Опровержение теоремы ферма. Кому поля не жмут
В мире можно найти не так уж много людей, ни разу не слы-шавших о Великой теореме Ферма — пожалуй, это единственная математическая задача, получившая столь широкую известность и ставшая настоящей легендой. О ней упоминается во множестве книг и фильмов, при этом главный контекст почти всех упоми-наний — невозможность доказать теорему.
Да, эта теорема очень известна и в некотором смысле стала «идолом», которому поклоняются математики-любители и про-фессионалы, но мало кому известно о том, что ее доказательство найдено, а произошло это в уже далеком 1995 году. Но обо всем по порядку.
Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая послед-ней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестя-щим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образова-нием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.
Почему она так знаменита? Сейчас узнаем...
Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма - задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство - даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. 2. В чем же она состоит?
Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста - на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны». Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, - теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.
В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.
То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству x²+y²=z²
Начиная с 3, 4, 5 - действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25.
Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно.
Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота - кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.
Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац - а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?
Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.
В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис. 2):
А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) - не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:
А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение x n +y n =z n . И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».
Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.
После Ферма над поиском доказательства работали такие ве-ликие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3),
Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказа-тельства последней теоремы Ферма практически закончилась.
Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…
В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5. В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.
Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.
В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.
Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…
Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:
Уважаемый(ая) . . . . . . . .
Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в строке... . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.
Профессор Э. М. Ландау
В 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000.
В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.
В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы - геометрические объекты, а эллиптические уравнения - алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи.
Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник - модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы-Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.
В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы-Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы-Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.
В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.
Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы-Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы-Симуры.
В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма (Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.) , работа над которым продолжалась более семи лет.
Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение.
Оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправлен-ное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась — последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математи-ческой точки зрения, вариант доказательства.
«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?
На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».
С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Фер-ма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!
Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессио-нальные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного до-казательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда...
источник
Итак, Великая теорема Ферма (нередко называемая последней теоремой Ферма), сформулированная в 1637 году блестящим французским математиком Пьером Ферма, очень проста по своей сути и понятна любому человеку со средним образованием. Она гласит, что формула а в степени n + b в степени n = c в степени n не имеет натуральных (то есть не дробных) решений для n > 2. Вроде все просто и понятно, но лучшие ученые-математики и простые любители бились над поиском решения более трех с половиной веков.
Почему она так знаменита? Сейчас узнаем...
Мало ли доказанных, недоказанных и пока не доказанных теорем? Тут все дело в том, что Великая теорема Ферма являет собой самый большой контраст между простотой формулировки и сложностью доказательства. Великая теорема Ферма – задача невероятно трудная, и тем не менее ее формулировку может понять каждый с 5-ю классами средней школы, а вот доказательство – даже далеко не всякий математик-профессионал. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии, ни в той же математике нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто, но оставалась нерешенной так долго. 2. В чем же она состоит?
Начнем с пифагоровых штанов Формулировка действительно проста – на первый взгляд. Как известно нам с детства, «пифагоровы штаны на все стороны равны». Проблема выглядит столь простой потому, что в основе ее лежало математическое утверждение, которое всем известно, – теорема Пифагора: в любом прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах.
В V веке до н.э. Пифагор основал пифагорейское братство. Пифагорейцы, помимо прочего, изучали целочисленные тройки, удовлетворяющие равенству x²+y²=z². Они доказали, что пифагоровых троек бесконечно много, и получили общие формулы для их нахождения. Наверное, они пробовали искать тройки и более высоких степеней. Убедившись, что это не получается, пифагорейцы оставили бесполезные попытки. Члены братства были больше философами и эстетами, чем математиками.
То есть легко подобрать множество чисел, которые прекрасно удовлетворяют равенству x²+y²=z²
Начиная с 3, 4, 5 – действительно, младшекласснику понятно, что 9+16=25.
Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Замечательно.
Ну и так далее. А если взять похожее уравнение x³+y³=z³ ? Может, тоже есть такие числа?
И так далее (рис.1).
Так вот, оказывается, что их НЕТ. Вот тут начинается подвох. Простота – кажущаяся, потому что трудно доказать не наличие чего-то, а наоборот, отсутствие. Когда надо доказать, что решение есть, можно и нужно просто привести это решение.
Доказать отсутствие сложнее: например, некто говорит: такое-то уравнение не имеет решений. Посадить его в лужу? легко: бац – а вот оно, решение! (приведите решение). И все, оппонент сражен. А как доказать отсутствие?
Сказать: «Я не нашел таких решений»? А может, ты плохо искал? А вдруг они есть, только очень большие, ну очень, такие, что даже у сверхмощного компьютера пока не хватает силенок? Вот это-то и сложно.
В наглядном виде это можно показать так: если взять два квадратика подходящих размеров и разобрать на единичные квадратики, то из этой кучки единичных квадратиков получается третий квадратик (рис. 2):
А проделаем то же с третьим измерением (рис. 3) – не получается. Не хватает кубиков, или остаются лишние:
А вот математик XVII века француз Пьер де Ферма с увлечением исследовал общее уравнение x n +y n =z n . И, наконец, сделал вывод: при n>2 целочисленных решений не существует. Доказательство Ферма безвозвратно утеряно. Рукописи горят! Осталось лишь его замечание в «Арифметике» Диофанта: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его».
Вообще-то, теорема без доказательства называется гипотезой. Но за Ферма закрепилась слава, что он никогда не ошибается. Даже если он не оставлял доказательства какого-нибудь утверждения, впоследствии оно подтверждалось. К тому же, Ферма доказал свой тезис для n=4. Так гипотеза французского математика вошла в историю как Великая теорема Ферма.
После Ферма над поиском доказательства работали такие великие умы, как Леонард Эйлер (в 1770 году им было предложено решение для n = 3),
Адриен Лежандр и Иоганн Дирихле (эти ученые в 1825 году совместно нашли доказательство для n = 5), Габриель Ламе (нашедший доказательство для n = 7) и многие другие. К середине 80-х годов прошлого века стало понятно, что ученый мир находится на пути к окончательному решению Великой теоремы Ферма, однако только в 1993 году математики увидели и поверили, что трехвековая эпопея по поиску доказательства последней теоремы Ферма практически закончилась.
Легко показывается, что теорему Ферма достаточно доказать только для простых n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … При составных n доказательство остаётся в силе. Но и простых чисел бесконечно много…
В 1825 году, применив метод Софи Жермен, женщины-математика, Дирихле и Лежандр независимо друг от друга доказали теорему для n=5. В 1839 году тем же методом француз Габриель Ламе показал истинность теоремы для n=7. Постепенно теорему доказали почти для всех n, меньших ста.
Наконец, немецкий математик Эрнст Куммер в блестящем исследовании показал, что методами математики XIX века теорему в общем виде доказать нельзя. Премия Французской Академии Наук, учреждённая в 1847 году за доказательство теоремы Ферма, осталась невручённой.
В 1907 году богатый немецкий промышленник Пауль Вольфскель из-за неразделённой любви решил свести счёты с жизнью. Как истинный немец он назначил дату и время самоубийства: ровно в полночь. В последний день он составил завещание и написал письма друзьям и родственникам. Дела закончились раньше полночи. Надо сказать, что Пауль интересовался математикой. От нечего делать он пошёл в библиотеку и принялся читать знаменитую статью Куммера. Неожиданно ему показалось, что Куммер в ходе рассуждений совершил ошибку. Вольфскель стал с карандашом в руках разбирать это место статьи. Полночь миновала, наступило утро. Пробел в доказательстве был восполнен. Да и сам повод для самоубийства теперь выглядел совершенно нелепым. Пауль разорвал прощальные письма и переписал завещание.
Вскоре он умер естественной смертью. Наследники были изрядно удивлены: 100 000 марок (более 1 000 000 нынешних фунтов стерлингов) передавались на счёт Королевского научного общества Гёттингена, которое в том же году объявило о проведении конкурса на соискание премии Вольфскеля. 100 000 марок полагались доказавшему теорему Ферма. За опровержение теоремы не полагалось ни пфеннига…
Большинство профессиональных математиков считали поиск доказательства Великой теоремы Ферма безнадёжным делом и решительно отказывались тратить время на такое бесполезное занятие. Зато любители порезвились на славу. Через несколько недель после объявления на Гёттингенский университет обрушилась лавина «доказательств». Профессор Э. М. Ландау, в обязанность которого входил разбор присланных доказательств, раздал своим студентам карточки:
Уважаемый(ая) . . . . . . . .
Благодарю Вас за присланную Вами рукопись с доказательством Великой теоремы Ферма. Первая ошибка находится на стр. ... в строке... . Из-за неё всё доказательство утрачивает силу.
Профессор Э. М. Ландау
В 1963 году Пауль Коэн, опираясь на выводы Гёделя, доказал неразрешимость одной из двадцати трех проблем Гильберта — гипотезы континуума. А что, если Великая теорема Ферма тоже неразрешима?! Но истинных фанатиков Великой теоремы это ничуть не разочаровало. Появление компьютеров неожиданно дало математикам новый метод доказательства. После Второй мировой войны группы программистов и математиков доказали Великую теорему Ферма при всех значениях n до 500, затем до 1 000, а позже до 10 000.
В 80-е годы Сэмюэль Вагстафф поднял предел до 25 000, а в 90-ых математики заявили, что Великая теорема Ферма верна при всех значениях n до 4 миллионов. Но если от бесконечности отнять даже триллион триллионов, она не станет меньше. Математиков не убеждает статистика. Доказать Великую теорему значило доказать её для ВСЕХ n, уходящих в бесконечность.
В 1954 году два молодых японских друга-математика занялись исследованием модулярных форм. Эти формы порождают ряды чисел, каждая - свой ряд. Случайно Танияма сравнил эти ряды с рядами, порождаемыми эллиптическими уравнениями. Они совпадали! Но модулярные формы – геометрические объекты, а эллиптические уравнения – алгебраические. Между столь разными объектами никогда не находили связи.
Тем не менее, друзья после тщательной проверки выдвинули гипотезу: у каждого эллиптического уравнения существует двойник – модулярная форма, и наоборот. Именно эта гипотеза стала фундаментом целого направления в математике, но до тех пор, пока гипотеза Таниямы–Симуры не была доказана, всё здание могло рухнуть в любой момент.
В 1984 году Герхард Фрей показал, что решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение. Двумя годами позже профессор Кен Рибет доказал, что это гипотетическое уравнение не может иметь двойника в модулярном мире. Отныне Великая теорема Ферма была нерасторжимо связана с гипотезой Таниямы–Симуры. Доказав, что любая эллиптическая кривая модулярна, мы делаем вывод, что эллиптического уравнения с решением уравнения Ферма не существует, и Великая теорема Ферма была бы тотчас же доказана. Но в течение тридцати лет доказать гипотезу Таниямы–Симуры не удавалось, и надежд на успех оставалось всё меньше.
В 1963 году, когда ему было всего десять лет, Эндрю Уайлс уже был очарован математикой. Когда он узнал о Великой теореме, то понял, что не сможет отступиться от неё. Школьником, студентом, аспирантом он готовил себя к этой задаче.
Узнав о выводах Кена Рибета, Уайлс с головой ушёл в доказательство гипотезы Таниямы–Симуры. Он решил работать в полной изоляции и секретности. «Я понимал, что всё, что имеет какое-то отношение к Великой теореме Ферма, вызывает слишком большой интерес… Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели». Семь лет упорной работы принесли плоды, Уайлс наконец завершил доказательство гипотезы Таниямы–Симуры.
В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс представил миру свое доказательство Великой теоремы Ферма (Уайльс прочитал свой сенсационный доклад на конференции в Институте сэра Исаака Ньютона в Кембридже.) , работа над которым продолжалась более семи лет.
Пока в печати продолжалась шумиха, началась серьёзная работа по проверке доказательства. Каждый фрагмент доказательства должен быть тщательно изучен прежде, чем доказательство может быть признано строгим и точным. Уайлс провёл беспокойное лето в ожидании отзывов рецензентов, надеясь, что ему удастся получить их одобрение. В конце августа эксперты нашли недостаточно обоснованное суждение.
Оказалось, что данное решение содержит грубую ошибку, хотя в целом и верно. Уайлс не сдался, призвал на помощь известного специалиста в теории чисел Ричарда Тейлора, и уже в 1994 году они опубликовали исправленное и дополненное доказательство теоремы. Самое удивительное, что эта работа заняла целых 130 (!) полос в математическом журнале «Annals of Mathematics». Но и на этом история не закончилась — последняя точка была поставлена только в следующем, 1995 году, когда в свет вышел окончательный и «идеальный», с математической точки зрения, вариант доказательства.
«…через полминуты после начала праздничного обеда по случаю её дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства» (Эндрю Уальс). Я ещё не говорил, что математики странные люди?
На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи были подвергнуты самому тщательному анализу и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».
С того момента прошло немало времени, однако в обществе до сих пор бытует мнение о неразрешимости Великой теоремы Ферма. Но даже те, кто знает о найденном доказательстве, продолжают работу в этом направлении — мало кого устраивает, что Великая теорема требует решения в 130 страниц!
Поэтому сейчас силы очень многих математиков (в основном это любители, а не профессиональные ученые) брошены на поиски простого и лаконичного доказательства, однако этот путь, скорее всего, не приведет никуда...
Теорема Ферма дразнила математиков более трех веков, хотя она проста на вид, а сам Ферма уверял, что знает, как ее доказать, одна беда - места не хватает записать. Доказать проклятую теорему удалось ученому из Принстона Эндрю Уайлсу около 10 лет назад. «Чердак» вспоминает историю, пожалуй, самого знаменитого доказательства в истории математики.
Уайлсу потребовались годы работы и знание самых современных разделов математики. Недавно он получил за это достижение премию, которую называют Нобелевкой для математиков. При этом формулировка теоремы Ферма крайне проста: она утверждает, что нет таких целых значений x , y и z , для которых бы выполнялось равенство x n +y n =z n при n больше 2. Эту теорему сформулировал французский математик Пьер де Ферма в XVII веке. Читая «Арифметику» Диофанта, он записал уравнение на полях, в той части книги, где речь шла о теореме Пифагора.
Заметки на полях
Теорема Пифагора известна каждому, кто в школе хотя бы иногда не прогуливал математику: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Теорема была доказана, как можно догадаться, Пифагором, а уже его ученики доказали, что существует бесконечное множество так называемых пифагорейских троек - целых чисел, для которых выполняется условие x 2 +y 2 =z 2 . Например, 3 2 +4 2 =5 2 или 99 2 +4900 2 =4901 2 .
Ферма задался вопросом: а что если вместо квадратов в формуле будут кубы: x 3 +y 3 =z 3 ? Можно ли для такого равенства найти красивые тройки целых чисел? А если в показателе степени будет стоять 4? А если 5? Ферма утверждал, что если показатель степени больше двух, то таких троек целых чисел не существует. Рядом с формулировкой теоремы Ферма оставил коварную запись: «Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его». В чем заключалось это доказательство, он так никому и не сообщил.
В обычной жизни Ферма был крупным провинциальным чиновником, а наукой занимался в свободное от работы время. В то время среди математиков было не очень-то принято делиться с коллегами своими результатами. Ферма же выделялся особенной замкнутостью даже среди коллег: он мало с кем обсуждал свои идеи, а когда ему удавалось найти интересное решение сложной математической задачи, он развлекался тем, что отправлял товарищам-математикам формулировки этих задач, но не их решения. Публиковать свои математические выкладки он тоже не стремился.
Французский чиновник и математик Пьер де Ферма
Знаменитая теорема не канула в Лету вместе с другими открытиями Ферма лишь благодаря тому, что старший сын эксцентричного ученого-любителя после смерти отца взялся опубликовать все его отрывочные заметки. В них обнаружилось множество интересных и важных для математики теорем - часто без доказательств или лишь с набросками таковых. С тех пор все они были доказаны, и только уравнение, известное теперь как теорема Ферма, упорно не поддавалось.
Загадка на века
Простота формулировки и замечание, оставленное Ферма по поводу доказательства теоремы, дразнили профессионалов и любителей математики на протяжении веков. Ведь Ферма располагал теми же знаниями, что и его современники, значит, для доказательства теоремы требовалось лишь сделать какой-то необычный ход.
В истории попыток доказать, что «нужных» троек целых чисел не существует, порой случались небольшие прорывы. Так, через сто лет после Ферма Леонарду Эйлеру удалось доказать, что теорема верна при n =3. Другие математики доказали теорему для еще нескольких частных случаев или же намечали возможные подступы к решению задачи. Во второй половине XX века стали доступны компьютеры и математикам удалось показать, что теорема Ферма верна при значениях n от 2 до 500, затем счет пошел на тысячи, затем на миллионы, однако все это по-прежнему не означало, что утверждение Ферма верно для любых значений n .
Дело жизни
Таково было положение дел, когда о теореме впервые узнал десятилетний Эндрю Уайлс. Он загорелся идеей доказать ее, и эта мысль не оставляла ученого на протяжении всей математической карьеры.
Во второй половине 1980-х годов Уайлс полностью сосредоточился на теореме Ферма. Он продолжал преподавать в Принстонском университете, но отказался от участия в конференциях и любой другой публичной деятельности. Уайлс никому не рассказывал о своей цели: во-первых, ему не хотелось тратить время на обсуждения, во-вторых, в случае успеха слава досталась бы ему одному. А в третьих, его могли просто не принять всерьез - уж больно много чудаков и сумасшедших покушалось до него на доказательство великой теоремы. Он понимал, что ему потребуются годы работы и боялся, что, если он будет рассказывать о своей работе, в последний момент решающий шаг сделает кто-то другой. Для того чтобы не вызывать подозрений, Уайлс воспользовался одним из своих исследований, посвященных эллиптическим кривым. Оно было завершено, но математик публиковал его по кусочкам, притворяясь, что продолжает свои исследования в этой области. В тайну своей настоящей работы Уайлс посвятил только жену, и многие коллеги ученого начали считать, что его «исчезновение» связано с тем, что бедняга исчерпал свой математический талант.
Эндрю Уайлс у памятника Пьеру де Ферма. Фото: Klaus Barner/Wikipedia
В 1988 году, когда Уайлс вовсю работал над своим доказательством, японский математик Иоичи Мияока заявил, что ему удалось «взломать» теорему Ферма. Математики всего мира принялись изучать выкладки Мияоки и, к несчастью для него, в рассуждениях обнаружились серьезные пробелы, так что Уайлс продолжил работу.
Однако к 1991 году математик перебрал все доступные ему инструменты, а теорема Ферма все еще не поддавалась. Уайлсу пришлось прервать отшельничество, чтобы пообщаться с коллегами и выяснить, нет ли у тех каких-нибудь новых идей, полезных для его работы. И такие идеи нашлись - работа Уайлса сдвинулась с мертвой точки, и он уже предвидел успех, однако математику нужно было проверить все созданные выкладки. Уайлсу требовался эксперт, владеющий всеми тонкостями использованных им методов, однако это означало, что этого человека придется посвятить в свой замысел. И Уайлс доверился своему коллеге в Принстоне Нику Катцу.
Эксперту предстояло разобраться в работе, которую Уайлс вел в течение нескольких лет. Подступиться к такому объему материала было непросто, и Уайлс с Катцом нашли изящный выход. Уайлс объявил курс лекций для аспирантов с весьма расплывчатым названием «Вычисления по поводу эллиптических кривых». На лекциях Уайлс детально излагал ту часть доказательства, в которой он не был уверен и которая нуждалась в проверке. Только Катц знал, к чему все эти выкладки, для всех остальных слушателей это был просто курс лекций, причем крайне сложный, очень детальный и не очень понятно, к чему применимый. Постепенно слушатели разбежались, и в конце концов в аудитории на лекциях присутствовали лишь сами Уайлс и Катц.
Теорема доказана...
Проверка позволила убедиться, что в доказательстве Уайлса нет пробелов. В 1993 году он был уверен, что в его работе все верно. Ученый представил результат своих трудов на крупном математическом симпозиуме в Кембридже в конце июня 1993 года.
Весть о том, что теорема Ферма доказана, наделала много шуму. Тем более что для завершения работы Уайлсу потребовалось сначала доказать так называемую гипотезу Таниямы-Шимуры. Для математиков она не менее, а может быть даже более важна, чем собственно теорема Ферма, так как позволяет установить связь между разделами математики, ранее казавшимися крайне далекими друг от друга. В прессе поднялась шумиха, и Уайлс стал знаменитостью.
...или все-таки нет?
Он отправил свое доказательство для публикации в научный журнал, и шестеро рецензентов принялись за тщательную проверку его выкладок, занимавших 200 страниц. Одна из частей доказательства попала на проверку Катцу. С большинством вопросов, возникающих у рецензентов, Уайлс легко справлялся, однако у Катца возник небольшой вопрос, на который автор доказательства не смог сразу ответить. И чем больше он углублялся в разъяснения, тем очевиднее становилось, что речь идет не о небольшой ошибке, а о серьезной проблеме, пропущенной Катцом и Уайлсом, даже несмотря на устроенный ими курс лекций именно по самой «проблемной» части доказательства.
Уайлс надеялся «починить» доказательство, найдя способ устранить ошибку, но ему это никак не удавалось, и среди математиков поползли слухи, что и на этот раз доказательство теоремы Ферма не выдержало критики. Конечно, Уайлсом и без того была проделана огромная работа, которая дала много важных результатов, но он хотел доказать теорему Ферма, и для него найденная ошибка была кошмаром.
Уайлс снова скрылся от публики и работал лишь с одним из рецензентов своей статьи (и по совместительству бывшим аспирантом) Ричардом Тейлором. Тейлор для этого специально приехал в Принстон. Все лето 1994 года они искали решение проблемы и не нашли. Уайлс уже готов был смириться с поражением, но Тейлор уговорил его продолжить поиски до октября, когда Тейлору нужно было уезжать.
Не надеясь найти решение, Уайлс, по крайней мере, решил понять, почему в его выкладки вкралась ошибка. Утром 19 сентября 1994 года математик сидел в своем кабинете, изучая использованные им методы доказательства, и внезапно его озарило. Он понял, что нужно сделать, чтобы его доказательство снова заработало. Наконец-то он смог отправить статью с доказательством теоремы Ферма, а также совместную с Тейлором статью с необходимыми дополнительными доказательствами в редакцию журнала Annals of Mathematics . Эти работы были опубликованы в 1995 году. Теорема Ферма была доказана,теперь - без всяких сомнений.
Грандиозная шутка
И все же в этой истории осталась одна загадка. Три с половиной века математики бились над теоремой Ферма, а ее доказательство потребовало использования самых современных методов и доказательства другой важной теоремы, сформулированной лишь в XX веке. Всего этого во времена Ферма просто не было. Действительно ли он располагал «поистине удивительным доказательством» своей теоремы? Есть подозрение, что нет, ибо в записках Ферма остались следы поисков решений при n =4 и n =5, что было бы излишне, будь у математика доказательство теоремы в общем виде. Но даже если самонадеянный математик-затворник ошибся, значение созданной им интриги трудно переоценить. Ощущение, что «истина где-то рядом» вдохновляло на поиски решения многих математиков, и кто знает, как сложилась бы судьба теоремы, не будь она столь популярна.
Екатерина Боровикова
ФЕРМА ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА - утверждение Пьера Ферма (французский юрист и по совместительству математик) о том, что диофантово уравнение X n + Y n = Z n , при показателе степени n>2, где n = целое число, не имеет решений в целых положительных числах. Авторский текст: "Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем."
"Ферма и его теорема", Амадео Модильяни, 1920
Пьер придумал эту теорему 29 марта 1636-го года. А ещё через каких-то 29 лет скончался. Но тут-то всё и началось. Ведь состоятельный немецкий любитель математики по фамилии Вольфскель завещал сто тысяч марок тому, кто предъявит полное доказательство теоремы Ферма! Но ажиотаж вокруг теоремы был связан не только с этим, но и с профессиональным математическим азартом. Сам Ферма намекнул математическому сообществу, что знает доказательство - незадолго до смерти, в 1665-ом году он оставил на полях книги Диофанта Александрийского "Арифметика" следующую запись: "Я располагаю весьма поразительным доказательством, но оно слишком велико, чтобы его можно было разместить на полях."
Именно этот намёк (плюс, конечно, денежная премия) заставил математиков безуспешно тратить на поиск доказательства свои лучшие годы (по подсчётам американских учёных, только профессиональными математиками было потрачено на это 543 лет в общей сложности).
В какой-то момент (в 1901-ом) работа над теоремой Ферма приобрела сомнительную славу "работы, сродни поиску вечного двигателя" (появился даже уничижительный термин - "ферматисты"). И вдруг 23 июня 1993 года на математической конференции по теории чисел в Кембридже английский профессор математики из Принстонского университета (Нью-Джерси, США) Эндрю Уайлс объявил, что наконец-то доказал Ферма!
Доказательство, правда, было не только сложным, но и очевидно ошибочным, на что Уайлсу было указано его коллегами. Но профессор Уайлс всю жизнь мечтал доказать теорему, поэтому не удивительно что в мае 1994-го он представил на суд учёного сообщества новый, доработанный вариант доказательства. В нём не было стройности, красоты, и оно по-прежнему было весьма сложным - тот факт, что математики целый год (!) это доказательство анализировали, что бы понять, не является ли оно ошибочным, говорит сам за себя!
Но в итоге доказательство Уайлса было признано верным. А вот Пьеру Ферма его тот самый намёк в "Арифметике" математики не простили, и, фактически, стали считать его лжецом. Собственно, первым, кто рискнул усомниться в моральной чистоплотности Ферма был сам Эндрю Уайлс, который заметил, что "Ферма не мог располагать таким доказательством. Это доказательство ХХ века." Затем и среди других ученых укрепилось мнение, что Ферма "не мог доказать свою теорему другим путём, а доказать её тем путем, по которому пошёл Уайлс, Ферма не мог по объективным причинам."
На самом деле, Ферма конечно же мог доказать её, и чуть позже это доказательство будет аналитиками "Новой Аналитической Энциклопедии" воссоздано. Но - что же это за такие "объективные причины"?
Такая причина на самом деле только одна: в те годы, когда жил Ферма, не могла появиться гипотеза Таниямы, на которой и построил свой доказательство Эндрю Уайлс, ведь модулярные функции, которыми оперирует гипотеза Таниямы были открыты только в конце XIX века.
Как доказал теорему сам Уайлс? Вопрос непраздный - это важно для понимания того, каким образом свою теорему мог доказать сам Ферма. Уайлс построил своё доказательство на доказательстве гипотезы Таниямы, выдвинутой в 1955-ом 28-летним японским математиком Ютакой Таниямой.
Гипотеза звучит так: "каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма". Эллиптические кривые, известные с давних пор, имеют двухмерный вид (располагаются на плоскости), модулярные же функции, имеют четырехмерный вид. Т.е гипотеза Таниямы соединила совершенно разные понятия - простые плоские кривые и невообразимые четырёхмерные формы. Сам факт соединения разномерных фигур в гипотезе показался учёным абсурдным, именно поэтому в 1955-ом ей не придали значения.
Однако осенью 1984 года о "гипотезе Таниямы" вдруг снова вспомнили, и не просто вспомнили, но связали её возможное доказательство с доказательством теоремы Ферма! Это сделал математик из Саарбрюкена Герхард Фрей, который сообщил учёному сообществу, что "если бы кому-нибудь удалось доказать гипотезу Таниямы, то тем самым была бы доказана и Великая теорема Ферма".
Что сделал Фрей? Он преобразовал уравнение Ферма в кубическое, затем обратил внимание на то, что эллиптическая кривая, полученная при помощи преобразованного в кубическое уравнения Ферма не может быть модулярной. Однако гипотеза Таниямы утверждала, что любая эллиптическая кривая может быть модулярной! Соответственно, эллиптическая кривая, построенная из уравнения Ферма не может существовать, значит не может быть целых решений и теоремы Ферма, значит она верна. Ну а в 1993-ем Эндрю Уайлс попросту доказал гипотезу Таниямы, а значит и теорему Ферма.
Однако, теорему Ферма можно доказать значительно проще, на основе той же самой многомерности, которой оперировали и Танияма, и Фрей.
Для начала, обратим внимание на условие, оговорённое самим Пьером Ферма - n>2. Для чего было нужно это условие? Да лишь для того, что при n=2 частным случаем теоремы Ферма становится обычная теорема Пифагора Х 2 +Y 2 =Z 2 , которое имеет бесчисленное множество целых решений - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51,140,149 и так далее. Таким образом, теорема Пифагора является исключением из теоремы Ферма.
Но почему именно в случае с n=2 возникает подобное исключение? Всё становится на свои места, если увидеть взаимосвязь между степенью (n=2) и мерностью самой фигуры. Пифагоров треугольник - двухмерная фигура. Не удивительно, что Z (то есть гипотенуза), может быть выражена через катеты (X и Y), которые могут быть целыми числами. Размер угла (90) дает возможность рассматривать гипотенузу как вектор, а катеты - векторы, расположенные на осях и идущие из начала координат. Соответственно, можно выразить двумерный вектор, не лежащий ни на одной из осей, через векторы, на них лежащие.
Теперь, если перейти к третьему измерению, а значит к n=3, для того чтобы выразить трёхмерный вектор, будет недостаточно информации о двух векторах, а следовательно, выразить Z в уравнении Ферма можно будет как минимум через три слагаемых (три вектора, лежащих, соответственно, на трех осях системы координат).
Если n=4, значит, слагаемых должно быть уже 4, если n=5, то слагаемых должно быть 5 и так далее. В этом случае, целых решений будет хоть отбавляй. Например, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 и так далее (другие примеры для n=3, n=4 и так далее можете подобрать самостоятельно).
Что из всего этого следует? Из этого следует, что теорема Ферма действительно не имеет целых решений при n>2 - но лишь потому, что само по себе уравнение некорректно! С таким же успехом можно было бы пытаться выразить объём параллелепипеда через длины двух его рёбер - разумеется, это невозможно (целых решений никогда не будет найдено), но лишь потому, что для нахождения объёма параллелепипеда нужно знать длины всех трёх его рёбер.
Когда знаменитого математика Давида Гилберта спросили, какая задача сейчас для науки наиболее важна, он ответил "поймать муху на обратной стороне Луны". На резонный вопрос "А кому это надо?" он ответил так: "Это никому не надо. Но подумайте над тем, сколько важных сложнейших задач надо решить, чтобы это осуществить".
Другими словами, Ферма (юрист в первую очередь!) сыграл со всем математическим миром остроумную юридическую шутку, основанную на неверной постановке задачи. Он, фактически, предложил математикам найти ответ, почему муха на другой стороне Луны жить не может, а на полях "Арифметики" хотел написать лишь о том, что на Луне просто нет воздуха, т.е. целых решений его теоремы при n>2 быть не может лишь потому, что каждому значению n должно соответствовать определённое количество членов в левой части его уравнения.
Но была ли это просто шутка? Отнюдь. Гениальность Ферма заключается именно в том, что он фактически первый увидел взаимосвязь между степенью и мерностью математической фигуры - то есть, что абсолютно эквивалентно, количеством членов в левой части уравнения. Смысл его знаменитой теоремы был именно в том, чтобы не просто натолкнуть математический мир на идею этой взаимосвязи, но и инициировать доказательство существования этой взаимосвязи - интуитивно понятной, но математически пока не обоснованной.
Ферма как никто другой понимал, что установление взаимосвязи между, казалось бы, различными объектами чрезвычайно плодотворно не только в математике, но и в любой науке. Такая взаимосвязь указывает на какой-то глубокий принцип, лежащий в основе обоих объектов и позволяющий глубже понять их.
Например, первоначально физики рассматривали электричество и магнетизм как совершенно не связанные между собой явления, а в XIX веке теоретики и экспериментаторы поняли, что электричество и магнетизм тесно связаны между собой. В результате было достигнуто более глубокое понимание и электричества, и магнетизма. Электрические токи порождают магнитные поля, а магниты могут индуцировать электричество в проводниках, находящихся вблизи магнитов. Это привело к изобретению динамомашин и электромоторов. В конце концов было открыто, что свет представляет собой результат согласованных гармонических колебаний магнитного и электрического полей.
Математика времён Ферма состояла из островов знания в море незнания. На одном острове обитали геометры, занимающиеся изучением форм, на другом острове теории вероятностей математики изучали риски и случайность. Язык геометрии сильно отличался от языка теории вероятностей, а алгебраическая терминология была чужда тем, кто говорил только о статистике. К сожалению, математика и наших времён состоит примерно из таких же островов.
Ферма первым понял, что все эти острова взаимосвязаны. И его знаменитая теорема - ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА - отличное тому подтверждение.
Завистники утверждают, что французский математик Пьер Ферма вписал свое имя в историю всего одной фразой. На полях рукописи с формулировкой знаменитой теоремы в 1637 году он сделал пометку: "Я нашел удивительное решение, но здесь маловато места, чтобы его поместить". Тогда и началась удивительная математическая гонка, в которую наряду с выдающимися учеными включилась армия дилетантов.
В чем коварство задачи Ферма? На первый взгляд, она понятна даже школьнику.
В основе - известная каждому теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: х 2 + у 2 = z 2 . Ферма утверждал: уравнение при любых степенях больше двух не имеет решения в целых числах.
Казалось бы, просто. Протяни руку, и вот ответ. Неудивительно, что академии разных стран, научные институты, даже редакции газет были завалены десятками тысяч доказательств. Их число беспрецедентно, уступает разве что проектам "вечных двигателей". Но если эти сумасшедшие идеи серьезная наука давно не рассматривает, то работы "фермистов" честно и заинтересованно изучает. И, увы, находит ошибки. Говорят, что за три с лишним века образовалось целое математическое кладбище решений теоремы.
Не зря говорят: близок локоть, а не укусишь. Проходили года, десятилетия, века, и задача Ферма представлялась все более удивительной и заманчивой. Вроде бы простенькая, она оказалась не по зубам стремительно наращивающему мускулы прогрессу. Человек уже расщепил атом, добрался до гена, ступил на Луну, а Ферма не давался, продолжая манить потомков ложными надеждами.
Однако попытки одолеть научную вершину не прошли даром. Первый шаг сделал великий Эйлер, доказав теорему для четвертой степени, затем для третьей. В конце XIX века немец Эрнст Куммер довел число степеней до ста. Наконец, вооружившись компьютерами, ученые увеличили эту цифру до 100 тысяч. Но Ферма-то говорил о любых степенях. В этом состояла вся загвоздка.
Конечно, мучились ученые над задачей не из-за спортивного интереса. Знаменитый математик Давид Гильберт говорил, что теорема - это пример, как вроде бы малозначительная проблема может оказать на науку огромное влияние. Работая над ней, ученые открыли совершенно новые математические горизонты, например, были заложены фундаменты теории чисел, алгебры, теории функций.
И все же Великая теорема была в 1995 году покорена. Ее решение представил американец из Принстонского университета Эндрю Уайлс, и оно официально признано научным сообществом. Более семи лет жизни отдал он, чтобы найти доказательство. По мнению ученых, эта выдающаяся работа свела воедино труды многих математиков, восстановив утраченные связи между разными ее разделами.
Итак, вершина взята, и наука ответ получила, - сказал корреспонденту "РГ" ученый секретарь Отделения математики Российской академии наук, доктор технических наук Юрий Вишняков. - Теорема доказана, пусть и не простейшим способом, на чем настаивал сам Ферма. А теперь желающие могут печатать свои варианты.
Однако семейство "фермистов" вовсе не собирается признавать доказательство Уайлса. Нет, они не опровергают решение американца, ведь оно очень сложное, а потому понятно лишь узкому кругу специалистов. Но не проходит недели, чтобы в Интернете ни появилось новое откровение очередного энтузиаста, "наконец-то поставившего точку в многолетней эпопее".
Кстати, буквально вчера в редакцию "РГ" позвонил один из старейших в нашей стране "фермистов" Всеволод Ярош: "А вы знаете, что теорему Ферма я доказал еще до Уайлса. Более того, потом нашел у него ошибку, о чем написал выдающемуся нашему математику академику Арнольду с просьбой напечатать об этом в научном журнале. Теперь жду ответа. Переписываюсь по этому поводу и с французской академией наук".
И вот только что, как сообщается в ряде СМИ, с "легким изяществом раскрыл великую тайну математики", еще один энтузиаст - бывший генеральный конструктор ПО "Полет" из Омска, доктор технических наук Александр Ильин. Решение оказалось настолько простым и коротким, что поместилось на маленьком участке газетной площади одного из центральных изданий.
Редакция "РГ" обратилась в ведущий в стране Институт математики им. Стеклова РАН с просьбой оценить это решение. Ученые были категоричны: нельзя комментировать газетную публикацию. Но после долгих уговоров и учитывая повышенный интерес к знаменитой задаче, согласились. По их словам, в опубликованном очередном доказательстве допущено несколько принципиальных ошибок. Кстати, их вполне мог бы заметить даже студент математического факультета.
И все же редакция хотела получить информацию из первых рук. Тем более что вчера в академии авиации и воздухоплавания Ильин должен был представить свое доказательство. Однако оказалось, что о такой академии мало кто знает даже среди специалистов. А когда все-таки с величайшим трудом удалось разыскать телефон ученого секретаря этой организации, то, как выяснилось, он даже не подозревал, что именно у них должно состояться столь историческое событие. Словом, корреспонденту "РГ" стать свидетелем мировой сенсации так и не удалось.