Inaasahang halaga. Mathematical expectation ng tuluy-tuloy na random variable Ano ang mathematical expectation
Ang pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga nito at ang kanilang mga probabilidad.
Hayaan ang isang random na variable na kumuha lamang ng mga halaga ng probabilidad na ayon sa pagkakabanggit ay pantay. Pagkatapos ay ang matematikal na inaasahan ng isang random na variable ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay
Kung ang isang discrete random variable ay tumatagal ng isang mabibilang na hanay ng mga posibleng halaga, kung gayon
Bukod dito, umiiral ang inaasahan sa matematika kung ang mga serye sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ganap na nagtatagpo.
Magkomento. Mula sa depinisyon ay sumusunod na ang mathematical na inaasahan ng isang discrete random variable ay isang non-random (constant) na dami.
Kahulugan ng pag-asa sa matematika sa pangkalahatang kaso
Alamin natin ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable na ang distribusyon ay hindi kinakailangang discrete. Magsimula tayo sa kaso ng mga di-negatibong random na variable. Ang ideya ay ang pagtatantya ng mga random na variable gamit ang mga discrete na kung saan ang mathematical expectation ay natukoy na, at itakda ang mathematical expectation na katumbas ng limitasyon ng mathematical expectations ng discrete random variables na tinatayang ito. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isang napaka-kapaki-pakinabang na pangkalahatang ideya, na kung saan ay ang ilang mga katangian ay unang tinutukoy para sa mga simpleng bagay, at pagkatapos ay para sa mas kumplikadong mga bagay ito ay tinutukoy sa pamamagitan ng pagtatantya sa kanila ng mga mas simple.
Lemma 1. Hayaang magkaroon ng arbitrary non-negative random variable. Pagkatapos ay mayroong isang pagkakasunud-sunod ng mga discrete random variable tulad na
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/221505/image002.png)
Patunay. Hatiin natin ang semi-axis sa pantay na haba na mga segment at tukuyin
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/221505/image003.png)
Pagkatapos ang mga katangian 1 at 2 ay madaling sundin mula sa kahulugan ng isang random na variable, at
Lemma 2. Hayaan ay isang non-negative na random variable at at dalawang sequence ng discrete random variable na nagtataglay ng mga katangian 1-3 mula sa Lemma 1. Pagkatapos
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/221505/image006.png)
Patunay. Tandaan na para sa mga di-negatibong random na variable ay pinapayagan namin
Sa bisa ng Property 3, madaling makita na mayroong pagkakasunod-sunod ng mga positibong numero na
Sinusundan nito iyon
Gamit ang mga katangian ng mga inaasahan sa matematika para sa mga discrete random variable, nakuha namin
Ang pagpasa sa limitasyon sa makuha namin ang pahayag ng Lemma 2.
Kahulugan 1. Hayaang maging isang non-negative na random variable, - isang sequence ng discrete random variable na may mga katangian 1-3 mula sa Lemma 1. Ang mathematical na inaasahan ng isang random variable ay ang numero
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/221505/image008.png)
Ginagarantiya ng Lemma 2 na hindi ito nakasalalay sa pagpili ng tinatayang pagkakasunud-sunod.
Hayaan ngayon na maging isang arbitrary random variable. Tukuyin natin
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/221505/image009.png)
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/221505/image010.png)
Mula sa kahulugan at ito ay madaling sundin iyon
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/221505/image011.png)
Depinisyon 2. Ang mathematical na inaasahan ng isang arbitrary random variable ay ang numero
![](https://i0.wp.com/studbooks.net/imag_/43/221505/image012.png)
Kung ang hindi bababa sa isa sa mga numero sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay may hangganan.
Mga katangian ng inaasahan sa matematika
Property 1. Ang mathematical expectation ng isang constant value ay katumbas ng constant mismo:
Patunay. Isasaalang-alang namin ang isang pare-pareho bilang isang discrete random variable na may isang posibleng halaga at kinuha ito nang may posibilidad, samakatuwid,
Puna 1. Tukuyin natin ang produkto ng isang pare-parehong variable sa pamamagitan ng isang discrete random variable bilang isang discrete random na ang mga posibleng halaga ay katumbas ng mga produkto ng constant sa pamamagitan ng posibleng mga halaga; ang mga probabilidad ng mga posibleng value ay katumbas ng probabilities ng katumbas na posibleng value.
Ari-arian 2. Ang pare-parehong salik ay maaaring alisin sa tanda ng pag-asa sa matematika:
Patunay. Hayaang ibigay ang random variable ng probability distribution law:
Isinasaalang-alang ang Puna 1, isinusulat namin ang batas ng pamamahagi ng random variable
Puna 2. Bago lumipat sa susunod na pag-aari, itinuturo namin na ang dalawang random na variable ay tinatawag na independiyente kung ang batas ng pamamahagi ng isa sa mga ito ay hindi nakasalalay sa kung anong posibleng mga halaga ang kinuha ng ibang variable. Kung hindi, ang mga random na variable ay nakasalalay. Ang ilang mga random na variable ay tinatawag na mutually independent kung ang mga batas ng pamamahagi ng anumang bilang ng mga ito ay hindi nakasalalay sa kung anong posibleng mga halaga ang kinuha ng natitirang mga variable.
Puna 3. Tukuyin natin ang produkto ng mga independiyenteng random na variable at bilang isang random na variable na ang mga posibleng halaga ay katumbas ng mga produkto ng bawat posibleng halaga sa bawat posibleng halaga, ang mga probabilidad ng posibleng mga halaga ng produkto ay katumbas ng ang mga produkto ng mga probabilidad ng mga posibleng halaga ng mga kadahilanan. Halimbawa, kung ang posibilidad ng isang posibleng halaga ay, ang posibilidad ng isang posibleng halaga ay kung gayon ang posibilidad ng isang posibleng halaga ay
Property 3. Ang mathematical expectation ng produkto ng dalawang independent random variables ay katumbas ng produkto ng kanilang mathematical expectations:
Patunay. Hayaang tukuyin ang mga independiyenteng random na variable ng kanilang sariling mga batas sa pamamahagi ng posibilidad:
![](https://i2.wp.com/studbooks.net/imag_/43/221505/image013.png)
![](https://i1.wp.com/studbooks.net/imag_/43/221505/image014.png)
I-compile natin ang lahat ng value na maaaring kunin ng random variable. Para magawa ito, i-multiply natin ang lahat ng posibleng value sa bawat posibleng value; Bilang resulta, nakuha namin at, isinasaalang-alang ang Remark 3, isinulat namin ang batas sa pamamahagi, na ipinapalagay para sa pagiging simple na ang lahat ng posibleng mga halaga ng produkto ay iba (kung hindi ito ang kaso, kung gayon ang patunay ay isinasagawa sa isang katulad na paraan):
Ang pag-asa sa matematika ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga at ang kanilang mga probabilidad:
Bunga. Ang mathematical expectation ng produkto ng ilang mutually independent random variables ay katumbas ng produkto ng kanilang mathematical expectations.
Property 4. Ang mathematical expectation ng kabuuan ng dalawang random variable ay katumbas ng sum ng mathematical expectations ng mga termino:
Patunay. Hayaan ang mga random na variable at matukoy ng mga sumusunod na batas sa pamamahagi:
Isama natin ang lahat ng posibleng halaga ng isang dami. Upang gawin ito, idinaragdag natin ang bawat posibleng halaga sa bawat posibleng halaga; makuha natin. Ipagpalagay natin para sa pagiging simple na ang mga posibleng halagang ito ay magkaiba (kung hindi ito ang kaso, ang patunay ay isinasagawa sa katulad na paraan), at tinutukoy natin ang kanilang mga probabilidad, ayon sa pagkakabanggit, sa pamamagitan ng at
Ang pag-asa sa matematika ng isang halaga ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga posibleng halaga at ang kanilang mga probabilidad:
Patunayan natin na ang isang Kaganapan na kukuha ng halaga (ang posibilidad ng kaganapang ito ay katumbas) ay nangangailangan ng isang kaganapan na kukuha sa halaga o (ang posibilidad ng kaganapang ito sa pamamagitan ng karagdagan theorem ay pantay), at kabaliktaran. Kaya't sumusunod na ang pagkakapantay-pantay ay napatunayang magkatulad
Ang pagpapalit sa kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito sa kaugnayan (*), nakukuha natin
o sa wakas
Pagkakaiba at karaniwang paglihis
Sa pagsasagawa, madalas na kinakailangan upang tantyahin ang pagpapakalat ng mga posibleng halaga ng isang random na variable sa paligid ng average na halaga nito. Halimbawa, sa artilerya mahalagang malaman kung gaano kalapit ang mga shell na mahuhulog malapit sa target na tatamaan.
Sa unang tingin, maaaring mukhang ang pinakamadaling paraan upang matantya ang pagpapakalat ay ang kalkulahin ang lahat ng posibleng paglihis ng isang random na variable at pagkatapos ay hanapin ang kanilang average na halaga. Gayunpaman, ang landas na ito ay hindi magbibigay ng anuman, dahil ang average na halaga ng paglihis, i.e. para sa anumang random na variable ay katumbas ng zero. Ang pag-aari na ito ay ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang ilang posibleng mga paglihis ay positibo, habang ang iba ay negatibo; bilang resulta ng kanilang magkaparehong pagkansela, ang average na halaga ng paglihis ay zero. Ang mga pagsasaalang-alang na ito ay nagpapahiwatig ng pagpapayo ng pagpapalit ng mga posibleng paglihis sa kanilang mga ganap na halaga o kanilang mga parisukat. Ito ang ginagawa nila sa pagsasanay. Totoo, sa kaso kung ang posibleng mga paglihis ay pinalitan ng ganap na mga halaga, ang isa ay kailangang gumana nang may ganap na mga halaga, na kung minsan ay humahantong sa mga malubhang kahirapan. Samakatuwid, kadalasan ay iba ang landas nila, i.e. kalkulahin ang average na halaga ng squared deviation, na tinatawag na dispersion.
Sa naunang isa, ipinakita namin ang isang bilang ng mga formula na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang mga numerical na katangian ng mga function kapag ang mga batas ng pamamahagi ng mga argumento ay kilala. Gayunpaman, sa maraming mga kaso, upang mahanap ang mga numerical na katangian ng mga function, ito ay hindi kinakailangan kahit na malaman ang mga batas ng pamamahagi ng mga argumento, ngunit ito ay sapat na upang malaman lamang ang ilan sa kanilang mga numerical na katangian; sa parehong oras, karaniwan naming ginagawa nang walang anumang mga batas ng pamamahagi. Ang pagtukoy sa mga numerical na katangian ng mga function mula sa mga ibinigay na numerical na katangian ng mga argumento ay malawakang ginagamit sa probability theory at maaaring makabuluhang pasimplehin ang solusyon ng isang bilang ng mga problema. Karamihan sa mga pinasimpleng pamamaraan na ito ay nauugnay sa mga linear na function; gayunpaman, pinapayagan din ng ilang elementarya na nonlinear na function ang isang katulad na diskarte.
Sa kasalukuyan ay magpapakita kami ng isang bilang ng mga theorems sa mga numerical na katangian ng mga function, na magkakasamang kumakatawan sa isang napaka-simpleng apparatus para sa pagkalkula ng mga katangiang ito, na naaangkop sa isang malawak na hanay ng mga kondisyon.
1. Mathematical na inaasahan ng isang hindi random na halaga
Ang formulated property ay medyo halata; mapapatunayan ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa isang di-random na variable bilang isang espesyal na uri ng random, na may isang posibleng halaga na may posibilidad na isa; pagkatapos ay ayon sa pangkalahatang pormula para sa inaasahan sa matematika:
.
2. Pagkakaiba-iba ng isang hindi random na dami
Kung ito ay isang hindi random na halaga, kung gayon
3. Pagpapalit ng hindi random na halaga para sa tanda ng pag-asa sa matematika
, (10.2.1)
ibig sabihin, maaaring kunin ang isang hindi random na halaga bilang tanda ng inaasahan sa matematika.
Patunay.
a) Para sa hindi tuluy-tuloy na dami
b) Para sa tuluy-tuloy na dami
.
4. Pagpapalit ng di-random na halaga para sa tanda ng dispersion at standard deviation
Kung ay isang hindi random na dami, at random, kung gayon
, (10.2.2)
ibig sabihin, ang isang di-random na halaga ay maaaring alisin sa tanda ng pagpapakalat sa pamamagitan ng pag-square nito.
Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagkakaiba-iba
Bunga
,
ibig sabihin, ang isang hindi random na halaga ay maaaring alisin sa tanda ng karaniwang paglihis sa pamamagitan ng ganap na halaga nito. Nakukuha namin ang patunay sa pamamagitan ng pagkuha ng square root mula sa formula (10.2.2) at isinasaalang-alang na ang r.s.o. - isang makabuluhang positibong halaga.
5. Mathematical na inaasahan ng kabuuan ng mga random na variable
Patunayan natin na para sa alinmang dalawang random na variable at
ibig sabihin, ang mathematical expectation ng kabuuan ng dalawang random variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mathematical expectations.
Ang ari-arian na ito ay kilala bilang theorem of addition of mathematical expectations.
Patunay.
a) Hayaang maging isang sistema ng mga discontinuous random variable. Ilapat natin ang pangkalahatang formula (10.1.6) sa kabuuan ng mga random na variable para sa mathematical na inaasahan ng isang function ng dalawang argumento:
.
Ang Ho ay kumakatawan sa hindi hihigit sa kabuuang posibilidad na ang dami ay kukuha ng halaga :
;
kaya naman,
.
Papatunayan din natin yan
,
at ang teorama ay napatunayan.
b) Hayaan ang isang sistema ng tuluy-tuloy na random variable. Ayon sa formula (10.1.7)
. (10.2.4)
Ibahin natin ang una sa mga integral (10.2.4):
;
katulad
,
at ang teorama ay napatunayan.
Dapat itong espesyal na tandaan na ang teorama para sa pagdaragdag ng mga inaasahan sa matematika ay wasto para sa anumang mga random na variable - parehong umaasa at independiyente.
Ang theorem para sa pagdaragdag ng mga inaasahan sa matematika ay pangkalahatan sa isang arbitrary na bilang ng mga termino:
, (10.2.5)
ibig sabihin, ang mathematical expectation ng sum ng ilang random variables ay katumbas ng sum ng kanilang mathematical expectations.
Upang patunayan ito, sapat na gamitin ang paraan ng kumpletong induction.
6. Mathematical expectation ng isang linear function
Isaalang-alang ang isang linear na function ng ilang random na argumento:
kung saan ang mga non-random coefficients. Patunayan natin yan
, (10.2.6)
i.e. ang mathematical expectation ng isang linear function ay katumbas ng parehong linear function ng mathematical expectations ng mga argumento.
Patunay. Gamit ang addition theorem ng m.o. at ang panuntunan ng paglalagay ng hindi random na dami sa labas ng sign ng m.o., nakukuha namin ang:
.
7. Dispepitong kabuuan ng mga random na variable
Ang pagkakaiba-iba ng kabuuan ng dalawang random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba-iba kasama ang dalawang beses sa sandali ng ugnayan:
Patunay. Tukuyin natin
Ayon sa theorem ng pagdaragdag ng mga inaasahan sa matematika
Lumipat tayo mula sa mga random na variable patungo sa katumbas na mga variable na nakasentro. Ang pagbabawas ng pagkakapantay-pantay (10.2.9) na termino ayon sa termino mula sa pagkakapantay-pantay (10.2.8), mayroon tayong:
Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagkakaiba-iba
Q.E.D.
Ang formula (10.2.7) para sa pagkakaiba ng kabuuan ay maaaring gawing pangkalahatan sa anumang bilang ng mga termino:
,
(10.2.10)
kung saan ang sandali ng ugnayan ng mga dami, ang tanda sa ilalim ng kabuuan ay nangangahulugan na ang pagsusuma ay umaabot sa lahat ng posibleng magkapares na kumbinasyon ng mga random na variable .
Ang patunay ay katulad ng nauna at sumusunod mula sa formula para sa parisukat ng isang polynomial.
Ang formula (10.2.10) ay maaaring isulat sa ibang anyo:
, (10.2.11)
kung saan ang double sum ay umaabot sa lahat ng elemento ng correlation matrix ng sistema ng mga dami , na naglalaman ng parehong mga sandali ng ugnayan at pagkakaiba.
Kung lahat ng random variable , kasama sa system, ay walang kaugnayan (i.e., kapag ), ang formula (10.2.10) ay nasa form:
, (10.2.12)
ibig sabihin, ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga walang ugnayang random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba ng mga termino.
Ang posisyong ito ay kilala bilang theorem of addition of variances.
8. Pagkakaiba-iba ng isang linear function
Isaalang-alang natin ang isang linear function ng ilang random variable.
kung saan ang mga hindi random na dami.
Patunayan natin na ang dispersion ng linear function na ito ay ipinahayag ng formula
, (10.2.13)
saan ang sandali ng ugnayan ng mga dami , .
Patunay. Ipakilala natin ang notasyon:
. (10.2.14)
Ang paglalapat ng formula (10.2.10) para sa dispersion ng kabuuan sa kanang bahagi ng expression (10.2.14) at isinasaalang-alang na , nakukuha natin ang:
nasaan ang sandali ng ugnayan ng mga dami:
.
Kalkulahin natin ang sandaling ito. Meron kami:
;
katulad
Ang pagpapalit ng expression na ito sa (10.2.15), dumating tayo sa formula (10.2.13).
Sa espesyal na kaso kapag ang lahat ng dami ay walang kaugnayan, ang formula (10.2.13) ay nasa anyo:
, (10.2.16)
ibig sabihin, ang pagkakaiba ng isang linear na function ng mga uncorrelated na random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga parisukat ng mga coefficient at ang mga pagkakaiba ng mga katumbas na argumento.
9. Mathematical expectation ng isang produkto ng random variables
Ang pag-asa sa matematika ng produkto ng dalawang random na variable ay katumbas ng produkto ng kanilang mga inaasahan sa matematika kasama ang sandali ng ugnayan:
Patunay. Magpapatuloy tayo mula sa kahulugan ng sandali ng ugnayan:
Ibahin natin ang ekspresyong ito gamit ang mga katangian ng pag-asa sa matematika:
na malinaw na katumbas ng formula (10.2.17).
Kung ang mga random na variable ay walang kaugnayan, ang formula (10.2.17) ay kukuha ng form:
ibig sabihin, ang mathematical expectation ng produkto ng dalawang uncorrelated random variables ay katumbas ng produkto ng kanilang mathematical expectations.
Ang posisyong ito ay kilala bilang theorem of multiplication of mathematical expectations.
Ang formula (10.2.17) ay walang iba kundi isang pagpapahayag ng pangalawang pinaghalong sentral na sandali ng system sa pamamagitan ng pangalawang pinaghalong inisyal na sandali at mga inaasahan sa matematika:
. (10.2.19)
Ang expression na ito ay kadalasang ginagamit sa pagsasanay kapag kinakalkula ang sandali ng ugnayan sa parehong paraan na para sa isang random na variable ang pagkakaiba ay madalas na kinakalkula sa pamamagitan ng pangalawang paunang sandali at ang mathematical na inaasahan.
Ang theorem ng multiplikasyon ng mga inaasahan sa matematika ay pangkalahatan sa isang di-makatwirang bilang ng mga kadahilanan, sa kasong ito, para sa aplikasyon nito, hindi sapat na ang mga dami ay hindi magkakaugnay, ngunit kinakailangan na ang ilang mas mataas na halo-halong sandali, ang bilang nito ay nakasalalay sa bilang ng mga termino sa produkto, mawala. Ang mga kundisyong ito ay tiyak na nasiyahan kung ang mga random na variable na kasama sa produkto ay independyente. Sa kasong ito
, (10.2.20)
ibig sabihin, ang mathematical expectation ng produkto ng independent random variables ay katumbas ng product ng kanilang mathematical expectations.
Ang panukalang ito ay madaling mapatunayan sa pamamagitan ng kumpletong induction.
10. Pagkakaiba-iba ng produkto ng mga independiyenteng random na variable
Patunayan natin iyon para sa mga independiyenteng dami
Patunay. Tukuyin natin ang . Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagkakaiba-iba
Dahil ang mga dami ay independyente, at
Kapag independyente, ang mga dami ay independiyente rin; kaya naman,
,
Ngunit wala nang higit pa kaysa sa pangalawang paunang sandali ng magnitude, at, samakatuwid, ay ipinahayag sa pamamagitan ng pagpapakalat:
;
katulad
.
Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa formula (10.2.22) at nagdadala ng mga katulad na termino, dumating tayo sa formula (10.2.21).
Sa kaso kapag ang mga nakasentro na random na variable (mga variable na may mathematical na mga inaasahan na katumbas ng zero) ay pinarami, ang formula (10.2.21) ay nasa anyo:
, (10.2.23)
ibig sabihin, ang pagkakaiba ng produkto ng mga independent centered random variable ay katumbas ng produkto ng kanilang mga pagkakaiba.
11. Mas mataas na mga sandali ng kabuuan ng mga random na variable
Sa ilang mga kaso, kinakailangan upang kalkulahin ang pinakamataas na sandali ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable. Patunayan natin ang ilang relasyon na may kaugnayan dito.
1) Kung ang mga dami ay independyente, kung gayon
Patunay.
kung saan, ayon sa teorama ng pagpaparami ng mga inaasahan sa matematika
Ngunit ang unang sentral na sandali para sa anumang dami ay zero; ang dalawang gitnang termino ay nawawala, at ang formula (10.2.24) ay napatunayan.
Ang kaugnayan (10.2.24) ay madaling gawing pangkalahatan sa pamamagitan ng induction sa isang arbitrary na bilang ng mga independiyenteng termino:
. (10.2.25)
2) Ang ikaapat na sentral na sandali ng kabuuan ng dalawang independiyenteng random na mga variable ay ipinahayag ng formula
nasaan ang mga pagkakaiba-iba ng mga dami at .
Ang patunay ay ganap na katulad ng nauna.
Gamit ang paraan ng kumpletong induction, madaling patunayan ang generalization ng formula (10.2.26) sa isang arbitrary na bilang ng mga independiyenteng termino.
Tulad ng alam na, ang batas sa pamamahagi ay ganap na nagpapakilala sa isang random na variable. Gayunpaman, kadalasan ang batas sa pamamahagi ay hindi alam at kailangang limitahan ang sarili sa mas kaunting impormasyon. Minsan mas kumikita pa ang paggamit ng mga numero na naglalarawan ng random variable sa kabuuan; tinatawag ang mga ganyang numero numerical na katangian ng isang random variable.
Ang isa sa mga mahalagang katangian ng numero ay ang inaasahan sa matematika.
Ang inaasahan sa matematika ay humigit-kumulang katumbas ng average na halaga ng random variable.
Pag-asa sa matematika ng isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga nito at ang kanilang mga probabilidad.
Kung ang isang random na variable ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang may hangganang serye ng pamamahagi:
X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
R | p 1 | p 2 | p 3 | … | r p |
tapos yung mathematical expectation M(X) tinutukoy ng formula:
Ang mathematical na inaasahan ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay:
saan ang probability density ng random variable X.
Halimbawa 4.7. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga puntos na lalabas kapag naghahagis ng dice.
Solusyon:
Random na halaga X kumukuha ng mga halaga 1, 2, 3, 4, 5, 6. Gumawa tayo ng batas ng pamamahagi nito:
X | ||||||
R |
Kung gayon ang inaasahan sa matematika ay:
Mga katangian ng inaasahan sa matematika:
1. Ang mathematical na inaasahan ng isang pare-parehong halaga ay katumbas ng pare-pareho mismo:
M (S) = S.
2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin mula sa pag-asa sa matematika na palatandaan:
M (CX) = CM (X).
3. Ang mathematical expectation ng produkto ng dalawang independent random variables ay katumbas ng produkto ng kanilang mathematical expectations:
M(XY) = M(X)M(Y).
Halimbawa 4.8. Mga independiyenteng random na variable X At Y ay ibinigay ng mga sumusunod na batas sa pamamahagi:
X | Y | ||||||
R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable XY.
Solusyon.
Hanapin natin ang mga inaasahan sa matematika ng bawat isa sa mga dami na ito:
Mga random na variable X At Y independyente, samakatuwid ang kinakailangang inaasahan sa matematika ay:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Bunga. Ang mathematical expectation ng produkto ng ilang mutually independent random variables ay katumbas ng produkto ng kanilang mathematical expectations.
4. Ang pag-asa sa matematika ng kabuuan ng dalawang random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga inaasahan sa matematika ng mga termino:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Bunga. Ang mathematical expectation ng sum ng ilang random variables ay katumbas ng sum ng mathematical expectations ng terms.
Halimbawa 4.9. 3 shot ang pinaputok na may posibilidad na tamaan ang target na katumbas ng p 1 = 0,4; p2= 0.3 at p 3= 0.6. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng kabuuang bilang ng mga hit.
Solusyon.
Ang bilang ng mga hit sa unang shot ay isang random na variable X 1, na maaari lamang tumagal ng dalawang halaga: 1 (hit) na may posibilidad p 1= 0.4 at 0 (miss) na may posibilidad q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga hit sa unang shot ay katumbas ng posibilidad ng isang hit:
Katulad nito, nakita namin ang mga inaasahan sa matematika ng bilang ng mga hit para sa pangalawa at pangatlong shot:
M(X 2)= 0.3 at M(X 3)= 0,6.
Ang kabuuang bilang ng mga hit ay isa ring random na variable na binubuo ng kabuuan ng mga hit sa bawat isa sa tatlong shot:
X = X 1 + X 2 + X 3.
Ang kinakailangang inaasahan sa matematika X Natagpuan namin ito gamit ang theorem sa matematikal na inaasahan ng kabuuan.
Ang mga random na variable, bilang karagdagan sa mga batas sa pamamahagi, ay maaari ding ilarawan mga katangiang numero .
Pag-asa sa matematika M (x) ng isang random na variable ay tinatawag na mean value nito.
Ang mathematical na inaasahan ng isang discrete random variable ay kinakalkula gamit ang formula
saan – random variable values, p ako- kanilang mga probabilidad.
Isaalang-alang natin ang mga katangian ng pag-asa sa matematika:
1. Ang mathematical expectation ng isang constant ay katumbas ng constant mismo
2. Kung ang isang random na variable ay i-multiply sa isang tiyak na bilang na k, ang mathematical na inaasahan ay i-multiply sa parehong numero
M (kx) = kM (x)
3. Ang mathematical na inaasahan ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga mathematical na inaasahan
M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)
4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)
5. Para sa mga independiyenteng random na variable x 1, x 2, … x n, ang mathematical expectation ng produkto ay katumbas ng produkto ng kanilang mathematical expectations
M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0
Kalkulahin natin ang mathematical na inaasahan para sa random variable mula sa Halimbawa 11.
M(x) = = .
Halimbawa 12. Hayaang ang mga random na variable x 1, x 2 ay matukoy nang naaayon sa pamamagitan ng mga batas sa pamamahagi:
x 1 Talahanayan 2
x 2 Talahanayan 3
Kalkulahin natin ang M (x 1) at M (x 2)
M (x 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0
M (x 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0
Ang mga inaasahan sa matematika ng parehong mga random na variable ay pareho - ang mga ito ay katumbas ng zero. Gayunpaman, ang likas na katangian ng kanilang pamamahagi ay naiiba. Kung ang mga halaga ng x 1 ay naiiba nang kaunti mula sa kanilang inaasahan sa matematika, kung gayon ang mga halaga ng x 2 ay naiiba sa isang malaking lawak mula sa kanilang inaasahan sa matematika, at ang mga probabilidad ng naturang mga paglihis ay hindi maliit. Ipinapakita ng mga halimbawang ito na imposibleng matukoy mula sa average na halaga kung aling mga paglihis mula dito ang nangyayari, parehong mas maliit at mas malaki. Kaya, sa parehong average na taunang pag-ulan sa dalawang lugar, hindi masasabi na ang mga lugar na ito ay pantay na pabor para sa gawaing pang-agrikultura. Katulad nito, batay sa average na tagapagpahiwatig ng suweldo, hindi posibleng hatulan ang bahagi ng mataas at mababang suweldo na mga manggagawa. Samakatuwid, ang isang numerical na katangian ay ipinakilala - pagpapakalat D(x) , na nagpapakilala sa antas ng paglihis ng isang random na variable mula sa average na halaga nito:
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
Ang dispersion ay ang mathematical expectation ng squared deviation ng random variable mula sa mathematical expectation. Para sa isang discrete random variable, ang pagkakaiba ay kinakalkula gamit ang formula:
D(x)= =
(3)
Mula sa kahulugan ng dispersion sumusunod na D (x) 0.
Mga katangian ng pagpapakalat:
1. Ang pagkakaiba ng pare-pareho ay zero
2. Kung ang isang random na variable ay pinarami ng isang tiyak na bilang na k, kung gayon ang pagkakaiba ay i-multiply sa parisukat ng numerong ito
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)
4. Para sa pairwise independent random variables x 1 , x 2 , … x n ang pagkakaiba ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba.
D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)
Kalkulahin natin ang pagkakaiba para sa random na variable mula sa Halimbawa 11.
Pag-asa sa matematika M (x) = 1. Samakatuwid, ayon sa formula (3) mayroon tayong:
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
Tandaan na mas madaling kalkulahin ang pagkakaiba kung gagamit ka ng property 3:
D (x) = M (x 2) – M 2 (x).
Kalkulahin natin ang mga pagkakaiba para sa mga random na variable x 1 , x 2 mula sa Halimbawa 12 gamit ang formula na ito. Ang mga inaasahan sa matematika ng parehong mga random na variable ay zero.
D (x 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204
D (x 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260
Kung mas malapit ang halaga ng pagkakaiba sa zero, mas maliit ang pagkalat ng random na variable na may kaugnayan sa mean na halaga.
Ang dami ay tinatawag karaniwang lihis. Random na variable na mode x discrete type Md Ang halaga ng isang random na variable na may pinakamataas na posibilidad ay tinatawag.
Random na variable na mode x tuloy-tuloy na uri Md, ay isang tunay na numero na tinukoy bilang ang punto ng maximum ng probability distribution density f(x).
Median ng isang random na variable x tuloy-tuloy na uri Mn ay isang tunay na numero na nakakatugon sa equation
- Kagawaran ng Equisetaceae pangkalahatang katangian at kahalagahan Anong istraktura mayroon ang isang horsetail spore?
- Praktikal na gawain "Istruktura ng pako at buntot ng kabayo. Ang mga buntot ng kabayo ay may
- Sino ang nasa likod ng mga pag-atake kay Tuleyev?
- Kirill Barabash - Lieutenant Colonel ng Air Force: talambuhay, pananaw sa politika Ano ang "tawag" ng IGPR