Inverzne trigonometrijske funkcije i njihovi grafovi. Inverzne trigonometrijske funkcije Kako pronaći inverznu trigonometrijsku funkciju
Funkcije sin, cos, tg i ctg uvijek prate arksinus, arkkosinus, arktangens i arkkotangens. Jedno je posljedica drugog, a parovi funkcija su podjednako važni za rad s trigonometrijskim izrazima.
Razmotrite crtež jediničnog kruga, koji grafički prikazuje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Ako izračunamo lukove OA, arcos OC, arctg DE i arcctg MK, tada će svi biti jednaki vrijednosti ugla α. Formule u nastavku odražavaju odnos između osnovnih trigonometrijskih funkcija i njihovih odgovarajućih lukova.
Da bismo razumjeli više o svojstvima arcsinusa, potrebno je razmotriti njegovu funkciju. Raspored ima oblik asimetrične krive koja prolazi kroz koordinatni centar.
Svojstva arcsinusa:
Ako uporedimo grafikone grijeh I arcsin, dvije trigonometrijske funkcije mogu imati zajedničke obrasce.
arc kosinus
Arccos broja je vrijednost ugla α čiji je kosinus jednak a.
Curve y = arcos x odražava arcsin x graf, sa jedinom razlikom što prolazi kroz tačku π/2 na osi OY.
Pogledajmo detaljnije funkciju arc kosinusa:
- Funkcija je definirana na intervalu [-1; 1].
- ODZ za arccos - .
- Graf se u potpunosti nalazi u prvom i drugom kvartalu, a sama funkcija nije ni parna ni neparna.
- Y = 0 na x = 1.
- Kriva se smanjuje cijelom dužinom. Neka svojstva arc kosinusa poklapaju se sa kosinusnom funkcijom.
Neka svojstva arc kosinusa poklapaju se sa kosinusnom funkcijom.
Možda će školarci smatrati da je takva "detaljna" studija "lukova" nepotrebna. Međutim, inače, neke osnovne tipične Zadaci objedinjenog državnog ispita može dovesti učenike u zabunu.
Vježba 1. Označite funkcije prikazane na slici.
odgovor: pirinač. 1 – 4, sl. 2 – 1.
U ovom primjeru, naglasak je na malim stvarima. Studenti su tipično vrlo nepažljivi prema konstrukciji grafova i izgledu funkcija. Zaista, zašto pamtiti tip krive ako se uvijek može nacrtati pomoću izračunatih tačaka. Ne zaboravite da će u uvjetima testiranja vrijeme utrošeno na crtanje za jednostavan zadatak biti potrebno za rješavanje složenijih zadataka.
Arktangent
Arctg brojevi a su vrijednost ugla α tako da je njegov tangent jednak a.
Ako uzmemo u obzir graf arktangensa, možemo istaknuti sljedeća svojstva:
- Graf je beskonačan i definiran na intervalu (- ∞; + ∞).
- Arktangent je neparna funkcija, dakle, arktang (- x) = - arktang x.
- Y = 0 na x = 0.
- Kriva se povećava kroz cijeli raspon definicija.
Evo kratko komparativna analiza tg x i arctg x u obliku tabele.
Arkotangenta
Arcctg broja - uzima vrijednost α iz intervala (0; π) tako da je njegov kotangens jednak a.
Svojstva kotangensne funkcije luka:
- Interval definicije funkcije je beskonačan.
- Raspon prihvatljivih vrijednosti je interval (0; π).
- F(x) nije ni paran ni neparan.
- Cijelom svojom dužinom graf funkcije opada.
Vrlo je jednostavno uporediti ctg x i arctg x, samo trebate napraviti dva crteža i opisati ponašanje krivulja.
Zadatak 2. Uskladite graf i oblik zapisa funkcije.
Ako razmišljamo logično, iz grafikona je jasno da se obje funkcije povećavaju. Stoga obje slike prikazuju određenu funkciju arktana. Iz svojstava arktangenta je poznato da je y=0 pri x = 0,
odgovor: pirinač. 1 – 1, sl. 2 – 4.
Trigonometrijski identiteti arcsin, arcos, arctg i arcctg
Prethodno smo već identifikovali odnos između lukova i osnovnih funkcija trigonometrije. Ova zavisnost se može izraziti brojnim formulama koje omogućavaju da se izrazi, na primer, sinus argumenta kroz njegov arksinus, arkosinus ili obrnuto. Poznavanje takvih identiteta može biti korisno pri rješavanju konkretnih primjera.
Postoje i odnosi za arctg i arcctg:
Još jedan koristan par formula postavlja vrijednost za zbir arcsin i arcos, kao i arcctg i arcctg istog ugla.
Primjeri rješavanja problema
Trigonometrijski zadaci se mogu podijeliti u četiri grupe: izračunati numeričku vrijednost određenog izraza, konstruirati graf zadane funkcije, pronaći njenu domenu definicije ili ODZ i izvršiti analitičke transformacije za rješavanje primjera.
Prilikom rješavanja prve vrste problema morate se pridržavati sljedećeg akcionog plana:
Kada radite sa grafovima funkcija, glavna stvar je poznavanje njihovih svojstava i izgled krivo. Za rješavanje trigonometrijskih jednačina i nejednačina potrebne su tablice identiteta. Što više formula učenik zapamti, lakše je pronaći odgovor na zadatak.
Recimo da na Jedinstvenom državnom ispitu morate pronaći odgovor za jednačinu kao što je:
Ako pravilno transformirate izraz i dovedete ga u željeni oblik, tada je njegovo rješavanje vrlo jednostavno i brzo. Prvo, pomjerimo arcsin x na desnu stranu jednakosti.
Ako se sjećate formule arcsin (sin α) = α, onda možemo svesti potragu za odgovorima na rješavanje sistema od dvije jednačine:
Ograničenje modela x je proizašlo iz svojstava arcsin: ODZ za x [-1; 1]. Kada je a ≠0, dio sistema je kvadratna jednadžba s korijenima x1 = 1 i x2 = - 1/a. Kada je a = 0, x će biti jednako 1.
Inverzna kosinusna funkcija
Opseg vrijednosti funkcije y=cos x (vidi sliku 2) je segment. Na segmentu je funkcija kontinuirana i monotono opadajuća.
Rice. 2
To znači da je funkcija inverzna funkciji y=cos x definirana na segmentu. Ova inverzna funkcija se naziva arc kosinus i označava se y=arccos x.
Definicija
Arkosinus broja a, ako je |a|1, je ugao čiji kosinus pripada segmentu; označava se sa arccos a.
Dakle, arccos a je ugao koji zadovoljava sljedeća dva uslova: sos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?r.
Na primjer, arccos, budući da cos i; arccos, pošto cos i.
Funkcija y = arccos x (slika 3) je definirana na segmentu; Na segmentu, funkcija y=arccos x je kontinuirana i monotono opada od p do 0 (pošto je y=cos x kontinuirana i monotono opadajuća funkcija na segmentu); na krajevima segmenta dostiže svoje ekstremne vrijednosti: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Imajte na umu da je arccos 0 = . Grafikon funkcije y = arccos x (vidi sliku 3) je simetričan u odnosu na grafik funkcije y = cos x u odnosu na pravu liniju y=x.
Rice. 3
Pokažimo da vrijedi jednakost arccos(-x) = p-arccos x.
U stvari, po definiciji 0? arccos x? R. Množenjem sa (-1) sve dijelove posljednje dvostruke nejednakosti dobijamo - p? arccos x? 0. Dodajući p svim dijelovima posljednje nejednakosti, nalazimo da je 0? p-arccos x? R.
Dakle, vrijednosti uglova arccos(-x) i p - arccos x pripadaju istom segmentu. Pošto kosinus monotono opada na segmentu, na njemu ne mogu postojati dva različita ugla koji imaju jednake kosinuse. Nađimo kosinuse uglova arccos(-x) i p-arccos x. Po definiciji, cos (arccos x) = - x, prema redukcijskim formulama i po definiciji imamo: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Dakle, kosinusi uglova su jednaki, što znači da su i sami uglovi jednaki.
Inverzna sinusna funkcija
Razmotrimo funkciju y=sin x (slika 6), koja je na segmentu [-r/2;r/2] rastuća, kontinuirana i uzima vrijednosti iz segmenta [-1; 1]. To znači da na segmentu [- p/2; p/2] definirana je inverzna funkcija funkcije y=sin x.
Rice. 6
Ova inverzna funkcija naziva se arksinus i označava se y=arcsin x. Hajde da uvedemo definiciju arksinusa broja.
Arksinus broja je ugao (ili luk) čiji je sinus jednak broju a i koji pripada segmentu [-r/2; p/2]; označava se arcsin a.
Dakle, arcsin a je ugao koji zadovoljava sljedeće uslove: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin huh? r/2. Na primjer, pošto sin i [- p/2; p/2]; arcsin, budući da je sin = u [- p/2; p/2].
Funkcija y=arcsin x (slika 7) definirana je na segmentu [- 1; 1], raspon njegovih vrijednosti je segment [-r/2;r/2]. Na segmentu [- 1; 1] funkcija y=arcsin x je kontinuirana i monotono raste od -p/2 do p/2 (ovo proizilazi iz činjenice da je funkcija y=sin x na segmentu [-p/2; p/2] kontinuirana i monotono raste). Najveću vrijednost uzima pri x = 1: arcsin 1 = p/2, a najmanju pri x = -1: arcsin (-1) = -p/2. Kod x = 0 funkcija je nula: arcsin 0 = 0.
Pokažimo da je funkcija y = arcsin x neparna, tj. arcsin(-x) = - arcsin x za bilo koji x [ - 1; 1].
Zaista, po definiciji, ako |x| ?1, imamo: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Dakle, uglovi arcsin(-x) i - arcsin x pripada istom segmentu [ - p/2; p/2].
Nađimo sinuse ovih uglovi: sin (arcsin(-x)) = - x (po definiciji); pošto je funkcija y=sin x neparna, onda je sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Dakle, sinusi uglova koji pripadaju istom intervalu [-r/2; p/2], jednaki su, što znači da su i sami uglovi jednaki, tj. arcsin (-x)= - arcsin x. To znači da je funkcija y=arcsin x neparna. Grafikon funkcije y=arcsin x je simetričan u odnosu na ishodište.
Pokažimo da je arcsin (sin x) = x za bilo koje x [-r/2; p/2].
Zaista, po definiciji -p/2? arcsin (sin x) ? p/2, a po uslovu -p/2? x? r/2. To znači da uglovi x i arcsin (sin x) pripadaju istom intervalu monotonosti funkcije y=sin x. Ako su sinusi takvih uglova jednaki, onda su i sami uglovi jednaki. Nađimo sinuse ovih uglova: za ugao x imamo sin x, za ugao arcsin (sin x) imamo sin (arcsin(sin x)) = sin x. Utvrdili smo da su sinusi uglova jednaki, dakle, uglovi su jednaki, tj. arcsin(sin x) = x. .
Rice. 7
Rice. 8
Grafikon funkcije arcsin (sin|x|) dobija se uobičajenim transformacijama pridruženim modulu iz grafa y=arcsin (sin x) (prikazano isprekidanom linijom na slici 8). Iz njega se dobija željeni graf y=arcsin (sin |x-/4|) pomeranjem za /4 udesno duž x-ose (prikazano puna linija na sl. 8)
Inverzna funkcija tangente
Funkcija y=tg x na intervalu preuzima sve numeričke vrijednosti: E (tg x)=. U tom intervalu je kontinuiran i monotono raste. To znači da je funkcija inverzna funkciji y = tan x definirana na intervalu. Ova inverzna funkcija naziva se arktangent i označava se y = arktan x.
Arktangens a je ugao iz intervala čija je tangenta jednaka a. Dakle, arctg a je ugao koji zadovoljava sljedeće uslove: tg (arctg a) = a i 0? arctg a ? R.
Dakle, bilo koji broj x uvijek odgovara jednoj vrijednosti funkcije y = arctan x (slika 9).
Očigledno je da je D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Funkcija y = arctan x raste jer se funkcija y = tan x povećava na intervalu. Nije teško dokazati da je arctg(-x) = - arctgx, tj. da je arktangens neparna funkcija.
Rice. 9
Grafikon funkcije y = arktan x je simetričan grafu funkcije y = tan x u odnosu na pravu liniju y = x, grafik y = arktan x prolazi kroz ishodište koordinata (pošto je arktan 0 = 0) i je simetričan u odnosu na ishodište (kao graf neparne funkcije).
Može se dokazati da je arktan (tan x) = x ako je x.
Kotangens inverzna funkcija
Funkcija y = ctg x na intervalu preuzima sve numeričke vrijednosti iz intervala. Raspon njegovih vrijednosti poklapa se sa skupom svih realnih brojeva. U intervalu, funkcija y = cot x je kontinuirana i monotono raste. To znači da je na ovom intervalu definirana funkcija koja je inverzna funkciji y = cot x. Inverzna funkcija kotangensa naziva se arkkotangens i označava se y = arcctg x.
Kotangens luka a je ugao koji pripada intervalu čiji je kotangens jednak a.
Dakle, arcctg a je ugao koji zadovoljava sljedeće uslove: ctg (arcctg a)=a i 0? arcctg a ? R.
Iz definicije inverzne funkcije i definicije arktangenta slijedi da je D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Kotangens luka je opadajuća funkcija jer se funkcija y = ctg x smanjuje u intervalu.
Grafikon funkcije y = arcctg x ne siječe os Ox, jer je y > 0 R. Za x = 0 y = arcctg 0 =.
Grafikon funkcije y = arcctg x prikazan je na slici 11.
Rice. 11
Imajte na umu da je za sve realne vrijednosti x identitet istinit: arcctg(-x) = p-arcctg x.
Lekcije 32-33. Inverzne trigonometrijske funkcije
09.07.2015 8936 0Cilj: razmotriti inverzne trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu za pisanje rješenja trigonometrijskih jednadžbi.
I. Prenošenje teme i svrhe lekcija
II. Učenje novog gradiva
1. Inverzne trigonometrijske funkcije
Započnimo našu raspravu o ovoj temi sljedećim primjerom.
Primjer 1
Rešimo jednačinu: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.
a) Na osi ordinata crtamo vrijednost 1/2 i konstruiramo uglove x 1 i x2, za koje sin x = 1/2. U ovom slučaju x1 + x2 = π, odakle je x2 = π – x 1 . Koristeći tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija, tada nalazimo vrijednost x1 = π/6Uzmimo u obzir periodičnost sinusne funkcije i zapišimo rješenja zadata jednačina: gdje je k ∈ Z.
b) Očigledno, algoritam za rješavanje jednačine grijeh x = a je isto kao u prethodnom paragrafu. Naravno, sada je vrijednost a iscrtana duž ordinatne ose. Postoji potreba da se nekako odredi ugao x1. Dogovorili smo se da ovaj ugao označimo simbolom arcsin A. Tada se rješenja ove jednačine mogu zapisati u oblikuOve dvije formule mogu se kombinirati u jednu: pri čemu
Preostale inverzne trigonometrijske funkcije uvode se na sličan način.
Vrlo često je potrebno odrediti veličinu ugla iz poznate vrijednosti njegove trigonometrijske funkcije. Takav problem je višeznačan - postoji bezbroj uglova čije su trigonometrijske funkcije jednake istoj vrijednosti. Stoga, na osnovu monotonosti trigonometrijskih funkcija, uvode se sljedeće inverzne trigonometrijske funkcije za jednoznačno određivanje uglova.
Arksinus broja a (arcsin , čiji je sinus jednak a, tj.
Arc kosinus broja a(arccos a) je ugao a iz intervala čiji je kosinus jednak a, tj.
Arktangens broja a(arctg a) - takav ugao a iz intervalačija je tangenta jednaka a, tj.tg a = a.
Arkotangens broja a(arcctg a) je ugao a iz intervala (0; π), čiji je kotangens jednak a, tj. ctg a = a.
Primjer 2
Hajde da pronađemo:
Uzimajući u obzir definicije inverznih trigonometrijskih funkcija, dobijamo:
Primjer 3
Hajde da izračunamo
Neka je ugao a = arcsin 3/5, onda po definiciji sin a = 3/5 i . Stoga, moramo pronaći cos A. Koristeći osnovni trigonometrijski identitet, dobijamo:Uzima se u obzir da je cos a ≥ 0. Dakle,
Svojstva funkcije | Funkcija |
|||
y = arcsin x | y = arccos x | y = arktan x | y = arcctg x |
|
Domain | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Raspon vrijednosti | y ∈ [ -π/2 ; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0; π) |
Paritet | Odd | Ni par ni neparan | Odd | Ni par ni neparan |
Nule funkcije (y = 0) | Na x = 0 | Kod x = 1 | Na x = 0 | y ≠ 0 |
Intervali konstantnosti znaka | y > 0 za x ∈ (0; 1], at< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 za x ∈ [-1; 1) | y > 0 za x ∈ (0; +∞), at< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 za x ∈ (-∞; +∞) |
Monotona | Povećanje | Silazno | Povećanje | Silazno |
Odnos prema trigonometrijskoj funkciji | sin y = x | cos y = x | tg y = x | ctg y = x |
Raspored |
Navedimo nekoliko tipičnijih primjera vezanih za definicije i osnovna svojstva inverznih trigonometrijskih funkcija.
Primjer 4
Nađimo domenu definicije funkcije
Da bi funkcija y bila definirana, potrebno je zadovoljiti nejednakostšto je ekvivalentno sistemu nejednakostiRješenje prve nejednakosti je interval x∈ (-∞; +∞), drugi - Ovaj interval i predstavlja rješenje sistema nejednačina, a samim tim i domen definicije funkcije
Primjer 5
Nađimo područje promjene funkcije
Razmotrimo ponašanje funkcije z = 2x - x2 (vidi sliku).
Jasno je da je z ∈ (-∞; 1]. S obzirom da je argument z funkcija inverzne tangente se mijenja unutar specificiranih granica, iz podataka tablice to dobijamoDakle, područje promjene
Primjer 6
Dokažimo da je funkcija y = arctg x odd. NekaTada je tg a = -x ili x = - tg a = tg (- a), i Dakle, - a = arctg x ili a = - arctg X. Dakle, vidimo totj. y(x) je neparna funkcija.
Primjer 7
Izrazimo kroz sve inverzne trigonometrijske funkcije
Neka Očigledno je da Onda od tada
Hajde da predstavimo ugao Jer To
Isto tako I
dakle,
Primjer 8
Nacrtajmo funkciju y = cos(arcsin x).
Označimo onda a = arcsin x Uzmimo u obzir da je x = sin a i y = cos a, tj. x 2 + y2 = 1, i ograničenja na x (x∈ [-1; 1]) i y (y ≥ 0). Tada je graf funkcije y = cos(arcsin x) je polukrug.
Primjer 9
Nacrtajmo funkciju y = arccos (cos x ).
Pošto je funkcija cos x promjene na intervalu [-1; 1], tada je funkcija y definirana na cijeloj numeričkoj osi i varira na segmentu . Imajmo na umu da je y = arccos (cosx) = x na segmentu; funkcija y je parna i periodična sa periodom 2π. S obzirom da funkcija ima ova svojstva cos x Sada je lako napraviti graf.
Napomenimo neke korisne jednakosti:
Primjer 10
Nađimo najmanji i najveća vrijednost funkcije Označimo Onda Uzmimo funkciju Ova funkcija ima minimum u tački z = π/4, a jednako je Najveća vrijednost funkcije se postiže u tački z = -π/2, i jednako je Dakle, i
Primjer 11
Hajde da riješimo jednačinu
Uzmimo to u obzir Tada jednačina izgleda ovako:ili gdje Po definiciji arktangensa dobijamo:
2. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi
Slično primjeru 1, možete dobiti rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina.
Jednačina | Rješenje |
tgx = a | |
ctg x = a |
Primjer 12
Hajde da riješimo jednačinu
Kako je sinusna funkcija neparna, zapisujemo jednačinu u oblikuRješenja ove jednačine:odakle ga nalazimo?
Primjer 13
Hajde da riješimo jednačinu
Koristeći datu formulu, zapisujemo rješenja jednadžbe:i naći ćemo
Imajte na umu da u posebnim slučajevima (a = 0; ±1) prilikom rješavanja jednačina sin x = a i cos x = ali je lakše i praktičnije koristiti ne opšte formule, i zapiši rješenja na osnovu jediničnog kruga:
za rješenje jednačine sin x = 1
za jednačinu sin x = 0 rješenja x = π k;
za rješenje jednačine sin x = -1
za cos jednačinu x = 1 rješenje x = 2π k ;
za jednadžbu cos x = 0 rješenja
za rješenje jednačine cos x = -1
Primjer 14
Hajde da riješimo jednačinu
Pošto u ovom primjeru postoji poseban slučaj jednadžbe, a zatim pomoću odgovarajuće formule zapisujemo rješenje:odakle ga možemo naći?
III. Kontrolna pitanja(frontalna anketa)
1. Definirajte i navedite glavna svojstva inverznih trigonometrijskih funkcija.
2. Dajte grafove inverznih trigonometrijskih funkcija.
3. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi.
IV. Zadatak lekcije
§ 15, br. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;
§ 16, br. 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);
§ 17, br. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).
V. Domaći
§ 15, br. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;
§ 16, br. 4 (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);
§ 17, br. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).
VI. Kreativni zadaci
1. Pronađite domenu funkcije:
odgovori:
2. Pronađite opseg funkcije:
odgovori:
3. Grafikujte funkciju:
VII. Sumiranje lekcija
Definicija i notacija
Arksinus (y = arcsin x) je inverzna funkcija sinusa (x = siny -1 ≤ x ≤ 1 i skup vrijednosti -π /2 ≤ y ≤ π/2.sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Arksinus se ponekad označava na sljedeći način:
.
Grafikon funkcije arcsinusa
Grafikon funkcije y = arcsin x
Arksusni graf se dobija iz sinusnog grafa ako se apscisa i ordinatna osa zamijene. Da bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti je ograničen na interval u kojem je funkcija monotona. Ova definicija se zove glavna vrijednost arcsinusa.
Arccosine, arccos
Definicija i notacija
Ark kosinus (y = arccos x) je inverzna funkcija kosinusa (x = cos y). Ima opseg -1 ≤ x ≤ 1 i mnoga značenja 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Arkozin se ponekad označava na sljedeći način:
.
Graf arc kosinus funkcije
Grafikon funkcije y = arccos x
Lučni kosinusni graf se dobija iz kosinusnog grafa ako se apscisa i ordinatna osa zamijene. Da bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti je ograničen na interval u kojem je funkcija monotona. Ova definicija se zove glavna vrijednost arc kosinusa.
Paritet
Arcsinusna funkcija je neparna:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Funkcija arc kosinusa nije parna ili neparna:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Svojstva - ekstremi, povećanje, smanjenje
Funkcije arksinus i arkosinus su kontinuirane u svojoj domeni definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva arksinusa i arkosinusa prikazana su u tabeli.
y = arcsin x | y = arccos x | |
Obim i kontinuitet | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
Raspon vrijednosti | ||
Uzlazno, silazno | monotono raste | monotono opada |
Highs | ||
Minimum | ||
Nule, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
Točke preseka sa ordinatnom osom, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
Tablica arksinusa i arkkosinusa
Ova tabela prikazuje vrijednosti arksinusa i arkkosinusa, u stupnjevima i radijanima, za određene vrijednosti argumenta.
x | arcsin x | arccos x | ||
hail | drago. | hail | drago. | |
- 1 | - 90° | - | 180° | π |
- | - 60° | - | 150° | |
- | - 45° | - | 135° | |
- | - 30° | - | 120° | |
0 | 0° | 0 | 90° | |
30° | 60° | |||
45° | 45° | |||
60° | 30° | |||
1 | 90° | 0° | 0 |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formule
Vidi također: Izvođenje formula za inverzne trigonometrijske funkcijeFormule zbira i razlike
na ili
at and
at and
na ili
at and
at and
at
at
at
at
Izrazi kroz logaritme, kompleksni brojevi
Vidi također: Izvođenje formulaIzrazi kroz hiperboličke funkcije
Derivati
;
.
Vidi Derivacija arksinusa i arkkosinusnih derivata > > >
Derivati višeg reda:
,
gdje je polinom stepena . Određuje se formulama:
;
;
.
Vidi Derivacija derivacija višeg reda od arksinusa i arkosinusa > > >
Integrali
Napravimo supstituciju x = sint. Integriramo po dijelovima, uzimajući u obzir da je -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
cos t ≥ 0:
.
Izrazimo arc kosinus kroz arc sinus:
.
Proširenje serije
Kada |x|< 1
odvija se sljedeća razgradnja:
;
.
Inverzne funkcije
Inverzi arksinusa i arkosinusa su sinus, odnosno kosinus.
Sljedeće formule vrijede u cijelom domenu definicije:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Sljedeće formule vrijede samo na skupu vrijednosti arksinusa i arkkosinusa:
arcsin(sin x) = x at
arccos(cos x) = x u .
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
U ovoj lekciji ćemo pogledati karakteristike inverzne funkcije i ponovite inverzne trigonometrijske funkcije. Posebno će se razmatrati svojstva svih osnovnih inverznih trigonometrijskih funkcija: arksinus, arkosinus, arktangens i arkkotangens.
Ova lekcija će vam pomoći da se pripremite za jednu od vrsta zadataka U 7 I C1.
Priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike
Eksperimentiraj
Lekcija 9. Inverzne trigonometrijske funkcije.
Teorija
Sažetak lekcije
Sjetimo se kada naiđemo na takav koncept kao inverzna funkcija. Na primjer, razmotrite funkciju kvadriranja. Hajde da imamo kvadratnu sobu sa stranicama od 2 metra i želimo da izračunamo njenu površinu. Da bismo to učinili, koristeći formulu kvadrata, kvadriramo dva i kao rezultat dobijemo 4 m2. Sada zamislite inverzni problem: znamo površinu kvadratne sobe i želimo pronaći dužine njegovih stranica. Ako znamo da je površina i dalje ista 4 m2, tada ćemo izvršiti akciju obrnutu od kvadriranja - izvlačenje aritmetičkog kvadratnog korijena, što će nam dati vrijednost od 2 m.
Dakle, za funkciju kvadriranja broja, inverzna funkcija je uzimanje aritmetičkog kvadratnog korijena.
Naime, u gornjem primjeru nismo imali nikakvih problema s izračunavanjem strane prostorije, jer razumijemo da je ovo pozitivan broj. Međutim, ako napravimo pauzu od ovog slučaja i razmotrimo problem na opštiji način: "Izračunaj broj čiji je kvadrat jednak četiri", suočavamo se s problemom - postoje dva takva broja. Ovo su 2 i -2, jer je takođe jednako četiri. Ispada da se inverzni problem u opštem slučaju može riješiti dvosmisleno, a radnja određivanja broja koji je na kvadrat dala je broj koji znamo? ima dva rezultata. Zgodno je to prikazati na grafikonu:
To znači da takav zakon korespondencije brojeva ne možemo nazvati funkcijom, jer za funkciju jedna vrijednost argumenta odgovara strogo jedan vrijednost funkcije.
Kako bi se precizno uvela inverzna funkcija u kvadrat, predložen je koncept aritmetičkog kvadratnog korijena koji daje samo nenegativne vrijednosti. One. za funkciju, inverzna funkcija se smatra .
Slično tome, postoje funkcije inverzne trigonometrijskim, one se nazivaju inverzne trigonometrijske funkcije. Svaka od funkcija koje smo razmatrali ima svoj inverz, nazivaju se: arksinus, arkosinus, arktangens i arkkotangens.
Ove funkcije rješavaju problem izračunavanja uglova iz poznate vrijednosti trigonometrijske funkcije. Na primjer, koristeći tablicu vrijednosti osnovnih trigonometrijskih funkcija, možete izračunati sinus čiji je kut jednak . Ovu vrijednost nalazimo u liniji sinusa i određujemo kojem kutu odgovara. Prvo na šta želite da odgovorite jeste da je to ugao ili, ali ako imate na raspolaganju tabelu vrednosti odmah ćete primetiti još jednog kandidata za odgovor - to je ugao ili. A ako se prisjetimo perioda sinusa, shvatit ćemo da postoji beskonačan broj uglova pod kojima je sinus jednak. A takav skup vrijednosti uglova koji odgovara datoj vrijednosti trigonometrijske funkcije će se također promatrati za kosinuse, tangente i kotangense, jer svi imaju periodičnost.
One. suočeni smo sa istim problemom koji smo imali za izračunavanje vrijednosti argumenta iz vrijednosti funkcije za operaciju kvadriranja. I u ovom slučaju, za inverzne trigonometrijske funkcije, uvedeno je ograničenje na raspon vrijednosti koje daju tokom izračunavanja. Ovo svojstvo takvih inverznih funkcija se zove sužavanje raspona vrijednosti, a neophodno je da bi se mogle nazvati funkcijama.
Za svaku od inverznih trigonometrijskih funkcija, raspon uglova koje ona vraća je različit, a mi ćemo ih razmatrati zasebno. Na primjer, arcsinus vraća vrijednosti ugla u rasponu od do .
Sposobnost rada s inverznim trigonometrijskim funkcijama bit će nam korisna pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi.
Sada ćemo naznačiti osnovna svojstva svake od inverznih trigonometrijskih funkcija. Ko želi da se detaljnije upozna sa njima, pogledajte poglavlje „Rješavanje trigonometrijskih jednačina“ u programu 10. razreda.
Razmotrimo svojstva arcsinusne funkcije i napravimo njen graf.
Definicija.Arksinus brojax
Osnovna svojstva arcsinusa:
1) u ,
2) u .
Osnovna svojstva funkcije arcsinusa:
1) Obim definicije ;
2) Raspon vrijednosti ;
3) Funkcija je neparna. Preporučljivo je zapamtiti ovu formulu posebno, jer korisna je za transformacije. Također primjećujemo da neparnost implicira simetriju grafa funkcije u odnosu na ishodište;
Napravimo graf funkcije:
Imajte na umu da se nijedan od dijelova grafa funkcije ne ponavlja, što znači da arksinus nije periodična funkcija, za razliku od sinusa. Isto će važiti i za sve ostale funkcije luka.
Razmotrimo svojstva arc kosinus funkcije i napravimo njen graf.
Definicija.arc kosinus brojax je vrijednost ugla y za koji . Štoviše, i kao ograničenja na vrijednosti sinusa, i kao odabrani raspon uglova.
Osnovna svojstva arc kosinusa:
1) u ,
2) u .
Osnovna svojstva arc kosinus funkcije:
1) Obim definicije ;
2) raspon vrijednosti;
3) Funkcija nije ni parna ni neparna, tj. opšti pogled . Također je poželjno zapamtiti ovu formulu, kasnije će nam biti od koristi;
4) Funkcija se monotono smanjuje.
Napravimo graf funkcije:
Razmotrimo svojstva arktangentne funkcije i napravimo njen graf.
Definicija.Arktangent brojax je vrijednost ugla y za koji . Štaviše, jer Nema ograničenja za vrijednosti tangente, već kao odabrani raspon uglova.
Osnovna svojstva arktangensa:
1) u ,
2) u .
Osnovna svojstva arktangentne funkcije:
1) Obim definicije;
2) Raspon vrijednosti ;
3) Funkcija je neparna . Ova formula je također korisna, kao i druge slične njoj. Kao iu slučaju arcsinusa, neparnost implicira da je graf funkcije simetričan u odnosu na ishodište;
4) Funkcija se monotono povećava.
Napravimo graf funkcije: