Элементы математической модели измерительного устройства. Модель погрешности в виде случайной элементарной функции Математическая модель результатов измерения погрешности измерения
4.3.1. Линейная модель изменения погрешности
В общем виде модель погрешности Л О95 (0 может быть представлена в виде A ogs (t) = А 0 + F{t), где Д 0 - начальная погрешность СИ; F(t) - случайная для совокупности СИ данного типа функция времени, обусловленная физико-химическими процессами постепенного износа и старения элементов и блоков. Получить точное выражение для функции F(t) исходя из физических моделей процессов старения практически не представляется возможным. Поэтому, основываясь на данных экспериментальных исследований изменения погрешностей во времени, функцию F(t) аппроксимируют той или иной математической зависимостью.
Простейшей моделью изменения погрешности является линейная;
\ И (Г) = Д 0 + vt, (4.1)
где v - скорость изменения погрешности. Как показали проведенные исследования , данная модель удовлетворительно описывает старение СИ в возрасте от одного до пяти лет. Использование ее в других диапазонах времени невозможно ввиду явного противоречия между определенными по этой формуле и экспериментальными значениями частоты отказов.
Метрологические отказы возникают периодически. Механизм их периодичности иллюстрирует рис. 4.2,а, где прямой линией 1 показано изменение 95%-ного квантиля при линейном законе.
1 | ||
1 | ||
.......... А | ||
// | 1-2 | |
В) |
Рис. 4.2. Линейный (а) и экспоненциальный {б, в) законы изменения
погрешности
При метрологическом отказе погрешность Д 0 95 (0 превышает значение Д пр = Д 0 + Д з, где Д з - значение запаса нормируемого предела погрешности, необходимого для обеспечения долговременной работоспособности СИ. При каждом таком отказе производится ремонт прибора, и его погрешность возвращается к исходному значению Д 0 . По прошествии времени Т = А - t ; опять происходит отказ (моменты t v t 2 , t 3 и т.д.), после которого вновь производится ремонт. Следовательно, процесс изменения погрешности СИ описывается ломаной линией 2 на рис. 4.2, а, которая может быть представлена уравнением
д 095 (0 = Д 0 + п Д, (4.2)
где п - число отказов (или ремонтов) СИ. Если число отказов считать целым числом, то это уравнение описывает дискретные точки на прямой 1 (рис. 4.2,а). Если условно принять, что я может принимать и дробные значения, то формула (4.2) будет описывать всю прямую 1 изменения погрешности Д 095 (0 при отсутствии отказов.
Частота метрологических отказов увеличивается с ростом скорости v. Она столь же сильно зависит от запаса нормируемого значения погрешности Д з по отношению к фактическому значению погрешности средства измерений Д 0 на момент изготовления или окончания ремонта прибора. Практические возможности воздействия на скорость изменения v и запас погрешности Д з совершенно различны. Скорость старения определяется существующей технологией производства. Запас погрешности для первого межремонтного интервала определяется решениями, принятыми производителем СИ, а для всех последующих межремонтных интервалов - уровнем культуры ремонтной службы пользователя.
Если метрологическая служба предприятия обеспечивает при ремонте погрешность СИ, равную погрешности Д 0 на момент изготовления, то частота метрологических отказов будет малой. Если же при ремонте лишь обеспечивается выполнение условия Д 0 = (0,9,...,0,95) Д пр, то погрешность может выйти за пределы допустимых значений уже в ближайшие месяцы эксплуатации СИ и большую часть межповерочного интервала оно будет эксплуатироваться с погрешностью, превышающей его класс точности. Поэтому основным практическим средством достижения долговременной метрологической исправности средства измерений является обеспечение достаточно большого запаса Д з, нормируемого по отношению к пределу Д пр.
Постепенное непрерывное расходование этого запаса обеспечивает на некоторый определенный период времени метрологически исправное состояние СИ. Ведущие приборостроительные заводы обеспечивают Д з = (0,4,...,0,5) Л пр, что при средней скорости старения v = 0,05 Л пр в год позволяет получать межремонтный интервал Т = Д/v = 8,...,10 лет и частоту отказов ю = 1/71 - 0,1,..., 0,125 год 1 .
При изменении погрешности СИ в соответствии с формулой (4.1) все межремонтные интервалы Т будут равны между собой, а частота метрологических отказов ю = \/Тбудет постоянной в течение всего срока эксплуатации.
4.3.2. Экспоненциальная модель изменения погрешности
В реальности для одних приборов межремонтные интервалы уменьшаются, для других - увеличиваются. Это может быть объяснено тем, что погрешность СИ с течением времени экспоненциально возрастает или убывает. При ускоряющемся возрастании погрешности (рис. 4.2,6) каждый последующий межремонтный интервал короче предыдущего и частота метрологических отказов а>(0 с течением времени возрастает. При замедленном возрастании погрешности (рис. 4.2,в) каждый последующий межремонтный интервал длиннее предыдущего и частота метрологических отказов со(0 с течением времени убывает вплоть до нуля.
Для рассмотренных случаев изменения погрешности во времени описываются на основе экспоненциальной модели. В ней частота метрологических отказов «
ш(0 = w 0 e"", (4.3)
где (о 0 - частота метрологических отказов на момент изготовления средства измерений (т. е. при t = 0), год "; а - положительное или отрицательное ускорение процесса метрологического старения, год 1 .
Число отказов n(t) определяется через частоту отказов а>(0 и при ее экспоненциальном изменении, согласно формуле (4.3), рассчитывается как
л(г) = /(o(T)rfr = \^e at dx = -1).
Тогда изменение во времени погрешности СИ с учетом формулы (4.2) имеет вид
Д 0 95 (0 = Д 0 + Я(0Д 3 = д 0 + (4.4)
Указанная зависимость показана кривыми 1 на рис. 4.2,6 и 4.2,в.
Раздел I. МЕТРОЛОГИЯ
Практическое использование формулы (4.4) требует знания четырех параметров: начального значения погрешности (Д 0), абсолютного запаса погрешности (Д 3), начальной частоты метрологических отказов (со 0) при t= 0 и ускорения (а) процесса старения. Уравнения для определения названных параметров, получаемые из уравнения (4.4), оказываются трансцендентными, что существенно затрудняет их применение.
С целью упрощения использования уравнения (4.4) необходимо разложить в ряд экспоненциальную функцию и взять три первых члена этого разложения. В результате зависимость погрешности СИ от времени будет представлена в виде
А о,95^ = А 0 + A 3°V + Аз»о^/2 = \ + vt + af/2, (4.5)
где v - начальная скорость возрастания погрешности, %; а А - абсолютное значение ускорения изменения погрешности, %. В частном случае, когда а = 0, (4.5) превращается в линейное уравнение вида (4.1).
Срок службы СИ - это календарное время, прошедшее с момента его изготовления до конца эксплуатации. При положительном ускорении процесса старения (см. рис. 4.2,6) частота отказов с увеличением срока службы возрастает и по истечении времени Г сл его приходится настолько часто ремонтировать, что эксплуатация становится экономически невыгодной, так как дешевле купить новый прибор. Экономическая целесообразность ремонта определяется отношением средней стоимости одного ремонта с р к стоимости с к нового средства измерений, названного в относительной глубиной ремонта с = с р /с к. Срок службы СИ
Глава 4. Метрологическая надежность средств измерений
Решая полученное уравнение совместно с первым выражением из (4.6), можно рассчитать общее число отказов (ремонтов) СИ в течение срока эксплуатации.
Пример 4.1. Для электромеханических измерительных приборов магнитоэлектрической системы класса точности 0,5 глубина ремонта составляет с = 0,3... 0,4; частота метрологических отказов на момент изготовления ш 0 = 0,11 год 1 , ускорение процесса старения а ~ 0,19 год 1 . Определите срок службы таких приборов и общее число отказов.
Срок службы прибора рассчитывается по формуле (4.7):
Т сд = ]/ Дз-ОД 1-0,19 = 12,63 года.
Уравнение для расчета общего числа отказов имеет вид
п ъ = - [ехр(я/ д/а с ■ (0 0)-1],
Подставив в него числовые данные, получим
4 = ^19 1? хр (0 " 19 /^ 0 " 19 "°" 3 " 0,1 1)~*]= 0,579(е 5 " 8 -l)=5,8.
Данные расчета соответствуют экспериментальным данным, согласно которым средний срок службы рассматриваемых приборов составляет 11-12 лет, в течение которых они имеют по 4-6 ремонтов.
При отрицательном ускорении процесса старения СИ межремонтный период увеличивается. После некоторого числа ремонтов n L он становится бесконечным, метрологические отказы не возникают и СИ работает до тех пор, пока морально не устареет. В этом случае (а < 0) число метрологических отказов
% = = lim n(t) = lim^ (e al -1) = ^ . (->■» (->■» a a.
Погрешность СИ стремится к пределу, равному, согласно (4.4),
Д 0 95 (оо) = д 0 - -S- А 3 = ДО + „_ д. (4.8)
Экспоненциальная модель процесса старения позволяет описать изменения пофешности СИ при увеличении его возраста от года и практически до бесконечности. Однако данная модель имеет ряд недостатков. Для СИ с отрицательным ускорением процесса старения она прогнозирует при t-> °° стремление пофешности к предельному
значению (4.8). В то же время для СИ с положительным ускорением модель прогнозирует неограниченное возрастание погрешности с течением времени, что противоречит практике.
Некоторые недостатки экспоненциальной модели старения удается устранить при использовании так называемой логистической модели, а также полиномиальными и диффузионными марковскими моделями или моделями на основе процессов авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего .
В технике используется большое число показателей надежности, которые приведены в стандарте ГОСТ 27.002-89. Основные из них находят применение и в теории метрологической надежности. Знание показателей метрологической надежности позволяет потребителю оптимально использовать СИ, планировать мощности ремонтных участков, размер резервного фонда приборов, обоснованно назначать межповерочные интервалы и проводить мероприятия по техническому обслуживанию и ремонту СИ.
Метрологические отказы при эксплуатации СИ составляют более 60% на третьем году эксплуатации и достигают 96% при работе более четырех лет.
В качестве показателей ремонтопригодности используются вероятность и среднее время восстановления работоспособности СИ. Вероятностью восстановления работоспособного состояния называется вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния СИ не превысит заданное значение. Она представляет собой значение функции распределения времени восстановления при /= где - заданное время восстановления. Средним временем восстановления работоспособного состояния называется математическое ожидание времени восстановления, определяемое до его функции распределения.
В общем виде модель погрешности 0,95(t) может быть представлена в виде 0,95(t) = 0 + F(t), где D0 -- начальная погрешность СИ; F(t) -- случайная для совокупности СИ данного типа функция времени, обусловленная физико-химическими процессами постепенного износа и старения элементов и блоков. Получить точное выражение для функции F(t) исходя из физических моделей процессов старения практически не представляется возможным. Поэтому, основываясь на данных экспериментальных исследований изменения погрешностей во времени, функцию F(t) аппроксимируют той или иной математической зависимостью.
Простейшей моделью изменения погрешности является линейная:
где v скорость изменения погрешности. Как показали проведенные исследования, данная модель удовлетворительно описывает старение СИ в возрасте от одного до пяти лет. Использование ее в других диапазонах времени невозможно ввиду явного противоречия между определенными по этой формуле и экспериментальными значениями частоты отказов.
Метрологические отказы возникают периодически. Механизм их периодичности иллюстрирует рис.1, а, где прямой линией 1 показано изменение 95%-ного квантиля при линейном законе.
Рис. 2.
При метрологическом отказе погрешность D0,95(t) превышает значение Dпр=D0+nD3, где D3 -- значение запаса нормируемого предела погрешности, необходимого для обеспечения долговременной работоспособности СИ. При каждом таком отказе производится ремонт прибора и его погрешность возвращается к исходному значению D0. По прошествии времени Тр= ti - ti-1 опять происходит отказ (моменты tt, t2, t3 и т.д.), после которого вновь производится ремонт. Следовательно, процесс изменения погрешности СИ описывается ломаной линией 2 на рис.1, а, которая может быть представлена уравнением
где n -- число отказов (или ремонтов) СИ. Если число отказов считать целым, то это уравнение описывает дискретные точки на прямой 1 (рис.2, а). Если же условно принять, что п может принимать и дробные значения, то формула (2) будет описывать всю прямую 1 изменения погрешности D0,95(t) при отсутствии отказов.
Частота метрологических отказов увеличивается с ростом скорости v. Она столь же сильно зависит от запаса нормируемого значения погрешности D3 по отношению к фактическому значению погрешности средства измерений D0 на момент изготовления или окончания ремонта прибора. Практические возможности воздействия на скорость изменения v и запас погрешности D3 совершенно различны. Скорость старения определяется существующей технологией производства. Запас погрешности для первого межремонтного интервала определяется решениями, принятыми производителем СИ, а для всех последующих межремонтных интервалов -- уровнем культуры ремонтной службы пользователя.
Если метрологическая служба предприятия обеспечивает при ремонте погрешность СИ, равную погрешности D0 на момент изготовления, то частота метрологических отказов будет малой. Если же при ремонте лишь обеспечивается выполнение условия D0 (0,9... 0,95) Dпр, то погрешность может выйти за пределы допустимых значений уже в ближайшие месяцы эксплуатации СИ и большую часть межповерочного интервала оно будет эксплуатироваться с погрешностью, превышающей его класс точности. Поэтому основным практическим средством достижения долговременной метрологической исправности средства измерений является обеспечение достаточно большого запаса D3, нормируемого по отношению к пределу Dпр.
Постепенное непрерывное расходование этого запаса обеспечивает на некоторый определенный период времени метрологически исправное состояние СИ. Ведущие приборостроительные заводы обеспечивают D3 = (0,4...0,5) Dпр, что при средней скорости старения v = = 0,05АП /год позволяет получать межремонтный интервал Тр= D3 = 1/Т/v = 8... 10 лет и частоту отказов р= 0,1... 0,125 год-1.
При изменении погрешности СИ в соответствии с формулой (1) все межремонтные интервалы Тр = 1/Т будут равны между собой, а частота метрологических отказов р будет постоянной в течение всего срока эксплуатации. Однако проведенные экспериментальные исследования показали, что на практике это не выполняется.
В общем виде модель погрешности A 095 (i) может быть представлена в виде До9 5 (?) = До + F(t), где До - начальная погрешность СИ; F(t) - случайная для совокупности СИ данного типа функция времени, обусловленная физико-химическими процессами постепенного износа и старения элементов и блоков. Получить точное выражение для функции F(t) исходя из физических моделей процессов старения практически не представляется возможным. Поэтому, основываясь на данных экспериментальных исследований изменения погрешностей во времени, функцию F(t) аппроксимируют той или иной математической зависимостью.
Простейшей моделью изменения погрешности является линейная:
где v - скорость изменения погрешности. Как показали проведенные исследования , данная модель удовлетворительно описывает старение СИ в возрасте от одного до пяти лег. Использование ее в других диапазонах времени невозможно ввиду явного противоречия между определенными по этой формуле и экспериментальными значениями частоты отказов.
Метрологические отказы возникают периодически. Механизм их периодичности иллюстрирует рис. 4.2, а , где прямой линией 1 показано изменение 95%-ного квантиля при линейном законе.
При метрологическом отказе погрешность Д 095 (?) превышает значение Д пр = До + Д 3 , где Д, - значение запаса нормируемого предела погрешности, необходимого для обеспечения долговременной работоспособности СИ. При каждом таком отказе производится ремонт прибора, и его погрешность возвращается к исходному значению Д^ По прошествии времени Т? = t { - - t j _ l опять происходит отказ (моменты t u t 2 , t 3 и т.д.), после которого вновь производится ремонт. Следовательно, процесс изменения погрешности СИ описывается ломаной линией 2 на рис. 4.2, а, которая может быть представлена уравнением
где п - число отказов (или ремонтов) СИ. Если число отказов считать целым, то это уравнение описывает дискретные точки на прямой 1
(см. рис. 4.2, а). Если же условно принять, что п может принимать и дробные значения, то формула (4.2) будет описывать всю прямую 1 изменения погрешности Л 095 (() при отсутствии отказов.
Частота метрологических отказов увеличивается с ростом скорости V. Она столь же сильно зависит от запаса нормируемого значения погрешности Д 3 по отношению к фактическому значению погрешности средства измерений Д 0 на момент изготовления или окончания ремонта прибора. Практические возможности воздействия на скорость изменения V и запас погрешности Д, совершенно различны. Скорость старения определяется существующей технологией производства. Запас погрешности для первого межремонтного интервала определяется решениями, принятыми производителем СИ, а для всех последующих межремонтных интервалов - уровнем культуры ремонтной службы пользователя.
Если метрологическая служба предприятия обеспечивает при ремонте погрешность СИ, равную погрешности Д 0 на момент изготовления, то частота метрологических отказов будет малой. Если же при ремонте лишь обеспечивается выполнение условия До * (0,9-0,95) Д пр, то погрешность может выйти за пределы допустимых значений уже в ближайшие месяцы эксплуатации СИ и большую часть межповерочного интервала оно будет эксплуатироваться с погрешностью, превышающей его класс точности. Поэтому основным практическим средством достижения долговременной метрологической исправности средства измерений является обеспечение достаточно большого запаса Д 3 , нормируемого по отношению к пределу Д пр.
Постепенное непрерывное расходование этого запаса обеспечивает на некоторый определенный период времени метрологически исправное состояние СИ. Ведущие приборостроительные заводы обеспечивают Д 3 = (0,4-0,5) Д пр, что при средней скорости старения V = 0,05 Д пр /год позволяет получать межремонтный интервал Г р = А 3 /и = 8-10 лет и частоту отказов со = 1/Гр = 0,1-0,125 год -1 .
При изменении погрешности СИ в соответствии с формулой (4.1) все межремонтные интерваты Т будут равны между собой, а частота метрологических отказов со = 1 /Т будет постоянной в течение всего срока эксплуатации.
В общем случае результаты измерений и их погрешности должны рассматриваться как функции, изменяющиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, случайные процессы. Поэтому математическое описание результатов и погрешностей измерений (т.е. их математические модели) должно строиться на основе теории случайных процессов. Изложим основные моменты теории случайных функций.
Случайным процессом X(t) называется процесс (функция), значение которого при любом фиксированном значении t = tQ является случайной величиной X(t ). Конкретный вид процесса (функции), полученный в результате опыта, называется реализацией .
Рис. 4. Вид случайных функций
Каждая реализация является неслучайной функцией времени. Семейство реализаций при каком-либо фиксированном значении времени t (рис. 4) представляет собой случайную величину, называемую сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t . Следовательно, случайная функция совмещает в себе характерные признаки случайной величины и детерминированной функции. При фиксированном значении аргумента она превращается в случайную величину, а в результате каждого отдельного опыта становится детерминированной функцией.
Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения:
где p(x, t) - одномерная плотность распределения случайной величины х в соответствующем сечении случайного процесса X(t).
Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения, т.е. дисперсия характеризует разброс реализаций относительно m (t).
Корреляционная функция - неслучайная функция R(t, t") двух аргументов t и t", которая при каждой паре значений аргументов равна ковариации соответствующих сечений случайного процесса:
Корреляционная функция, называемая иногда автокорреляционной, описывает статистическую связь между мгновенными значениями случайной функции, разделенными заданным значением времени т = t"-t. При равенстве аргументов корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса. Она всегда неотрицательна.
Случайные процессы, протекающие во времени однородно, частные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции, называются стационарными . Количественно свойства стационарных процессов характеризуются следующими условиями:
Математическое ожидание постоянно;
Дисперсия по сечениям является постоянной величиной;
Корреляционная функция зависит не от значения аргументов, а только от промежутка.
Важной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность S(w), которая описывает частотный состав случайного процесса при w>О и выражает среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на единицу полосы частот:
Спектральная плотность стационарного случайного процесса является неотрицательной функцией частоты. Корреляционная функция может быть выражена через спектральную плотность
При построении математической модели погрешности измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах.
Каждая из них может быть обусловлена действием нескольких различных источников погрешностей и в свою очередь состоять также из некоторого числа составляющих.
Для описания погрешностей используются теория вероятностей и математическая статистика, однако прежде необходимо сделать ряд существенных оговорок:
Применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;
Большинство используемых в метрологии формул теории вероятностей правомерны только для непрерывных распределений, в то время как распределения погрешностей вследствие неизбежного квантования отсчетов, строго говоря, всегда дискретны, т.е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.
Таким образом, условия непрерывности и независимости для результатов измерений и их погрешностей соблюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином "непрерывная случайная величина" понимается существенно более узкое, ограниченное рядом условий понятие, чем "случайная погрешность" в метрологии.
В метрологии принято различать три группы характеристик и параметров погрешностей. Первая группа-задаваемые в качестве требуемых или допускаемых нормы характеристик погрешности измерений (нормы погрешностей). Вторая группа характеристик- погрешности, приписываемые совокупности выполняемых по определенной методике измерений. Характеристики этих двух групп применяются в основном при массовых технических измерениях и представляют собой вероятностные характеристики погрешности измерений. Третья группа характеристик-статистические оценки погрешностей измерений отражают близость отдельного, экспериментально полученного результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Они используются в случае измерений, проводимых при научных исследованиях и метрологических работах.
Совокупность формул, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов, полученных в рамках выбранных физических моделей на основе законов физики, будем называть математической моделью объекта или процесса . Процесс создания математической модели можно разделить на ряд этапов:
1) составление формул и уравнений, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов в рамках построенной физической модели. Этап включает запись в математических терминах сформулированных свойств объектов, процессов и связей между ними;
2) исследование математических задач, к которым приходят на первом этапе. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т.е. получение численных данных и теоретических следствий. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат и вычислительная техника (компьютер).
3) выяснение того, согласуются ли результаты анализа и вычислений или следствия из них с результатами наблюдений в пределах точности последних, т.е. удовлетворяет ли принятая физическая и (или) математическая модель практике-основному критерию истинности наших представлений об окружающем мире.
Отклонение результатов расчетов от результатов наблюдений свидетельствует либо о неправильности применяемых математических методов анализа и расчета, либо о неверности принятой физической модели. Выяснение источников ошибок требует большого искусства и высокой квалификации исследователя.
Часто при построении математической модели некоторые ее характеристики или связи между параметрами остаются неопределенными вследствие ограниченности наших знаний о физических свойствах объекта. Например, оказывается, что число уравнений, описывающих физические свойства объекта или процесса и связи между объектами, меньше числа физических параметров, характеризующих объект. В этих случаях приходится вводить дополнительные соотношения, характеризующие объект исследования и его свойства, иногда даже пытаться угадать эти свойства, для того, чтобы задача могла быть решена и результаты соответствовали результатам опыта в пределах заданной погрешности.
Производственные погрешности можно рассматривать как случайные величины, описываемые вероятностными (теоретическими) и статистическими (экспериментальными) методами. Исчерпывающей характеристикой погрешности как случайной величины является закон распределения с конкретными значениями соответствующих параметров. Описанию распределений производственных погрешностей наиболее соответствует закон Гаусса с плотностью вероятности, рассчитываемой по формуле:
где т и σ – математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.
Распределение Гаусса неоднократно подтверждалось экспериментальными данными в диапазоне значений, соответствующих размаху ±3σ. В соответствии с этим распределением, погрешность совмещения в конкретной точке εх в направлении Х воспринимается как случайная величина, распределенная по нормальному закону, со следующими характеристиками:
(3.16)
где rx – коэффициент корреляции между величинами смещений соседних единичных участков в направлении X ; С2 x – число сочетаний из Х по 2, рассчитываемое из выражения
Из соотношений (3.15) и (3.16) выводится аналитическая запись плотности вероятности распределения величин:
Графики зависимости погрешностей совмещения от координат точек по одной оси, вытекающие из соотношения (3.18), показаны на рис. 3.59.
Рис. 3.59. Диаграмма погрешностей совмещения слоев в направлении Х
При наличии статистических данных могут быть найдены числовые характеристики распределения (3.18) для участка длиной L с шагом сетки h . Они находятся из соотношений:
(3.19)
где ML , σ L – соответственно математическое ожидание и дисперсия деформации участка длиной L ; – число сочетаний из L / h по 2.
- Церковь троицы живоначальной на пятницком кладбище Храм троицы живоначальной на пятницком кладбище
- Церковь троицы живоначальной на пятницком кладбище Храм живоначальной троицы на пятницком кладбище расписание
- Никола белый. Серпухов. Собор Николая Чудотворца ("Николы Белого"). Мозаичные образы на стенах
- Ага́фия Панормская (Палермская), Сицилийская, дева Святая агафия