Mga uri at kahulugan ng mga konsepto ng matematika sa elementarya na matematika. Open Library - bukas na aklatan ng impormasyong pang-edukasyon · Magbigay ng magkatulad na pares ng mga konsepto sa paghahambing at kaibahan
Testov Vladimir Afanasyevich,
Doktor ng Pedagogical Sciences, Propesor ng Departamento ng Matematika at Mga Paraan ng Pagtuturo ng Matematika, Vologda State University, Vologda [email protected]
Mga tampok ng pagbuo ng mga pangunahing konsepto ng matematika sa mga mag-aaral sa mga modernong kondisyon
Anotasyon. Sinusuri ng artikulo ang mga tampok ng pagbuo ng mga konsepto ng matematika sa mga mag-aaral sa modernong paradigma sa edukasyon at sa liwanag ng mga kinakailangan na iniharap sa konsepto ng pag-unlad ng edukasyon sa matematika. Ang mga kinakailangang ito ay kinabibilangan ng pag-update ng nilalaman ng pagtuturo ng matematika sa paaralan, paglalapit nito sa mga modernong seksyon at praktikal na aplikasyon, at ang malawakang paggamit ng mga aktibidad sa proyekto. Posibleng malampasan ang umiiral na pagkakawatak-watak ng iba't ibang disiplina sa matematika, ang paghihiwalay ng mga indibidwal na paksa at seksyon, at upang matiyak ang integridad at pagkakaisa sa pagtuturo ng matematika lamang sa batayan ng pagtukoy sa mga pangunahing cores nito. Ang ganitong mga core ay mga istrukturang pangmatematika. Ang isang kinakailangang kondisyon para sa pagpapatupad ng prinsipyo ng accessibility ng pag-aaral ay ang yugto-by-stage na proseso ng pagbuo ng mga konsepto tungkol sa mga pangunahing istrukturang matematikal. Ang pamamaraan ng proyekto ay maaaring maging malaking tulong sa hakbang-hakbang na pag-aaral ng mga istrukturang matematikal. Ang paggamit ng pamamaraang ito kapag ang mga mag-aaral ay nag-aaral ng mga istruktura ng matematika ay ginagawang posible upang malutas ang isang buong hanay ng mga problema sa pagpapalawak at pagpapalalim ng kaalaman sa matematika, isinasaalang-alang ang mga posibilidad ng kanilang aplikasyon sa mga praktikal na aktibidad, pagkuha ng mga praktikal na kasanayan sa pagtatrabaho sa mga modernong produkto ng software, at ang komprehensibong pag-unlad ng mga indibidwal na kakayahan ng mga mag-aaral Mga pangunahing salita: nilalaman ng pagtuturo ng matematika , mga istrukturang matematikal, yugto-by-stage na proseso ng pagbuo ng konsepto, pamamaraan ng proyekto Seksyon: (01) pedagogy; kasaysayan ng pedagogy at edukasyon; teorya at pamamaraan ng pagtuturo at edukasyon (ayon sa mga paksa).
Sa kasalukuyan, ang paglipat sa lipunan ng impormasyon ay nakumpleto, at sa parehong oras ang isang bagong paradigma sa edukasyon ay nahuhubog, batay sa post-non-classical na pamamaraan, synergetic na mga prinsipyo ng self-education, ang pagpapakilala ng mga teknolohiya ng network, mga aktibidad sa proyekto. , at isang diskarte na nakabatay sa kakayahan. Ang lahat ng mga bagong trend na ito ay nangangailangan ng pag-update ng nilalaman ng pagtuturo ng matematika sa paaralan, na inilalapit ito sa mga modernong seksyon at praktikal na aplikasyon. Ang mga tampok ng materyal na pang-edukasyon sa lipunan ng impormasyon ay ang pangunahing kalabisan ng impormasyon, ang hindi linear na katangian ng pag-deploy nito, ang posibilidad ng pagkakaiba-iba ng materyal na pang-edukasyon. Ang papel ng edukasyon sa matematika bilang batayan ng pagiging mapagkumpitensya, isang kinakailangang elemento ng seguridad ng bansa, ay kinikilala ng pamunuan ng Russia.Noong Disyembre 2013, inaprubahan ng pamahalaan ang konsepto ng pagpapaunlad ng edukasyong matematika. Ang konseptong ito ay nagpapalaki ng maraming kasalukuyang problema sa edukasyon sa matematika. Ang pangunahing problema na natukoy ay ang mababang pang-edukasyon na pagganyak ng mga mag-aaral, na nauugnay sa kasalukuyang underestimation ng edukasyon sa matematika sa kamalayan ng publiko, pati na rin ang labis na karga ng mga programa, pagtatasa at mga materyales sa pagtuturo na may mga teknikal na elemento at hindi napapanahong nilalaman. Ang kasalukuyang kalagayan ng paghahanda sa matematika ng mga mag-aaral ay nagdudulot ng malubhang alalahanin. May pormalismo ang kaalaman sa matematika ng mga nagtapos sa sekondaryang paaralan at ang kanilang hindi sapat na bisa; hindi sapat na antas ng kulturang matematikal at pag-iisip ng matematika. Sa maraming pagkakataon, ang partikular na materyal na pinag-aaralan ay hindi nagdaragdag sa isang sistema ng kaalaman; nahanap ng mag-aaral ang kanyang sarili na "nalibing" sa ilalim ng masa ng impormasyon na nahuhulog sa kanya mula sa Internet at iba pang mga mapagkukunan, na hindi nakapag-iisa na buuin at maunawaan ito.
Bilang resulta, ang isang mahalagang bahagi ng naturang impormasyon ay mabilis na nakalimutan at ang mathematical na bagahe ng isang makabuluhang bahagi ng mga nagtapos sa high school ay binubuo ng isang mas malaki o mas kaunting bilang ng maluwag na magkakaugnay, dogmatikong nakuha na impormasyon at mas mahusay o mas masahol pa na itinatag na mga kasanayan sa pagsasagawa ng ilang mga karaniwang operasyon. at karaniwang mga gawain. Kulang sila sa ideya ng matematika bilang isang solong agham na may sariling paksa at pamamaraan. Ang labis na kasiglahan para sa purong impormasyong bahagi ng pag-aaral ay humahantong sa katotohanan na maraming mga mag-aaral ang hindi nakakakita ng mayamang nilalaman ng kaalaman sa matematika na naka-embed sa programa. Ang nilalamang bahagi ng edukasyon sa matematika ay dapat na nakatuon hindi gaanong sa mga pangangailangan ng makitid na nauunawaan sa ngayon, ngunit sa mga madiskarteng prospect, sa isang pananaw ng pagkakaiba-iba ng mga aplikasyon nito, malawakang paggamit ng mga modelo ng matematika sa modernong lipunan. Kaya, ang gawain ay nakatakda upang dalhin ang nilalaman ng pagtuturo ng matematika na mas malapit sa modernong agham. Posibleng malampasan ang pagkakawatak-watak ng iba't ibang disiplina sa matematika, ang paghihiwalay ng mga indibidwal na paksa at seksyon, at tiyakin ang integridad at pagkakaisa sa pagtuturo ng matematika lamang sa batayan ng pagtukoy sa mga pinagmulan nito, ang mga pangunahing core. Ang ganitong mga core sa matematika, gaya ng binanggit ni A.N. Ang Kolmogorov at iba pang mga pangunahing siyentipiko ay mga istrukturang matematikal, na nahahati, ayon kay N. Bourbaki, sa algebraic, ordinal at topological. Ang ilan sa mga istrukturang matematikal ay maaaring direktang mga modelo ng mga tunay na penomena, ang iba ay konektado sa mga tunay na penomena lamang sa pamamagitan ng mahabang hanay ng mga konsepto at lohikal na istruktura. Ang mga istruktura ng matematika ng pangalawang uri ay isang produkto ng panloob na pag-unlad ng matematika. Mula sa pananaw na ito ng paksa ng matematika ay sumusunod na sa anumang kurso sa matematika ang mga istrukturang matematika ay dapat pag-aralan. Ang ideya ng mga istrukturang matematikal, na naging napakabunga, ay nagsilbing isa sa mga motibasyon para sa isang radikal na reporma ng edukasyon sa matematika noong 60-70s. Bagama't ang repormang ito ay binatikos kalaunan, ang pangunahing ideya nito ay nananatiling lubhang kapaki-pakinabang para sa modernong edukasyon sa matematika. Kamakailan, lumitaw ang mga bagong mahahalagang seksyon sa matematika na nangangailangan ng pagmuni-muni sa parehong kurikulum ng matematika sa unibersidad at paaralan (teorya ng graph, teorya ng coding, geometry ng fractal, teorya ng kaguluhan, atbp.). Ang mga bagong direksyon na ito sa matematika ay may mahusay na metodolohikal, pag-unlad at inilapat na potensyal. Siyempre, ang lahat ng mga bagong sangay na ito ng matematika ay hindi maaaring pag-aralan sa lahat ng kanilang lalim at pagkakumpleto mula pa sa simula. Tulad ng ipinakita sa, ang proseso ng pagtuturo ng matematika ay dapat isaalang-alang bilang isang multi-level na sistema na may mandatoryong pag-asa sa mas mababa, mas tiyak na mga antas, mga yugto ng kaalamang siyentipiko. Kung walang ganoong suporta, ang pag-aaral ay maaaring maging pormal, na nagbibigay ng kaalaman nang walang pag-unawa. Ang hakbang-hakbang na proseso ng pagbuo ng mga pangunahing konsepto ng matematika ay isang kinakailangang kondisyon para sa pagpapatupad ng prinsipyo ng accessibility ng pag-aaral.
Laganap ang mga pananaw sa pangangailangang tukuyin ang mga sunud-sunod na yugto sa pagbuo ng mga konsepto tungkol sa mga istrukturang matematikal sa mga guro ng matematika. Maging si F. Klein, sa kanyang mga lektura para sa mga guro, ay nabanggit ang pangangailangan para sa mga paunang yugto sa pag-aaral ng mga batayang konsepto sa matematika: “Dapat tayong umangkop sa mga likas na hilig ng mga kabataang lalaki, dahan-dahang akayin sila sa mas matataas na mga tanong at sa wakas ay ipakilala sila sa abstract mga ideya; Ang pagtuturo ay dapat sumunod sa parehong landas kung saan ang lahat ng sangkatauhan, simula sa walang muwang nitong primitive na estado, ay umabot sa taas ng modernong kaalaman. ...Gaano kabagal lumitaw ang lahat ng mga ideya sa matematika, kung paano sila halos palaging lumalabas sa una sa halip sa anyo ng isang hula at pagkatapos lamang ng mahabang pag-unlad ay nakakuha ng isang nakapirming, crystallized na anyo ng sistematikong presentasyonª. Ayon kay A.N. Kolmogorov, ang pagtuturo ng matematika ay dapat na binubuo ng ilang mga yugto, na binibigyang-katwiran niya sa pamamagitan ng pagkahilig ng mga sikolohikal na saloobin ng mga mag-aaral patungo sa discreteness at ang katotohanan na "ang likas na pagkakasunud-sunod ng pagtaas ng kaalaman at kasanayan ay palaging may katangian ng "pag-unlad sa isang spiral." Ang prinsipyo ng "linear" na pagtatayo ng isang multi-year na kurso, sa partikular na matematika, sa kanyang opinyon, ay walang malinaw na nilalaman. Gayunpaman, ang lohika ng agham ay hindi nangangailangan na ang "spiral" ay kinakailangang hatiin sa magkakahiwalay na "mga pagliko." Bilang isang halimbawa ng ganoong hakbang-hakbang na pag-aaral, isaalang-alang natin ang proseso ng pagbuo ng konsepto ng gayong istrukturang matematikal. bilang isang grupo. Ang unang yugto sa prosesong ito ay maaaring ituring na edad ng preschool, kapag ang mga bata ay naging pamilyar sa mga algebraic na operasyon (pagdaragdag at pagbabawas), na direktang isinasagawa sa mga hanay ng mga bagay. Ang prosesong ito ay nagpapatuloy sa paaralan. Masasabi natin na ang buong kurso ng matematika ng paaralan ay napuno ng ideya ng isang grupo. Ang pagkakakilala ng mga mag-aaral sa konsepto ng isang grupo ay nagsisimula, sa katunayan, nasa ika-15 baitang. Sa panahong ito sa paaralan, ang mga algebraic na operasyon ay ginagawa sa mga numero. Sa matematika ng paaralan, ang teoretikal na materyal ng numero ay ang pinaka-mayabong na materyal para sa pagbuo ng konsepto ng mga istrukturang algebraic. Isang integer, pagdaragdag ng mga integer, pagpapakilala ng zero, paghahanap ng kabaligtaran nito para sa bawat numero, pag-aaral ng mga batas ng mga aksyon - lahat ng ito ay mahalagang mga yugto sa pagbuo ng konsepto ng mga pangunahing istruktura ng algebraic (mga grupo, singsing, mga patlang). Sa mga susunod na baitang ng paaralan, ang mga mag-aaral ay nahaharap sa mga tanong na nakakatulong sa pagpapalawak ng kaalaman sa ganitong kalikasan. Sa isang kurso sa algebra, ang isang paglipat ay ginawa mula sa mga konkretong numero, na ipinahayag sa mga numero, sa abstract na alpabetikong mga expression, na nagsasaad ng mga tiyak na numero lamang na may isang tiyak na interpretasyon ng mga titik. Ang mga pagpapatakbo ng algebraic ay ginagawa hindi lamang sa mga numero, kundi pati na rin sa mga bagay na may ibang kalikasan (polynomial, vectors). Ang mga mag-aaral ay nagsisimulang mapagtanto ang pagiging pangkalahatan ng ilang mga katangian ng algebraic operations. Ang partikular na mahalaga para sa pag-unawa sa ideya ng isang grupo ay ang pag-aaral ng mga geometric na pagbabagong-anyo at ang mga konsepto ng komposisyon ng mga pagbabagong-anyo at kabaligtaran na mga pagbabagong-anyo. Gayunpaman, ang huling dalawang konsepto ay hindi makikita sa kasalukuyang kurikulum ng paaralan (ang sunud-sunod na pagpapatupad ng mga paggalaw at ang reverse transformation ay maikling binanggit sa aklat-aralin ni A.V. Pogorelov). Sa mga elective at elective na kurso, ipinapayong isaalang-alang ang mga grupo ng self-kombinasyon ng ilang mga geometric na figure, mga grupo ng mga pag-ikot, mga burloloy, mga hangganan, mga parquet at iba't ibang mga aplikasyon ng teorya ng grupo sa crystallography, chemistry, atbp. Ang mga paksang ito, kung saan kailangang pamilyar sa matematikal na pagbabalangkas ng mga praktikal na problema, maging sanhi ng pinakamalaking pag-aalala sa interes ng mga mag-aaral. Kapag naging pamilyar sa konsepto ng isang grupo sa pangkalahatan, kinakailangang umasa sa dating nakuhang kaalaman, na nagsisilbing salik na bumubuo ng istruktura sa sistema ng pagsasanay sa matematika ng mga mag-aaral, na nagpapahintulot sa amin na maayos na malutas ang problema ng pagpapatuloy sa pagitan ng matematika ng paaralan at unibersidad. Kahit na ang pag-aaral ng mga modernong konsepto ng matematika at ang mga aplikasyon nito ay nagpapataas ng interes sa paksa, halos imposible para sa guro na makahanap ng karagdagang oras para dito sa mga aralin. Samakatuwid, ang pagpapakilala ng mga aktibidad ng proyekto sa proseso ng edukasyon ay makakatulong dito. Ang ganitong uri ng organisasyon ng trabaho ay isa rin sa mga pangunahing anyo ng pagpapatupad ng diskarte na nakabatay sa kakayahan sa edukasyon. Ang ganitong uri ng organisasyon ng paggawa, gaya ng binanggit ni A.M. Novikov, ay nangangailangan ng kakayahang magtrabaho sa isang koponan, madalas na magkakaibang, mga kasanayan sa komunikasyon, pagpapaubaya, mga kasanayan sa pag-organisa sa sarili, ang kakayahang mag-isa na magtakda ng mga layunin at makamit ang mga ito. Upang maikli ang pagbabalangkas kung ano ang edukasyon sa isang post-industrial na lipunan, ito ay ang kakayahang makipag-usap, matuto, mag-analisa, magdisenyo, pumili at lumikha.Samakatuwid, ang paglipat mula sa paradigma na pang-edukasyon ng isang lipunang pang-industriya patungo sa paradigm na pang-edukasyon ng isang post- Ang pang-industriyang lipunan ay nangangahulugan, ayon sa isang bilang ng mga siyentipiko, una sa lahat, ang pag-access sa pangunahing papel ng projective na prinsipyo, pagtanggi na maunawaan ang edukasyon lamang bilang ang pagkuha ng handa na kaalaman, pagbabago ng papel ng guro, ang paggamit ng computer network upang makakuha ng kaalaman. Ang guro ay nananatiling sentro sa proseso ng pag-aaral, na may dalawang pinakamahalagang tungkulin ng pagsuporta sa pagganyak, pagpapadali sa pagbuo ng mga pangangailangang nagbibigay-malay, at pagbabago sa proseso ng pagkatuto ng klase o indibidwal na mag-aaral. Ang elektronikong kapaligirang pang-edukasyon ay nag-aambag sa pagbuo ng bagong papel nito. Sa ganitong kapaligirang may mataas na impormasyon, ang guro at mag-aaral ay pantay sa pag-access sa impormasyon at nilalaman ng pagkatuto, kaya ang guro ay hindi na maaaring maging pangunahing o tanging mapagkukunan ng mga katotohanan, ideya, prinsipyo at iba pang impormasyon. Ang kanyang bagong tungkulin ay mailalarawan bilang mentoring. Siya ay isang gabay na nagpapakilala sa mga mag-aaral sa espasyong pang-edukasyon, sa mundo ng kaalaman at sa mundo ng kamangmangan. Gayunpaman, pinanatili ng guro ang marami sa mga lumang tungkulin. Sa partikular, kapag nagtuturo ng matematika, ang isang mag-aaral ay madalas na nahaharap sa problema ng pag-unawa at, tulad ng ipinapakita ng karanasan, ang mag-aaral ay hindi makayanan ito nang walang pag-uusap sa guro, kahit na gumagamit ng mga pinaka-modernong teknolohiya ng impormasyon. Ang arkitektura ng kaalaman sa matematika ay hindi angkop sa mga random na gusali at nangangailangan ng isang espesyal na kultura, parehong asimilasyon at pagtuturo. Samakatuwid, ang isang guro sa matematika ay naging at nananatiling interpreter ng mga kahulugan ng iba't ibang mga teksto sa matematika. Ang mga network ng computer sa pagtuturo ay maaaring gamitin upang magbahagi ng mga mapagkukunan ng software, ipatupad ang mga interactive na pakikipag-ugnayan, napapanahong pagkuha ng impormasyon, patuloy na subaybayan ang kalidad ng nakuhang kaalaman, atbp. Isa sa ang mga uri ng mga aktibidad ng proyekto ng mga mag-aaral kapag gumagamit ng mga teknolohiya ng network ay isang proyekto sa network na pang-edukasyon. Kapag nag-aaral ng matematika, ang mga proyekto sa network ay isang maginhawang paraan para sa mga mag-aaral na magkasamang magsanay ng mga kasanayan sa paglutas ng problema, subukan ang kanilang antas ng kaalaman, at magkaroon din ng interes sa paksa. Ang ganitong mga proyekto ay lalong kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa humanities at iba pa na malayo sa matematika. Tulad ng para sa mga aktibidad sa proyekto, ang mga teoretikal na kinakailangan para sa paggamit ng mga proyekto sa pagtuturo ay nabuo sa panahon ng industriya at batay sa mga ideya ng mga guro at sikologo ng Amerikano huling bahagi ng ika-19 na siglo. J. Dewey at W. Kilpatrick. Sa simula ng ika-20 siglo. domestic guro (P.P. Blonsky, P.F. Kapterev, S.T. Shatsky, atbp.), na bumuo ng mga ideya ng project-based na pag-aaral, nabanggit na ang paraan ng proyekto ay maaaring gamitin bilang isang paraan ng pagsasama-sama ng teorya at kasanayan sa pagtuturo; pagbuo ng kalayaan at paghahanda ng mga mag-aaral para sa buhay nagtatrabaho; komprehensibong pag-unlad ng isip at pag-iisip; pagbuo ng mga malikhaing kakayahan. Ngunit kahit noon pa man ay naging malinaw na ang pag-aaral na nakabatay sa proyekto ay isang kapaki-pakinabang na alternatibo sa sistema ng silid-aralan, ngunit hindi ito dapat na mapalitan ito at maging isang uri ng panlunas sa lahat.Ang modernong pananaliksik sa paggamit ng mga proyekto sa pagtuturo ay nagsiwalat ng malawak na posibilidad ng mga proyektong pang-edukasyon gamit ang ICT, na nagpapahintulot sa isa na palalimin, i-update ang kaalaman, at bumuo ng mga kasanayan nang nakapag-iisa na makuha ang mga ito at mag-navigate sa espasyo ng impormasyon. Napansin ng mga mananaliksik na ang pagiging epektibo ng pagpapatupad ng mga proyektong pang-edukasyon ay nakakamit kung magkakaugnay ang mga ito, pinagsama ayon sa ilang mga katangian, at napapailalim din sa kanilang sistematikong paggamit sa lahat ng mga yugto ng pag-master ng nilalaman ng paksa: mula sa pag-master ng pangunahing kaalaman sa matematika hanggang sa independiyenteng pagkuha. ng bagong kaalaman sa isang malalim na pag-unawa sa mga batas sa matematika at paggamit ng mga ito sa iba't ibang sitwasyon. Ang resulta ng pagkumpleto ng mga proyektong pang-edukasyon ay nagsasangkot ng paglikha ng isang subjectively bago, personal na makabuluhang produkto, na nakatuon sa pagbuo ng malakas na kaalaman at kasanayan sa matematika, ang pagbuo ng kalayaan , at tumaas na interes sa paksa. Karaniwang tinatanggap na ang matematika ng paaralan ay nagsasangkot ng espesyal na organisadong aktibidad sa paglutas ng mga problema. Gayunpaman, ang unang bagay na pumukaw sa iyong mata kapag isinasaalang-alang ang mga proyektong "matematika" ay ang halos kumpletong kawalan ng aktwal na aktibidad sa matematika sa karamihan ng sila. Ang mga paksa ng naturang mga proyekto ay napakalimitado, pangunahin ang mga paksang nauugnay sa kasaysayan ng matematika (ang "gintong ratio", "Mga numero ng Fibonacci", "ang mundo ng polyhedra", atbp.). Sa karamihan ng mga proyekto ay mayroon lamang ang hitsura ng matematika, mayroong ilang mga aktibidad na nauugnay sa matematika lamang nang hindi direkta. Ang pag-access sa mga modernong sangay ng matematika ay mahirap dahil sa kawalan ng kahit isang pahiwatig ng mga naturang seksyon sa kurikulum ng paaralan. Sa mga aktibidad ng proyekto, ang ang pokus ay hindi sa asimilasyon ng kaalaman, ngunit sa koleksyon at sistematisasyon ng ilang impormasyon. Kasabay nito, sa aktibidad ng matematika, ang pagkolekta at pag-systematize ng impormasyon ay ang unang yugto lamang ng pagtatrabaho sa paglutas ng isang problema, at ang pinakasimpleng isa doon; ang paglutas ng isang problema sa matematika ay nangangailangan ng mga espesyal na aksyon sa pag-iisip na imposible nang walang pagkuha ng kaalaman. Ang kaalaman sa matematika ay may mga tiyak na tampok, hindi pinapansin kung alin ang humahantong sa kanilang bulgarisasyon. Ang kaalaman sa matematika ay mga prosesong kahulugan na dumaan sa mga yugto ng pagsusuri, pagsubok para sa pagkakapare-pareho, at pagiging tugma sa lahat ng nakaraang karanasan. Hindi ito nagpapahintulot sa amin na maunawaan ang "kaalaman" bilang simpleng mga katotohanan, o isaalang-alang ang kakayahang bawasan bilang isang ganap na asimilasyon. Ang matematika bilang isang akademikong paksa ay may isa pang partikular na tampok: dito, ang paglutas ng problema ay gumaganap bilang parehong bagay ng pag-aaral at isang paraan ng personal na pag-unlad. Samakatuwid, sa loob nito, ang paglutas ng problema ay dapat manatiling pangunahing uri ng aktibidad na pang-edukasyon, lalo na para sa mga mag-aaral na pumili ng mga profile na may kaugnayan sa matematika. Ang mag-aaral ay dapat pumasok, ang mga tala ng I.I. Melnikov, upang tumagos sa pinaka-kumplikadong kasanayan na ibinigay sa tao, ang proseso ng paggawa ng desisyon. Hinihiling sa kanya na maunawaan kung ano ang ibig sabihin ng "lutasin ang isang problema," kung paano bumalangkas ng isang problema, kung paano tukuyin ang mga paraan para sa solusyon, kung paano hatiin ang isang kumplikadong problema sa magkakaugnay na mga tanikala ng mga simpleng gawain. Ang paglutas ng mga problema ay patuloy na nag-uudyok sa pagbuo ng kamalayan na sa paglikha ng bagong kaalaman, sa paglutas ng mga problema ay walang mystical, malabo, hindi malinaw, na ang isang tao ay binibigyan ng kakayahang sirain ang pader ng kamangmangan, at ang kasanayang ito ay maaaring paunlarin at palakasin. Ang induction at deduction, ang dalawang haligi kung saan nakasalalay ang desisyon, tumawag sa pagkakatulad at intuwisyon para sa tulong, iyon ay, kung ano mismo sa "pang-adulto" na buhay ang magbibigay sa hinaharap na mamamayan ng pagkakataon na matukoy ang kanyang sariling pag-uugali sa isang mahirap na sitwasyon.
Gaya ng isinulat ni A.A. Karpintero, ang pagtuturo ng matematika sa pamamagitan ng mga problema ay matagal nang kilalang problema. Ang mga problema ay dapat magsilbing parehong motibo para sa karagdagang pag-unlad ng teorya at isang pagkakataon para sa epektibong aplikasyon nito. Isinasaalang-alang ang diskarte na nakabatay sa problema bilang ang pinaka-epektibong paraan ng pagbuo ng aktibidad na pang-edukasyon at matematika ng mga mag-aaral, itinakda niya ang gawain ng pagbuo ng isang sistema ng mga gawain na naaangkop sa pedagogically, sa tulong kung saan posible na gabayan ang mag-aaral nang palagian sa lahat ng mga aspeto ng aktibidad sa matematika (pagtukoy ng mga problemang sitwasyon at problema, pag-mathematize ng mga partikular na sitwasyon, paglutas ng mga problema na nag-uudyok sa mga teorya ng pagpapalawak, atbp.) . Napagtibay na ang paglutas ng mga tradisyunal na problema sa matematika ay nagtuturo sa isang kabataan na mag-isip, mag-isa na magmodelo at mahulaan ang mundo sa paligid niya, ibig sabihin, sa huli ay hinahabol ang halos parehong mga layunin tulad ng mga aktibidad sa proyekto, maliban, marahil, sa pagkuha ng mga kasanayan sa komunikasyon, dahil higit pa madalas Sa pangkalahatan, ang mga guro ay hindi nagpapataw ng mga kinakailangan sa paglalahad ng mga solusyon sa problema. Samakatuwid, sa pagtuturo ng matematika, ang paglutas ng problema ay dapat na manatiling pangunahing uri ng aktibidad na pang-edukasyon, at ang mga proyekto ay dapat lamang na dagdag dito. Ang pinakamahalagang uri ng aktibidad na pang-edukasyon ay nagpapahintulot sa mga mag-aaral na makabisado ang teorya ng matematika, bumuo ng mga malikhaing kakayahan at malayang pag-iisip. Bilang resulta, ang pagiging epektibo ng proseso ng edukasyon ay higit na nakasalalay sa pagpili ng mga gawain, sa mga paraan ng pag-aayos ng mga aktibidad ng mga mag-aaral upang malutas ang mga ito, i.e. mga diskarte sa paglutas ng problema. Napatunayan ng mga tagapagturo, sikologo at metodologo na upang epektibong maipatupad ang mga layunin ng edukasyon sa matematika, kinakailangan na gamitin sa proseso ng edukasyon na mga sistema ng mga gawain na may istrukturang nakabatay sa siyentipiko, kung saan ang lugar at pagkakasunud-sunod ng bawat elemento ay mahigpit na tinukoy at sumasalamin sa istruktura at tungkulin ng mga gawaing ito. Samakatuwid, sa kanyang propesyonal na aktibidad, ang isang guro ng matematika ay dapat magsikap na ipakita ang nilalaman ng pagtuturo ng matematika sa isang malaking lawak sa pamamagitan ng mga sistema ng mga gawain. Ang isang bilang ng mga kinakailangan ay ipinapataw sa mga naturang sistema: hierarchy, rationality ng volume, pagtaas ng pagiging kumplikado, pagkakumpleto, layunin ng bawat gawain, ang posibilidad ng isang indibidwal na diskarte, atbp.
Kung ang isang mag-aaral ay nalutas ang isang kumplikadong problema, kung gayon sa prinsipyo ay walang gaanong pagkakaiba sa kung paano ipinakita ng mag-aaral ang resulta: sa anyo ng isang pagtatanghal, ulat, o simpleng isulat ang solusyon sa isang sheet ng papel sa isang parisukat. Ito ay itinuturing na sapat na nalutas niya ang problema. Samakatuwid, ang mga pangkalahatang kinakailangan na iniharap para sa pagtatanghal ng mga resulta ng proyekto: ang kaugnayan ng problema at ang pagtatanghal ng mga resulta ("sining at pagpapahayag ng pagtatanghal") ay walang gaanong kaugnayan sa pagtatasa ng mga proyektong iyon sa matematika, na kung saan ay batay sa solusyon ng mga kumplikadong problema. Gayunpaman, batay sa mga kinakailangan ng modernong lipunan, ang mga aktibidad sa paglutas ng problema ay kailangang mapabuti, mas bigyang pansin ang paunang yugto (kamalayan ng lugar ng isang naibigay na problema sa sistema ng kaalaman sa matematika) at ang huling yugto (pagtatanghal ng solusyon. sa problema). Kung pag-uusapan natin ang tungkol sa mga aktibidad ng proyekto, tila pinakaangkop na gumamit ng mga interdisciplinary na proyekto sa pagsasanay sa pagtuturo na nagpapatupad ng integrative na diskarte sa pagtuturo ng matematika at ilang natural na disiplina o humanidades nang sabay-sabay. Ang mga naturang proyekto ay may mas magkakaibang at kawili-wiling mga paksa; ang mga naturang proyekto sa apat-lima-anim na disiplina ay ang pinaka-matagalan, dahil ang kanilang paglikha ay nagsasangkot ng pagproseso ng malaking halaga ng impormasyon. Ang mga halimbawa ng naturang mga interdisciplinary na proyekto ay ibinigay sa aklat ni P.M. Gorev at O.L. Luneeva. Ang resulta ng naturang macro-project ay maaaring isang website na nakatuon sa paksa ng proyekto, isang database, isang brochure na may mga resulta ng trabaho, atbp. Kapag nagtatrabaho sa naturang mga macro-proyekto, ang mag-aaral ay nagsasagawa ng mga aktibidad sa pag-aaral sa pakikipag-ugnayan sa iba pang mga gumagamit ng network, ibig sabihin, ang mga aktibidad sa pag-aaral ay nagiging hindi indibidwal, ngunit pinagsama. Dahil dito, kailangan nating tingnan ang naturang pag-aaral bilang isang prosesong nagaganap sa isang komunidad ng pag-aaral. Sa isang komunidad kung saan ang mga mag-aaral at guro ay gumaganap ng kanilang mga partikular na tungkulin. At ang resulta ng pag-aaral ay maaaring masuri nang tumpak mula sa punto ng view ng pagganap ng mga pag-andar na ito, at hindi ayon sa isa o iba pang panlabas, pormal na mga parameter na nagpapakilala ng puro kaalaman sa paksa ng mga indibidwal na mag-aaral. Dapat aminin na ang kasanayan ng paggamit ng "paraan ng proyekto" sa pagtuturo ng matematika sa paaralan ay medyo mahirap pa rin; ang lahat ay madalas na napupunta sa mag-aaral sa paghahanap ng ilang impormasyon sa isang naibigay na paksa sa Internet at pagguhit ng isang "proyekto". Sa maraming mga kaso, ang resulta ay isang imitasyon lamang ng aktibidad ng proyekto. Dahil sa mga tampok na ito, maraming mga guro ang nag-aalinlangan tungkol sa paggamit ng pamamaraan ng proyekto sa pagtuturo sa mga mag-aaral ng kanilang paksa: ang ilan ay hindi maintindihan ang kahulugan ng mga aktibidad ng mag-aaral, ang iba ay hindi nakikita ang pagiging epektibo ng teknolohiyang pang-edukasyon na ito na may kaugnayan sa kanilang disiplina. Gayunpaman, ang pagiging epektibo ng pamamaraan ng proyekto para sa karamihan ng mga asignatura sa paaralan ay hindi na maikakaila. Samakatuwid, napakahalaga na ang nilalaman ng mga proyekto ay hindi lamang nauugnay sa matematika, ngunit nakakatulong upang madaig ang paghihiwalay ng mga indibidwal na paksa at mga seksyon sa loob nito, na tinitiyak ang integridad at pagkakaisa sa pagtuturo ng matematika, na posible lamang sa batayan ng pag-highlight dito ay naglalaman ng mga core ng matematikal na istruktura. Dahil sa mga katangian ng edad ng naturang mga mag-aaral, ang pag-aaral ng materyal sa matematika, sa partikular na materyal na geometriko, ay likas na pang-edukasyon. Kasabay nito, ginagawang posible ng mga proyekto na mabuo sa mga batang mag-aaral ang pag-unawa sa papel ng geometry sa mga totoong sitwasyon sa buhay at upang pukawin ang interes sa karagdagang pag-aaral ng geometry. Kapag isinasagawa ang mga proyektong ito, lubos na posible na gumamit ng iba't ibang software para sa mga layuning pang-edukasyon. Ang iba't ibang kapaligiran sa computer ay angkop para sa pagpapatupad ng karamihan sa mga proyekto sa geometric na materyal. Sa elementarya, ipinapayong gamitin ang pinagsamang kapaligiran ng computer na PervoLogo, ang Microsoft Office PowerPoint program, pati na rin ang electronic textbook na "Mathematics and Design" at ang IISS "Geometric Design on a Plane and in Space," na ipinakita sa ang Electronic Collection of Digital Educational Resources at nilayon para sa libreng paggamit sa prosesong pang-edukasyon. Pagpipilian Ang mga produktong software na ito ay nabibigyang katwiran sa pamamagitan ng katotohanang tumutugma ang mga ito sa mga katangian ng edad ng mga mag-aaral sa elementarya, naa-access para sa paggamit sa proseso ng edukasyon, at nagbibigay ng mahusay na mga pagkakataon para sa pagpapatupad ng pamamaraan ng proyekto. Guro ng Vologda Pedagogical College O.N. Bumuo si Kostrova ng isang programa ng mga ekstrakurikular na aktibidad na naglalaman ng isang hanay ng mga proyekto sa geometric na materyal at mga rekomendasyong pamamaraan para sa mga guro sa pag-aayos ng trabaho sa mga proyekto. Ang pangunahing layunin ng tinatayang programa ay ang pagbuo ng mga geometric na konsepto ng mga bata sa elementarya batay sa paggamit ng pamamaraan ng mga proyektong pang-edukasyon. Ang gawain sa pagpapatupad ng isang hanay ng mga proyekto ay naglalayong palalimin at palawakin ang kaalaman ng mga mag-aaral sa geometric na materyal, pag-unawa sa mundo sa kanilang paligid mula sa isang geometric na pananaw, pagbuo ng kakayahang mag-aplay ng nakuhang kaalaman sa paglutas ng mga problemang pang-edukasyon, nagbibigay-malay at praktikal na pang-edukasyon gamit ang software , at pagbuo ng spatial at lohikal na pag-iisip. Ang tinatayang programa ay nagbibigay para sa isang malalim na pag-aaral ng mga paksa tulad ng "Polygons", "Circle". Circleª, ©Plano. Scaleª, ©Volume figuresª, pag-aaral ng mga karagdagang paksa, panimula sa axial symmetry, presentasyon ng numerical data ng area at volume sa anyo ng mga diagram. Ang pagtatrabaho sa ilang proyekto ay nagsasangkot ng paggamit ng makasaysayang at lokal na materyal sa kasaysayan, na nakakatulong upang mapataas ang cognitive na interes sa pag-aaral ng geometric na materyal. Ang hanay ng mga proyekto ay kinakatawan ng mga sumusunod na paksa: ©World of linesª, ©Ancient units of length measurementª, ©Kagandahan ng mga pattern mula sa polygonsª, ©Flags ng mga rehiyon ng rehiyon ng Vologdaª, © Geometric fairy taleª (2nd grade); ©Ornaments of the Vologda regionª, ©Parquetª, ©Note in the newspaper about a circle or circleª, ©Meanderª, ©Dacha plotª (3rd grade); ©Anglesª, ©The mystery of the pyramidª, ©Streets of our cityª, ©Calculation work for constructionª, work with designers (4th grade).
Sa proseso ng paggawa sa mga proyekto, ang mga mag-aaral ay gumagawa ng mga flat at three-dimensional na geometric figure, bumuo at magmodelo ng iba pang figure at iba't ibang bagay mula sa geometric figure, at nagsasagawa ng maliliit na pag-aaral sa geometric na materyal. kaalaman at kasanayan mula sa iba pang asignatura, na nakakatulong sa buong pag-unlad ng mga mag-aaral. Ang pamamaraang ito ay nagpapatupad ng isang aktibidad na nakabatay sa diskarte sa pag-aaral, dahil ang pag-aaral ay nangyayari sa proseso ng aktibidad ng mga batang mag-aaral; nag-aambag sa pagbuo ng mga kasanayan sa pagpaplano ng mga aktibidad na pang-edukasyon ng isang tao, paglutas ng problema, kakayahan sa pagtatrabaho sa impormasyon, at kakayahang makipag-usap. Kaya, ang paggamit ng pamamaraan ng proyekto kapag nagtuturo sa mga mag-aaral na geometric na materyal ay ginagawang posible upang malutas ang isang buong hanay ng mga problema sa pagpapalawak at pagpapalalim ng kaalaman sa mga elemento ng geometry, isinasaalang-alang ang mga posibilidad ng kanilang paggamit sa mga praktikal na aktibidad, pagkuha ng mga praktikal na kasanayan sa pagtatrabaho sa modernong mga produkto ng software, at komprehensibong pagpapaunlad ng mga indibidwal na kakayahan ng mga mag-aaral. Ang mga proyekto sa materyal na matematika para sa mga bata sa elementarya ay kumakatawan lamang sa unang yugto ng mga aktibidad ng proyekto sa matematika. Sa mga susunod na yugto ng edukasyon, kinakailangan na ipagpatuloy ang aktibidad na ito, ang pagbuo at pagpapalalim ng kaalaman ng mga mag-aaral sa mga pangunahing istrukturang matematika. ng aktibidad na pang-edukasyon. Ang partikular na katangian ng isang paksang pang-edukasyon ay dapat isaalang-alang kapag bumubuo ng mga proyekto, samakatuwid ang mga proyektong pang-edukasyon ay dapat na isang paraan para sa mga mag-aaral na magsanay ng mga kasanayan sa paglutas ng problema, subukan ang kanilang antas ng kaalaman, at bumuo ng cognitive na interes sa paksa.
Mga link sa mga mapagkukunan 1. Testov V. A. Pag-update ng nilalaman ng pagtuturo ng matematika: makasaysayang at metodolohikal na aspeto: monograph. Vologda, VSPU, 2012. 176 pp. 2. Testov V. A. Mga istruktura ng matematika bilang isang pang-agham at pamamaraan na batayan para sa pagbuo ng mga kurso sa matematika sa sistema ng patuloy na edukasyon (paaralan sa unibersidad): dis. ...dra ped. Sci. Vologda, 1998.3. Kolmogorov A. N. Upang talakayin ang gawain sa problema na "Mga Prospect para sa pag-unlad ng paaralan ng Sobyet para sa susunod na tatlumpung taon" // Matematika sa paaralan. 1990. No. 5. S. 5961.4. Novikov A. M. Post-industrial na edukasyon. M.: Publishing house ©Egvesª, 2008.5 Edukasyon na maaari nating mawala: koleksyon. / sa ilalim ng pangkalahatan ed. Rektor ng Moscow State University Academician V.A. Sadovnichego M.: Moscow State University na pinangalanan. M. V. Lomonosova, 2002. P. 72.6.Stolyar A. A. Pedagogy ng matematika: isang kurso ng mga lektura. Minsk: Pinakamataas. paaralan, 1969.7. Gorev P.M., Luneeva O.L. Mga interdisciplinary na proyekto para sa mga mag-aaral sa high school. Mga siklo ng matematika at natural na agham: manwal ng pamamaraang pang-edukasyon. Kirov: Publishing house MTSITO, 2014. 58 p. 8. Ibid. 9. Kostrova O.N. Mga tool sa software sa pagpapatupad ng pamamaraan ng proyekto sa pag-aaral ng mga elemento ng geometry ng mga junior schoolchildren // Siyentipikong pagsusuri: teorya at kasanayan. 2012. No. 2. P.4148.
Vladimir Testov,
Doctor of Pedagogic Sciences, Propesor sa upuan ng Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Vologda State University, Vologda, Russia [email protected] ofpupils’main mathematical notionsformation in modern conditionsAbstract.The paper discusses the peculiarities of pupils’matematical notions the formation in the modern paradigm of education and in the light of the demands,made in the concept of mathematical education. Ang mga kinakailangang ito ay nagpapahiwatig ng pag-update ng nilalaman ng pagtuturo ng matematika sa paaralan, na inilalapit ito sa mga modernong seksyon at praktikal na aplikasyon, ang malawakang paggamit ng mga aktibidad sa proyekto. Upang mapagtagumpayan ang umiiral na pagkapira-piraso ng iba't ibang disiplina sa matematika at ang paghihiwalay ng mga indibidwal na seksyon, upang matiyak na ang integridad at pagkakaisa sa pagtuturo ng matematika ay posible lamang sa pamamagitan ng paglalaan ng mga pangunahing linya dito. Ang mga istrukturang matematikal ay mga therod, ang mga pangunahing linya ng konstruksiyon ng mga kursong matematika. Ang phased na proseso ng pagbuo ng mga konsepto tungkol sa mga pangunahing istruktura ng matematika ay isang paunang kinakailangan para sa pagpapatupad ng prinsipyo ng pagkakaroon ng pagsasanay. Ang paraan ng mga proyekto ay maaaring maging malaking tulong sa isang unti-unting pag-aaral ng mga istrukturang matematikal. Ang paggamit ng pamamaraang ito sa pag-aaral ng mga istrukturang matematikal ay nagbibigay-daan sa paglutas ng isang bilang ng mga gawain upang mapalawak at mapalalim ang kaalaman sa matematika, isaalang-alang ang mga posibilidad ng kanilang aplikasyon sa pagsasanay, ang pagkuha ng mga praktikal na kasanayan upang gumana sa mga modernong produkto ng software, ang buong pag-unlad ng ang mga indibidwal na kakayahan ng mga mag-aaral. Mga Keyword: nilalaman ng pagtuturo ng matematika, mga istrukturang matematikal, phased na proseso ng pagbuo ng mga paniwala, pamamaraan ng proyekto.
Mga Sanggunian1.Testov,V. A. (2012) Obnovlenie soderzhanija obuchenija matematike: istoricheskie at metodologicheskie aspekty: monografija, VGPU, Vologda, 176 p.(sa Russian).2.Testov,V. A. (1998) Matematicheskie struktury kak nauchnometodicheskaja osnova postroenija matematicheskih kursov v sisteme nepreryvnogo obuchenija (shkola vuz): dis. …dra ped. nauk, Vologda(sa Russian).3.Kolmogorov,A. N. (1990) “K obsuzhdeniju raboty po probleme 'Perspektivy razvitija sovetskoj shkoly na blizhajshie tridcat" let'", Matematika v shkole, No. 5, pp. 5961 (sa Russian). 4. Novikov, A. M. (20 "08) Postindustrial noe obrazovanie, Izdvo “Jegves”, Moscow (sa Russian).5.V. A. Sadovnichij (ed.) (2002) Obrazovanie, kotoroe my mozhem poterjat": sb. MGU im. M. V. Lomonosova, Moscow, p.72 (sa Russian). 6. Stoljar, A. A. (1969) Pedagogika matematiki: kurs lekcij, Vyshjejsh. shk., Minsk (sa Russian). 7. Gorev, P. M. & Luneeva, O. L. (2014) Mezhpredmetnye proekty uchashhihsja srednej shkoly. Matematicheskij i estestvennonauchnyj cikly: ucheb.metod. Russian ).8.Ibid.9.Kostrova, O. N. (2012) “Programmnye sredstva v realizacii method proektov pri izuchenii jelementov geometrii mladshimi shkol"nikami”, Nauchnoe obozrenie: teorija i praktika, No. 2, pp. 4148). (inRussian).
Nekrasova G.N., Doctor of Pedagogical Sciences, Propesor, miyembro ng editorial board ng journal ©Conceptª
Lektura Blg. 2
matematika
Paksa: "Mga Konseptong Matematika"
Mga konsepto sa matematika
Kahulugan ng mga konsepto
Mga kinakailangan para sa pagtukoy ng mga konsepto
Ilang uri ng mga kahulugan
1. Mga konsepto sa matematika
Ang mga konsepto na pinag-aaralan sa isang paunang kurso sa matematika ay karaniwang ipinakita sa anyo ng apat na grupo. Kasama sa una ang mga konseptong nauugnay sa mga numero at operasyon sa mga ito: numero, karagdagan, termino, mas malaki, atbp. Ang pangalawa ay kinabibilangan ng mga konseptong algebraic: expression, pagkakapantay-pantay, equation, atbp. Ang pangatlo ay binubuo ng mga geometric na konsepto: linya, segment, tatsulok, atbp. d. Ang ikaapat na pangkat ay binubuo ng mga konsepto na may kaugnayan sa mga dami at ang kanilang pagsukat.
Paano pag-aralan ang gayong kasaganaan ng iba't ibang mga konsepto?
Una sa lahat, kailangan mong magkaroon ng ideya ng konsepto bilang isang lohikal na kategorya at ang mga tampok ng mga konsepto sa matematika.
Sa lohika, ang mga konsepto ay itinuturing bilang isang anyo ng pag-iisip na sumasalamin sa mga bagay (mga bagay o phenomena) sa kanilang mga esensyal at pangkalahatang katangian. Ang linguistic form ng isang konsepto ay isang salita o grupo ng mga salita.
Upang makabuo ng isang konsepto tungkol sa isang bagay ay nangangahulugan ng kakayahang makilala ito mula sa iba pang mga bagay na katulad nito. Ang mga konsepto ng matematika ay may ilang mga tampok. Ang pangunahing bagay ay ang mga bagay sa matematika tungkol sa kung saan kinakailangan upang bumalangkas ng isang konsepto ay hindi umiiral sa katotohanan. Ang mga bagay sa matematika ay nilikha ng isip ng tao. Ito ay mga perpektong bagay na sumasalamin sa mga tunay na bagay o phenomena. Halimbawa, sa geometry ay pinag-aaralan nila ang hugis at sukat ng mga bagay nang hindi isinasaalang-alang ang iba pang mga katangian nila: kulay, masa, tigas, atbp. Sila ay ginulo mula sa lahat ng ito, abstract. Samakatuwid, sa geometry, sa halip na ang salitang "object" ay sinasabi nila ang "geometric figure".
Ang resulta ng abstraction ay ang mga konseptong matematikal bilang "numero" at "magnitude".
Sa pangkalahatan, ang mga bagay sa matematika ay umiiral lamang sa pag-iisip ng tao at sa mga palatandaan at simbolo na bumubuo ng wikang matematika.
Sa nasabi na, maaari nating idagdag na, kapag pinag-aaralan ang mga spatial form at quantitative na relasyon ng materyal na mundo, ang matematika ay hindi lamang gumagamit ng iba't ibang mga diskarte sa abstraction, ngunit ang abstraction mismo ay gumaganap bilang isang multi-stage na proseso. Sa matematika, isinasaalang-alang nila hindi lamang ang mga konsepto na lumitaw sa panahon ng pag-aaral ng mga tunay na bagay, kundi pati na rin ang mga konsepto na lumitaw batay sa dating. Halimbawa, ang pangkalahatang konsepto ng isang function bilang isang sulat ay isang generalization ng mga konsepto ng mga tiyak na function, i.e. isang abstraction mula sa abstractions.
Upang makabisado ang mga pangkalahatang diskarte sa pag-aaral ng mga konsepto sa paunang kurso ng matematika, kailangan ng guro ng kaalaman tungkol sa saklaw at nilalaman ng konsepto, ang mga ugnayan sa pagitan ng mga konsepto at mga uri ng mga kahulugan ng mga konsepto.
2. Saklaw at nilalaman ng konsepto. Mga ugnayan sa pagitan ng mga konsepto
Ang bawat bagay sa matematika ay may ilang mga katangian. Halimbawa, ang isang parisukat ay may apat na gilid, apat na tamang anggulo, at pantay na diagonal. Maaari mong tukuyin ang iba pang mga katangian nito.
Sa mga katangian ng isang bagay, nakikilala ang mahalaga at hindi mahalaga. Ang isang ari-arian ay itinuturing na mahalaga para sa isang bagay kung ito ay likas sa bagay na ito at kung wala ito ay hindi ito umiiral. Halimbawa, para sa isang parisukat ang lahat ng mga katangian na nabanggit sa itaas ay mahalaga. Ang property na "side AD ay pahalang" ay hindi mahalaga para sa isang parisukat na ABCD. Kung ang parisukat ay pinaikot, ang gilid AD ay matatagpuan sa ibang paraan (Larawan 26).
Samakatuwid, upang maunawaan kung ano ang isang ibinigay na bagay sa matematika, kailangan mong malaman ang mga mahahalagang katangian nito.
Kapag pinag-uusapan ng mga tao ang isang konseptong matematikal, kadalasang nangangahulugan ang mga ito ng isang set ng mga bagay na tinutukoy ng isang termino (isang salita o isang grupo ng mga salita). Kaya, nagsasalita ng isang parisukat, ang ibig naming sabihin ay ang lahat ng mga geometric na numero na mga parisukat. Ito ay pinaniniwalaan na ang hanay ng lahat ng mga parisukat ay bumubuo sa saklaw ng konseptong "parisukat".
Sa lahat ang saklaw ng isang konsepto ay ang hanay ng lahat ng mga bagay na tinutukoy ng isang termino.
Ang anumang konsepto ay hindi lamang dami, kundi pati na rin ang nilalaman.
Isaalang-alang, halimbawa, ang konsepto ng "parihaba".
Ang saklaw ng konsepto ay isang hanay ng iba't ibang mga parihaba, at ang nilalaman nito ay kinabibilangan ng mga katangian ng mga parihaba bilang "may apat na tamang anggulo", "may pantay na magkabilang panig", "may pantay na mga diagonal", atbp.
May kaugnayan sa pagitan ng dami ng isang konsepto at ng nilalaman nito: kung tumaas ang dami ng isang konsepto, bababa ang nilalaman nito, at kabaliktaran. Kaya, halimbawa, ang saklaw ng konsepto na "parihaba" ay bahagi ng saklaw ng konsepto na "parihaba", at ang nilalaman ng konsepto na "parihaba" ay naglalaman ng higit pang mga katangian kaysa sa nilalaman ng konsepto na "parihaba" ("lahat ng panig ay pantay-pantay", "mga dayagonal ay magkaparehong patayo", atbp.).
Ang anumang konsepto ay hindi maaaring matutunan nang hindi napagtatanto ang kaugnayan nito sa iba pang mga konsepto. Samakatuwid, mahalagang malaman kung anong mga konsepto ng relasyon ang matatagpuan at upang maitatag ang mga koneksyong ito.
Ang mga relasyon sa pagitan ng mga konsepto ay malapit na nauugnay sa mga relasyon sa pagitan ng kanilang mga volume, i.e. set.
Sumang-ayon tayo na tukuyin ang mga konsepto na may maliliit na titik ng alpabetong Latin: a, b, c,..., z.
Hayaang ibigay ang dalawang konsepto a at b. Tukuyin natin ang kanilang mga volume bilang A at B, ayon sa pagkakabanggit.
Kung ang B (A ≠ B), pagkatapos ay sinasabi nila na ang konsepto a - tiyak na may kaugnayan sa konseptob, at ang konsepto b- generic kaugnay ng konsepto a.
Halimbawa, kung ang a ay isang "parihaba", ang b ay isang "quadrangle", kung gayon ang kanilang mga volume na A at B ay nasa ugnayan ng pagsasama (A B at A ≠ B), dahil ang bawat parihaba ay isang quadrilateral. Samakatuwid, maaari itong maitalo na ang konsepto ng "parihaba" ay tiyak na may kaugnayan sa konsepto ng "quadrangle", at ang konsepto ng "quadrangle" ay generic na may kaugnayan sa konsepto ng "parihaba".
Kung A = B, pagkatapos ay sinasabi nila iyon mga konsepto a atbay magkapareho.
Halimbawa, ang mga konsepto na "equilateral triangle" at "equiangular triangle" ay magkapareho, dahil ang kanilang mga volume ay nagtutugma.
Kung ang mga set A at B ay hindi nauugnay sa kaugnayan ng pagsasama, sasabihin nila na ang mga konsepto a at b ay wala sa kaugnayan ng genus at species at hindi magkapareho. Halimbawa, ang mga konseptong "tatsulok" at "parihaba" ay hindi konektado ng gayong mga ugnayan.
Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang kaugnayan ng genus at species sa pagitan ng mga konsepto. Una, ang mga konsepto ng genus at species ay kamag-anak: ang parehong konsepto ay maaaring generic na may kaugnayan sa isang konsepto at tiyak na nauugnay sa isa pa. Halimbawa, ang konsepto ng "parihaba" ay generic na may kaugnayan sa konsepto ng "parisukat" at tiyak na may kaugnayan sa konsepto ng "quadrangle".
Pangalawa, para sa isang naibigay na konsepto ay madalas na posible na tukuyin ang ilang mga generic na konsepto. Kaya, para sa konsepto ng "rectangle" ang mga generic na konsepto ay "quadrangle", "parallelogram", "polygon". Kabilang sa mga ito, maaari mong ipahiwatig ang pinakamalapit. Para sa konsepto ng "rectangle" ang pinakamalapit na konsepto ay "parallelogram".
Pangatlo, ang isang konsepto ng species ay may lahat ng mga katangian ng isang generic na konsepto. Halimbawa, ang isang parisukat, bilang isang tiyak na konsepto na may kaugnayan sa konsepto ng "parihaba", ay may lahat ng mga katangian na likas sa isang parihaba.
Dahil ang dami ng isang konsepto ay isang set, ito ay maginhawa, kapag nagtatatag ng mga relasyon sa pagitan ng mga volume ng mga konsepto, upang ilarawan ang mga ito gamit ang mga lupon ng Euler.
Itatag natin, halimbawa, ang ugnayan sa pagitan ng mga sumusunod na pares ng konsepto a at b kung:
1) a - "parihaba", b - "rhombus";
2) a - "polygon", b - "parallelogram";
3) a - "tuwid", b - "segment".
Sa kaso 1) ang mga volume ng mga konsepto ay nagsalubong, ngunit ni isang set ay isang subset ng isa pa (Larawan 27).
Dahil dito, masasabing ang mga konseptong ito a at b ay wala sa kaugnayan ng genus at species.
Sa kaso 2) ang mga volume ng ibinigay na mga konsepto ay nasa kaugnayan ng pagsasama, ngunit hindi nag-tutugma - bawat parallelogram ay isang polygon, ngunit hindi kabaligtaran (Fig. 28). Dahil dito, maaaring ipagtatalunan na ang konsepto ng "parallelogram" ay tiyak na may kaugnayan sa konsepto ng "polygon", at ang konsepto ng "polygon" ay generic na may kaugnayan sa konsepto ng "parallelogram".
Sa kaso 3) ang mga volume ng mga konsepto ay hindi nagsalubong, dahil hindi isang solong segment ang masasabing isang tuwid na linya, at hindi isang solong tuwid na linya ang maaaring tawaging isang segment (Larawan 29).
Dahil dito, ang mga konseptong ito ay hindi nauugnay sa genus at species.
Tungkol sa mga konseptong "tuwid na linya" at "segment" ay masasabi nating sila ay may kaugnayan sa kabuuan at bahagi: Ang isang segment ay bahagi ng isang tuwid na linya, hindi ang uri nito. At kung ang isang konsepto ng species ay may lahat ng mga katangian ng isang generic na konsepto, kung gayon ang isang bahagi ay hindi kinakailangang magkaroon ng lahat ng mga katangian ng kabuuan. Halimbawa, ang isang segment ay walang kaparehong katangian ng isang tuwid na linya gaya ng infinity nito.
Panimula
Ang konsepto ay isa sa mga pangunahing sangkap sa nilalaman ng anumang asignaturang akademiko, kabilang ang matematika.
Isa sa mga unang mathematical na konsepto na nakatagpo ng isang bata sa paaralan ay ang konsepto ng numero. Kung ang konseptong ito ay hindi pinagkadalubhasaan, ang mga mag-aaral ay magkakaroon ng malubhang problema sa karagdagang pag-aaral ng matematika.
Sa simula pa lang, nakakaharap ang mga mag-aaral ng mga konsepto kapag nag-aaral ng iba't ibang disiplina sa matematika. Kaya, kapag nagsimulang mag-aral ng geometry, agad na nakatagpo ng mga mag-aaral ang mga konsepto: punto, linya, anggulo, at pagkatapos ay may isang buong sistema ng mga konsepto na nauugnay sa mga uri ng mga geometric na bagay.
Ang gawain ng guro ay tiyakin ang isang kumpletong pag-unawa sa mga konsepto. Gayunpaman, sa pagsasagawa ng paaralan ang problemang ito ay hindi nalutas nang matagumpay gaya ng kinakailangan ng mga layunin ng isang komprehensibong paaralan.
"Ang pangunahing kawalan ng pag-master ng mga konsepto sa paaralan ay pormalismo," sabi ng psychologist na si N.F. Talyzina. Ang kakanyahan ng pormalismo ay ang mga mag-aaral, habang wastong ginagawa ang kahulugan ng isang konsepto, iyon ay, napagtatanto ang nilalaman nito, ay hindi alam kung paano gamitin ito kapag nilulutas ang mga problema sa aplikasyon ng konseptong ito. Samakatuwid, ang pagbuo ng mga konsepto ay isang mahalaga kasalukuyang problema.
Layunin ng pag-aaral: ang proseso ng pagbuo ng mga konseptong matematikal sa mga baitang 5-6.
Layunin ng gawain: bumuo ng mga rekomendasyong metodolohikal para sa pag-aaral ng mga konsepto ng matematika sa mga baitang 5-6.
Layunin ng trabaho:
1. Pag-aralan ang mathematical, methodological, pedagogical literature sa paksang ito.
2. Tukuyin ang mga pangunahing paraan ng pagtukoy ng mga konsepto sa mga aklat-aralin para sa mga baitang 5-6.
3. Tukuyin ang mga tampok ng pagbuo ng mga konsepto ng matematika sa mga baitang 5-6.
Pananaliksik hypothesis : Kung sa proseso ng pagbuo ng mga konsepto ng matematika sa mga baitang 5-6, isinasaalang-alang namin ang mga sumusunod na tampok:
· Ang mga konsepto ay kadalasang binibigyang kahulugan sa pamamagitan ng pagbuo, at kadalasan ang pagbuo ng isang tamang pag-unawa sa konsepto ng mga mag-aaral ay nakakamit sa tulong ng mga paliwanag na paglalarawan;
· Ang mga konsepto ay ipinakilala sa isang kongkretong paraan ng pasaklaw;
· Sa buong proseso ng pagbuo ng konsepto, maraming pansin ang binabayaran sa kalinawan, kung gayon ang prosesong ito ay magiging mas epektibo.
Mga pamamaraan ng pananaliksik:
· pag-aaral ng metodolohikal at sikolohikal na panitikan sa paksa;
· paghahambing ng iba't ibang mga aklat-aralin sa matematika;
· Nakaranas ng pagtuturo.
Mga batayan ng mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga konsepto ng matematika
Mga konsepto sa matematika, ang kanilang nilalaman at saklaw, pag-uuri ng mga konsepto
Ang konsepto ay isang anyo ng pag-iisip tungkol sa isang holistic na hanay ng mga mahahalaga at hindi mahahalagang katangian ng isang bagay.
Ang mga konsepto ng matematika ay may sariling mga katangian: madalas silang lumitaw mula sa mga pangangailangan ng agham at walang mga analogue sa totoong mundo; mayroon silang mataas na antas ng abstraction. Dahil dito, kanais-nais na ipakita sa mga mag-aaral ang paglitaw ng konseptong pinag-aaralan (mula man sa pangangailangan ng pagsasanay o mula sa pangangailangan ng agham).
Ang bawat konsepto ay nailalarawan sa dami at nilalaman. Nilalaman - maraming mahahalagang katangian ng konsepto. Dami - isang hanay ng mga bagay kung saan naaangkop ang konseptong ito. Isaalang-alang natin ang koneksyon sa pagitan ng dami at nilalaman ng isang konsepto. Kung ang nilalaman ay tumutugma sa katotohanan at hindi kasama ang mga salungat na tampok, kung gayon ang volume ay hindi isang walang laman na hanay, na mahalagang ipakita sa mga mag-aaral kapag ipinakilala ang konsepto. Ang nilalaman ay ganap na tinutukoy ang lakas ng tunog at vice versa. Nangangahulugan ito na ang pagbabago sa isa ay nangangailangan ng pagbabago sa isa pa: kung tumaas ang nilalaman, bababa ang volume.
o dapat isagawa ayon sa isang pamantayan;
o ang mga klase ay dapat na magkahiwalay;
o ang unyon ng lahat ng klase ay dapat magbigay ng buong hanay;
o ang pag-uuri ay dapat na tuluy-tuloy (ang mga klase ay dapat ang pinakamalapit na mga konsepto ng species na may kaugnayan sa konsepto na napapailalim sa pag-uuri).
Ang mga sumusunod na uri ng pag-uuri ay nakikilala:
1. Ayon sa isang binagong katangian. Ang mga bagay na iuuri ay maaaring may ilang katangian, kaya maaari silang mauri sa iba't ibang paraan.
Halimbawa. Ang konsepto ng "tatsulok".
2. Dichotomous. Ang paghahati sa saklaw ng isang konsepto sa dalawang partikular na konsepto, ang isa ay may ibinigay na katangian at ang isa ay wala.
Halimbawa .
I-highlight natin ang mga layunin ng pagsasanay sa pag-uuri:
1) pagbuo ng lohikal na pag-iisip;
2) sa pamamagitan ng pag-aaral ng mga pagkakaiba ng species, nakakakuha tayo ng mas malinaw na ideya ng generic na konsepto.
Ang parehong uri ng klasipikasyon ay ginagamit sa paaralan. Bilang isang patakaran, una dichotomous, at pagkatapos ay sa isang binagong batayan.
Pagbuo ng mga konsepto ng elementarya sa matematika ng mga bata sa elementarya
E.Yu. Togobetskaya, Master's student sa Department of Pedagogy and Teaching Methods
Tolyatti Pedagogical University, Tolyatti (Russia)
Mga keyword: mga konsepto ng matematika, ganap na konsepto, kamag-anak na konsepto, mga kahulugan.
Anotasyon: Sa pagsasanay sa paaralan, pinipilit ng maraming guro ang mga mag-aaral na isaulo ang mga kahulugan ng mga konsepto at nangangailangan ng kaalaman sa kanilang mga pangunahing mapapatunayang katangian. Gayunpaman, ang mga resulta ng naturang pagsasanay ay karaniwang hindi gaanong mahalaga. Nangyayari ito dahil karamihan sa mga mag-aaral, kapag nag-aaplay ng mga konseptong natutunan sa paaralan, ay umaasa sa mga hindi mahalagang palatandaan, habang ang mga mag-aaral ay nakakaalam at nagpaparami lamang ng mahahalagang palatandaan ng mga konsepto kapag sumasagot sa mga tanong na nangangailangan ng pagtukoy sa konsepto. Kadalasan ang mga mag-aaral ay tumpak na nagpaparami ng mga konsepto, ibig sabihin, natutuklasan nila ang kaalaman sa mahahalagang katangian nito, ngunit hindi nila mailalapat ang kaalamang ito sa pagsasanay; umaasa sila sa mga random na tampok na natukoy sa pamamagitan ng direktang karanasan. Ang proseso ng pag-master ng mga konsepto ay maaaring kontrolin at mabuo gamit ang mga ibinigay na katangian.
Mga keyword: mga konsepto ng matematika, ganap na konsepto, kamag-anak na konsepto, mga kahulugan.
Anotasyon: Sa pagsasanay sa paaralan, maraming mga guro ang nakakamit mula sa mga mag-aaral ng pag-aaral ng mga kahulugan ng mga konsepto at ang kaalaman sa kanilang mga pangunahing hinihingi ng mga napatunayang katangian. Gayunpaman, ang mga resulta ng naturang pagsasanay ay karaniwang hindi gaanong mahalaga. Nangyayari ito dahil ang karamihan sa mga mag-aaral, na nag-aaplay ng mga konseptong nakuha sa paaralan, ang mga mag-aaral ay nakasandal sa mga hindi mahalagang palatandaan, ang mga mahahalagang palatandaan ng mga konsepto ay napagtanto at nagpaparami lamang sa sagot sa mga tanong na humihingi ng kahulugan ng konsepto. Kadalasan ang mga mag-aaral ay walang alinlangan na nagpaparami ng mga konsepto, iyon ay, alamin ang kaalaman sa mga mahahalagang palatandaan nito, ngunit ang paggamit ng kaalamang ito ay hindi maaaring, sandalan laban sa mga kaswal na senyales na inilaan salamat sa isang unang karanasan. Ang proseso ng mastering ng mga konsepto ay posible na gumana, bumuo ng mga ito gamit ang mga set na katangian.
Kapag pinagkadalubhasaan ang kaalamang siyentipiko, ang mga mag-aaral sa elementarya ay nakakaharap ng iba't ibang uri ng mga konsepto. Ang kawalan ng kakayahan ng mag-aaral na ibahin ang mga konsepto ay humahantong sa kanilang hindi sapat na asimilasyon.
Ang lohika sa mga konsepto ay nakikilala sa pagitan ng dami at nilalaman. Ang ibig sabihin ng volume ay ang klase ng mga bagay na nauugnay sa konseptong ito at pinagkakaisa nito. Kaya, ang saklaw ng konsepto ng tatsulok ay kinabibilangan ng buong hanay ng mga tatsulok, anuman ang kanilang mga tiyak na katangian (mga uri ng mga anggulo, laki ng mga gilid, atbp.).
Ang nilalaman ng mga konsepto ay nauunawaan bilang ang sistema ng mga mahahalagang katangian kung saan ang mga bagay na ito ay pinagsama sa iisang klase. Upang ipakita ang nilalaman ng isang konsepto, kinakailangan upang maitaguyod sa pamamagitan ng paghahambing kung anong mga tampok ang kinakailangan at sapat upang i-highlight ang kaugnayan nito sa iba pang mga bagay. Hanggang sa maitatag ang nilalaman at mga katangian, ang kakanyahan ng bagay na sinasalamin ng konseptong ito ay hindi malinaw, imposibleng tumpak at malinaw na makilala ang bagay na ito mula sa mga katabi nito, at ang pagkalito ng pag-iisip ay nangyayari.
Halimbawa, para sa konsepto ng isang tatsulok, ang mga naturang katangian ay kinabibilangan ng mga sumusunod: isang closed figure, na binubuo ng tatlong tuwid na mga segment. Ang hanay ng mga katangian kung saan ang mga bagay ay pinagsama sa isang klase ay tinatawag na kinakailangan at sapat na mga katangian. Sa ilang mga konsepto, ang mga tampok na ito ay umaakma sa isa't isa, na bumubuo sa nilalaman kung saan ang mga bagay ay pinagsama sa isang solong klase. Ang mga halimbawa ng naturang mga konsepto ay tatsulok, anggulo, bisector at marami pang iba.
Ang koleksyon ng mga bagay na ito kung saan nalalapat ang konseptong ito ay bumubuo ng isang lohikal na klase ng mga bagay. Ang isang lohikal na klase ng mga bagay ay isang koleksyon ng mga bagay na may mga karaniwang katangian, bilang isang resulta kung saan ang mga ito ay ipinahayag ng isang karaniwang konsepto. Magkapareho ang lohikal na klase ng mga bagay at ang saklaw ng kaukulang konsepto. Ang mga konsepto ay nahahati sa mga uri ayon sa nilalaman at saklaw depende sa kalikasan at bilang ng mga bagay kung saan nalalapat ang mga ito. Batay sa kanilang saklaw, ang mga konsepto ng matematika ay nahahati sa indibidwal at pangkalahatan. Kung ang saklaw ng isang konsepto ay kinabibilangan lamang ng isang bagay, ito ay tinatawag na isahan.
Mga halimbawa ng mga solong konsepto: "ang pinakamaliit na dalawang-digit na numero", "ang numero 5", "isang parisukat na may haba ng gilid na 10 cm", "isang bilog na may radius na 5 cm". Ang pangkalahatang konsepto ay sumasalamin sa mga katangian ng isang tiyak na hanay ng mga bagay. Ang dami ng naturang mga konsepto ay palaging mas malaki kaysa sa dami ng isang elemento. Mga halimbawa ng pangkalahatang konsepto: "set ng dalawang-digit na numero", "triangles", "equation", "hindi pagkakapantay-pantay", "numero multiples ng 5", "mga aklat-aralin sa matematika para sa elementarya". Ayon sa kanilang nilalaman, ang mga konsepto ay nakikilala sa pagitan ng conjunctive at disjunctive, absolute at concrete, non-relative at relative.
Ang mga konsepto ay tinatawag na conjunctive kung ang kanilang mga tampok ay magkakaugnay at indibidwal na wala sa mga ito ang nagpapahintulot sa pagtukoy ng mga bagay ng klase na ito; ang mga tampok ay konektado sa pamamagitan ng conjunction na "at". Halimbawa, ang mga bagay na nauugnay sa konsepto ng isang tatsulok ay kinakailangang binubuo ng tatlong tuwid na mga segment at sarado.
Sa iba pang mga konsepto, ang ugnayan sa pagitan ng kinakailangan at sapat na mga katangian ay naiiba: hindi sila umakma sa bawat isa, ngunit pinapalitan ang bawat isa. Nangangahulugan ito na ang isang katangian ay katumbas ng isa pa. Ang isang halimbawa ng ganitong uri ng relasyon sa pagitan ng mga katangian ay maaaring ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga segment at anggulo. Ito ay kilala na ang klase ng pantay na mga segment ay kinabibilangan ng mga segment na: a) alinman ay nag-tutugma kapag pinatong; b) o hiwalay na katumbas ng pangatlo; c) o binubuo ng pantay na bahagi, atbp.
Sa kasong ito, ang mga nakalistang katangian ay hindi kinakailangan nang sabay-sabay, tulad ng kaso sa magkakaugnay na uri ng mga konsepto; dito, sapat na ang isang katangian mula sa lahat ng nakalista: ang bawat isa sa kanila ay katumbas ng alinman sa iba. Dahil dito, ang mga palatandaan ay konektado sa pamamagitan ng conjunction na "o". Ang ganitong koneksyon ng mga tampok ay tinatawag na disjunction, at ang mga konsepto ay naaayon na tinatawag na disjunctive. Mahalaga rin na isaalang-alang ang paghahati ng mga konsepto sa ganap at kamag-anak.
Pinagsasama-sama ng mga ganap na konsepto ang mga bagay sa mga klase ayon sa ilang mga katangian na nagpapakilala sa kakanyahan ng mga bagay na ito. Kaya, ang konsepto ng anggulo ay sumasalamin sa mga katangian na nagpapakilala sa kakanyahan ng anumang anggulo tulad nito. Ang sitwasyon ay katulad ng maraming iba pang mga geometric na konsepto: bilog, sinag, rhombus, atbp.
Pinagsasama ng mga kamag-anak na konsepto ang mga bagay sa mga klase ayon sa mga katangian na nagpapakilala sa kanilang kaugnayan sa iba pang mga bagay. Kaya, ang konsepto ng mga patayong linya ay nakukuha kung ano ang nagpapakilala sa relasyon ng dalawang linya sa bawat isa: intersection, ang pagbuo ng isang tamang anggulo. Katulad nito, ang konsepto ng numero ay sumasalamin sa kaugnayan sa pagitan ng sinusukat na dami at ng tinatanggap na pamantayan. Ang mga kamag-anak na konsepto ay nagdudulot ng mas malubhang kahirapan para sa mga mag-aaral kaysa sa mga ganap na konsepto. Ang kakanyahan ng mga paghihirap ay namamalagi sa katotohanan na ang mga mag-aaral ay hindi isinasaalang-alang ang relativity ng mga konsepto at nagpapatakbo sa kanila bilang ganap na mga konsepto. Kaya, kapag hiniling ng guro sa mga mag-aaral na gumuhit ng patayo, ang ilan sa kanila ay gumuhit ng patayo. Ang partikular na atensyon ay dapat bayaran sa konsepto ng numero.
Ang numero ay ang ratio ng kung ano ang binibilang (haba, timbang, dami, atbp.) sa pamantayan na ginagamit para sa pagtatasa na ito. Malinaw, ang bilang ay nakasalalay sa parehong dami na sinusukat at sa pamantayan. Kung mas malaki ang sinusukat na halaga, mas malaki ang numero na magkakaroon ng parehong pamantayan. Sa kabaligtaran, mas malaki ang pamantayan (sukat), mas maliit ang bilang kapag tinatantya ang parehong halaga. Dahil dito, dapat na maunawaan ng mga mag-aaral sa simula pa lang na ang mga paghahambing ng mga numero sa pamamagitan ng magnitude ay maaari lamang gawin kapag mayroon silang parehong pamantayan sa likod ng mga ito. Sa katunayan, kung, halimbawa, ang lima ay nakuha kapag sinusukat ang haba sa sentimetro, at tatlo ang nakuha kapag nagsusukat sa metro, kung gayon ang tatlo ay nagpapahiwatig ng mas malaking halaga kaysa sa lima. Kung hindi nauunawaan ng mga mag-aaral ang relatibong katangian ng mga numero, mahihirapan sila sa pag-aaral ng sistema ng numero. Ang mga kahirapan sa pag-master ng mga kamag-anak na konsepto ay nananatili sa mga mag-aaral sa gitna at maging sa mataas na paaralan. May kaugnayan sa pagitan ng nilalaman at saklaw ng isang konsepto: mas maliit ang saklaw ng konsepto, mas malaki ang nilalaman nito.
Halimbawa, ang konseptong "parihaba" ay may mas maliit na saklaw kaysa sa saklaw ng konseptong "parihaba" dahil ang anumang parisukat ay isang parihaba, ngunit hindi bawat parihaba ay isang parisukat. Samakatuwid, ang konsepto ng "parisukat" ay may higit na nilalaman kaysa sa konsepto ng "parihaba": ang isang parisukat ay may lahat ng mga katangian ng isang parihaba at ilang iba pa (lahat ng panig ng isang parisukat ay pantay, ang mga diagonal ay magkaparehong patayo).
Sa proseso ng pag-iisip, ang bawat konsepto ay hindi umiiral nang hiwalay, ngunit pumapasok sa ilang mga koneksyon at relasyon sa iba pang mga konsepto. Sa matematika, isang mahalagang anyo ng koneksyon ang pag-asa na partikular sa genus.
Halimbawa, isaalang-alang ang mga konseptong "parisukat" at "parihaba". Ang saklaw ng konseptong "parisukat" ay bahagi ng saklaw ng konseptong "parihaba". Samakatuwid, ang una ay tinatawag na species, at ang pangalawa - generic. Sa mga ugnayan ng genus-species, dapat makilala ng isa ang konsepto ng pinakamalapit na genus at ang mga sumusunod na generic na yugto.
Halimbawa, para sa uri na "parisukat" ang pinakamalapit na genus ay ang genus na "parihaba", para sa isang parihaba ang pinakamalapit na genus ay ang genus na "parallelogram", para sa isang "parallelogram" - "quadrilateral", para sa isang "quadrilateral" - "polygon", at para sa isang "polygon" - " flat figure."
Sa elementarya, sa unang pagkakataon, ang bawat konsepto ay ipinakilala nang biswal, sa pamamagitan ng pagmamasid sa mga partikular na bagay o praktikal na operasyon (halimbawa, kapag binibilang ang mga ito). Ang guro ay umaasa sa kaalaman at karanasan ng mga bata na nakuha nila sa edad ng preschool. Ang pagiging pamilyar sa mga konsepto ng matematika ay naayos gamit ang isang termino o isang termino at isang simbolo. Ang pamamaraang ito ng pagtatrabaho sa mga konsepto ng matematika sa elementarya ay hindi nangangahulugan na ang iba't ibang uri ng mga kahulugan ay hindi ginagamit sa kursong ito.
Upang tukuyin ang isang konsepto ay ilista ang lahat ng mahahalagang katangian ng mga bagay na kasama sa konseptong ito. Ang pandiwang kahulugan ng isang konsepto ay tinatawag na termino. Halimbawa, ang "numero", "tatsulok", "bilog", "equation" ay mga termino.
Ang kahulugan ay nalulutas ang dalawang problema: kinikilala at nakikilala nito ang isang tiyak na konsepto mula sa lahat ng iba at ipinapahiwatig ang mga pangunahing tampok na kung wala ang konsepto ay hindi maaaring umiral at kung saan nakasalalay ang lahat ng iba pang mga tampok.
Ang kahulugan ay maaaring higit pa o hindi gaanong malalim. Ito ay depende sa antas ng kaalaman tungkol sa konsepto na ibig sabihin. Kung mas alam natin ito, mas malamang na mas mahusay nating matukoy ito. Sa pagsasanay ng pagtuturo sa mga bata sa elementarya, ang tahasan at implicit na mga kahulugan ay ginagamit. Ang mga tahasang kahulugan ay nasa anyo ng pagkakapantay-pantay o pagkakaisa ng dalawang konsepto.
Halimbawa: "Ang propedeutics ay isang panimula sa anumang agham." Narito ang dalawang konsepto ay tinutumbasan ng isa sa isa - "propaedeutics" at "pagpasok sa anumang agham." Sa kahulugan na "Ang isang parisukat ay isang parihaba kung saan ang lahat ng panig ay pantay-pantay," mayroon kaming isang pagkakataon ng mga konsepto. Sa pagtuturo sa mga bata sa elementarya, ang kontekstwal at ostensive na mga kahulugan ay partikular na interesado sa mga implicit na kahulugan.
Anumang sipi mula sa isang teksto, anuman ang konteksto, kung saan nangyayari ang konsepto na kinagigiliwan natin ay, sa ilang diwa, ang implicit na kahulugan nito. Ang konteksto ay naglalagay ng isang konsepto na may kaugnayan sa iba pang mga konsepto at sa gayon ay ipinapakita ang nilalaman nito.
Halimbawa, kapag nagtatrabaho sa mga bata, gamit ang mga expression tulad ng "hanapin ang kahulugan ng expression", "ihambing ang kahulugan ng mga expression 5 + a at (a - 3) 2, kung a = 7", "basahin ang mga expression na sums", "basahin ang mga expression , at pagkatapos ay basahin ang mga equation," pinalawak namin ang konsepto ng "mathematical expression" bilang isang talaan na binubuo ng mga numero o variable at mga palatandaan ng pagkilos. Halos lahat ng mga kahulugang nakakaharap natin sa pang-araw-araw na buhay ay mga kontekstwal na kahulugan. Nang marinig ang isang hindi kilalang salita, sinisikap nating itatag ang kahulugan nito sa ating sarili batay sa lahat ng sinabi. Ang isang katulad na bagay ay nangyayari sa pagtuturo sa mga batang mag-aaral. Maraming mga konsepto sa matematika sa elementarya ang binibigyang kahulugan sa pamamagitan ng konteksto. Ito ay, halimbawa, mga konsepto tulad ng "malaki - maliit", "anumang", "anuman", "isa", "marami", "numero", "pagpapatakbo ng arithmetic", "equation", "problema" at iba pa.
Ang mga kahulugan sa konteksto ay nananatiling hindi kumpleto at hindi kumpleto. Ginagamit ang mga ito dahil sa hindi kahandaan ng mga batang mag-aaral na makabisado ang buong, at lalo na pang-agham, kahulugan.
Ang mga ostensive na kahulugan ay mga kahulugan sa pamamagitan ng pagpapakita. Ang mga ito ay kahawig ng mga ordinaryong kahulugan sa konteksto, ngunit ang konteksto dito ay hindi isang sipi ng anumang teksto, ngunit ang sitwasyon kung saan ang bagay na itinalaga ng konsepto ay nahahanap ang sarili nito. Halimbawa, ang guro ay nagpapakita ng isang parisukat (drawing o papel na modelo) at nagsasabing "Tingnan mo - ito ay isang parisukat." Ito ay isang tipikal na ostensive na kahulugan.
Sa elementarya, ginagamit ang mga ostensive na kahulugan kapag isinasaalang-alang ang mga konsepto tulad ng "pula (puti, itim, atbp.) na kulay", "kaliwa - kanan", "kaliwa pakanan", "digit", "nauuna at kasunod na numero", " signs” arithmetic operations”, "comparative signs", "triangle", "quadrangle", "cube", atbp.
Batay sa ostensive assimilation ng mga kahulugan ng mga salita, posibleng ipakilala ang pandiwang kahulugan ng mga bagong salita at parirala sa diksyunaryo ng bata. Ostensive na mga kahulugan - at sila lamang - nag-uugnay ng mga salita sa mga bagay. Kung wala ang mga ito, ang wika ay isang verbal lace lamang na walang layunin, substantive na nilalaman. Tandaan na sa elementarya, ang mga katanggap-tanggap na kahulugan tulad ng "Gagamitin namin ang salitang "pentagon" upang nangangahulugang isang polygon na may limang panig." Ito ang tinatawag na "nominal definition". Sa matematika, iba't ibang tahasang kahulugan ang ginagamit. Ang pinaka-karaniwan sa kanila ay ang pagpapasiya sa pamamagitan ng pinakamalapit na genus at katangian ng species. Ang pangkaraniwang kahulugan ay tinatawag ding klasikal.
Mga halimbawa ng mga kahulugan sa pamamagitan ng genus at mga partikular na katangian: "Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay magkatulad", "Ang isang rhombus ay isang parallelogram na ang mga gilid ay pantay", "Ang isang parihaba ay isang parallelogram na ang mga anggulo ay tama", "Ang isang parisukat ay isang parihaba na ang mga gilid ay magkapareho", "Ang isang rhombus na may tamang mga anggulo ay tinatawag na isang parisukat."
Tingnan natin ang mga kahulugan ng isang parisukat. Sa unang kahulugan, ang pinakamalapit na genus ay magiging "parihaba," at ang partikular na tampok ay "lahat ng panig ay pantay." Sa pangalawang kahulugan, ang pinakamalapit na genus ay "rhombus", at ang tiyak na karakter ay "mga tamang anggulo". Kung hindi natin kukunin ang pinakamalapit na genus ("parallelogram"), magkakaroon ng dalawang partikular na katangian ng isang parisukat: "Ang parisukat ay isang paralelogram kung saan ang lahat ng panig ay pantay at ang lahat ng mga anggulo ay tama."
Sa generic na kaugnayan mayroong mga konsepto ng "pagdaragdag (pagbabawas, pagpaparami, paghahati)" at "pagpapatakbo ng aritmetika", ang konsepto ng "talamak (kanan, mahina ang ulo) anggulo" at "anggulo". Walang napakaraming halimbawa ng mga tahasang ugnayan ng genus-species sa maraming konseptong matematikal na tinatalakay sa mga pangunahing baitang. Ngunit isinasaalang-alang ang kahalagahan ng kahulugan sa pamamagitan ng genus at species sa karagdagang edukasyon, ipinapayong tiyakin na nauunawaan ng mga mag-aaral ang kakanyahan ng kahulugan ng species na ito na nasa elementarya na baitang.
Maaaring isaalang-alang ng magkakahiwalay na kahulugan ang isang konsepto ayon sa paraan ng pagbuo o paglitaw nito. Ang ganitong uri ng pagpapasiya ay tinatawag na genetic. Mga halimbawa ng genetic na kahulugan: "Ang anggulo ay ang mga sinag na lumalabas mula sa isang punto," "Ang dayagonal ng isang parihaba ay isang segment na nag-uugnay sa magkasalungat na mga vertex ng isang parihaba." Sa elementarya, ginagamit ang mga genetic na kahulugan para sa mga konsepto tulad ng "segment", "broken line", "right angle", "circle". Ang mga genetic na konsepto ay maaari ding tukuyin sa pamamagitan ng isang listahan.
Halimbawa, "Ang natural na serye ng mga numero ay ang mga numero 1, 2, 3, 4, atbp." Ang ilang mga konsepto sa elementarya ay ipinakilala lamang sa pamamagitan ng termino. Halimbawa, ang mga yunit ng oras ay taon, buwan, oras, minuto. Mayroong mga konsepto sa elementarya na mga baitang na ipinakita sa simbolikong wika sa anyo ng pagkakapantay-pantay, halimbawa, a 1 = a, at 0 = 0
Mula sa itaas, mahihinuha natin na sa mga baitang elementarya maraming mga konseptong matematikal ang unang nakukuha nang mababaw at malabo. Sa unang kakilala, ang mga mag-aaral ay natututo lamang tungkol sa ilang mga katangian ng mga konsepto at may isang napaka-makitid na ideya ng kanilang saklaw. At ito ay natural. Hindi lahat ng konsepto ay madaling maunawaan. Ngunit walang duda na ang pag-unawa at napapanahong paggamit ng guro sa ilang uri ng mga kahulugan ng mga konseptong matematikal ay isa sa mga kondisyon para sa mga mag-aaral na magkaroon ng matatag na kaalaman tungkol sa mga konseptong ito.
Bibliograpiya:
1. Bogdanovich M.V. Kahulugan ng mga konsepto sa matematika //Primary school 2001. - No. 4.
2. Gluzman N. A. Pagbuo ng mga pangkalahatang pamamaraan ng aktibidad ng kaisipan sa mga bata sa elementarya. - Yalta: KGGI, 2001. - 34 p.
3. Drozd V.L. Urban M.A. Mula sa maliliit na problema hanggang sa malalaking pagtuklas. //Paaralang elementarya. - 2000. - Hindi. 5.
Mga pamamaraan para sa pag-aaral ng mga konsepto ng matematika
1. Ang kakanyahan ng konsepto. Nilalaman at saklaw ng konsepto.
2. Kahulugan ng mga konseptong matematikal.
3. Pag-uuri ng mga konsepto sa matematika.
4. Pamamaraan para sa pagpapakilala ng mga bagong konsepto sa matematika.
Ang anumang agham ay isang sistema ng mga konsepto, samakatuwid sa matematika, tulad ng sa iba pang mga asignaturang pang-akademiko, ang malaking pansin ay binabayaran sa pagtuturo ng mga konsepto. Ang konsepto ay tumutukoy sa mga anyo ng teoretikal na pag-iisip, na isang makatwirang yugto ng katalusan.
1. Ang kakanyahan ng konsepto. Nilalaman at saklaw ng konsepto. Sa tulong ng mga konsepto, ipinapahayag namin ang pangkalahatan, mahahalagang katangian ng mga bagay at phenomena ng layunin na katotohanan.
Pagdama ay tinatawag na direktang pandama na pagmuni-muni ng katotohanan sa kamalayan ng tao.
Pagsusumite ay ang imahe ng isang bagay o phenomenon na nakatatak sa ating kamalayan na sa kasalukuyan ay hindi natin nakikita.
Ang pang-unawa ay nawawala sa sandaling matapos ang epekto ng bagay sa mga pandama ng tao. Ang natitira ay ang palabas. Halimbawa, nagpapakita kami ng isang kubo at pagkatapos ay alisin ito. Alam namin ang iba't ibang mga cube, iba't ibang kulay, atbp., ngunit kami ay abstract mula dito, pinapanatili ang pangkalahatan at mahalaga.
Konsepto abstract mula sa mga indibidwal na katangian at katangian ng mga indibidwal na perception at ideya at ito ay resulta ng generalization ng mga perception at ideya ng isang napakalaking bilang ng mga homogenous na bagay at phenomena, halimbawa: numero, pyramid, bilog, tuwid na linya. Ang mga konsepto ay nabuo sa pamamagitan ng mga lohikal na pamamaraan tulad ng pagsusuri at synthesis, abstraction at generalization. Konsepto tatawagin natin ang pag-iisip tungkol sa isang bagay na nagbibigay-diin sa mahahalagang katangian nito.
Mga makabuluhang tampok Ang mga konsepto ay tulad ng mga tampok, ang bawat isa ay kinakailangan, at lahat ng magkakasama ay sapat upang makilala ang mga bagay ng isang partikular na uri mula sa iba pang mga bagay (halimbawa, isang paralelogram).
Sa bawat konsepto, ang nilalaman at dami nito ay nakikilala.
Saklaw ng konsepto ay ang koleksyon ng mga bagay kung saan naaangkop ang konseptong ito.
Halimbawa, ang konsepto ng "tao". Nilalaman: isang buhay na nilalang, lumilikha ng mga kasangkapan sa paggawa, may kakayahan ng abstract na pag-iisip. Dami: lahat ng tao.
Ang konsepto ng "tetrahedron". Mga Nilalaman: isang polyhedron na napapaligiran ng apat na hugis tatsulok na mukha. Dami: ang hanay ng lahat ng tetrahedra.
May kaugnayan sa pagitan ng dami at nilalaman ng isang konsepto: mas malaki ang nilalaman ng konsepto, mas maliit ang volume nito. Ang pagbabawas ng nilalaman ng isang konsepto ay nangangailangan ng pagpapalawak ng saklaw nito. Ang operasyong ito ay tinatawag paglalahat mga konsepto. Halimbawa, kung ang pag-aari na "pagkakapantay-pantay ng lahat ng panig" ay aalisin mula sa nilalaman ng konsepto na "equilateral triangle," kung gayon ang hanay ng mga tatsulok na nagbibigay-kasiyahan sa bagong nilalaman ay magiging "mas malawak" - ito ay maglalaman ng hanay ng mga equilateral na tatsulok bilang isang subset. Ang pagpapalawak ng nilalaman ng isang konsepto ay humahantong sa pagpapaliit ng saklaw nito at tinatawag limitasyon(espesyalisasyon) mga konsepto. Ang isang halimbawa ng naturang operasyon ay ang paglipat mula sa konsepto ng mga pagbabago sa pagkakakilanlan sa konsepto ng pagbabawas ng mga fraction.
Kung ang saklaw ng isang konsepto ay kasama bilang bahagi ng saklaw ng isa pang konsepto, kung gayon ang unang konsepto ay tinatawag uri ng hayop, at ang pangalawa - ninuno.
Ang mga konsepto ng genus at species ay kamag-anak karakter. Halimbawa, ang konsepto ng "prisma" ay generic na may kaugnayan sa konsepto ng "tuwid na prisma", ngunit isang tiyak na konsepto na may kaugnayan sa konsepto ng "polyhedron".
Mga bilog ni Euler.
2. Kahulugan ng mga konseptong matematikal. Ang nilalaman ng konsepto ay ipinahayag gamit ang isang kahulugan.
Kahulugan(kahulugan) mga konsepto– ito ay isang lohikal na operasyon sa tulong kung saan ang pangunahing nilalaman ng isang konsepto o ang kahulugan ng isang termino ay ipinahayag.
Tukuyin ang konsepto- nangangahulugan ito ng paglilista ng mga mahahalagang katangian ng mga bagay na ipinapakita sa konseptong ito.
Ang gawain ng paglilista ng mga katangian ay maaaring maging mahirap, ngunit ito ay pinasimple kung tayo ay umaasa sa mga konsepto na dati nang naitatag. Ang konsepto ay naayos sa pananalita gamit ang isang salita o parirala na tinatawag pangalan o termino mga konsepto. Sa matematika, ang isang konsepto ay madalas na tinutukoy hindi lamang ng isang pangalan, kundi pati na rin simbolo. Halimbawa, ang iba.
Kaya, ang kahulugan ay unang nagpapahiwatig ng genus kung saan ang konsepto na tinukoy ay kasama bilang isang species, at pagkatapos ay nagpapahiwatig ng mga katangian na naiiba ang species na ito mula sa iba pang mga species ng pinakamalapit na genus. Ang pamamaraang ito ng pagtukoy sa isang konsepto ay tinatawag na kahulugan ng isang konsepto sa pamamagitan ng pinakamalapit na pagkakaiba ng genus at species.
Konsepto = pagkakaiba ng genus + species.
Mga uri ng mga kahulugan
tahasan Implicit
Sa pamamagitan ng genus at species
pagkakaiba Axiomatic Deskriptibo
(inilarawan ng system
tahasan Ang mga kahulugan ay tinatawag na kung saan ang kahulugan ng terminong binibigyang kahulugan ay ganap na naihahatid sa pamamagitan ng kahulugan ng mga terminong tumutukoy, ibig sabihin, ang mga tahasang kahulugan ay naglalaman ng direktang indikasyon ng mga mahahalagang katangian ng konseptong binibigyang kahulugan. Ang pagpapasiya sa pamamagitan ng pinakamalapit na genus at pagkakaiba ng species ay tumutukoy sa mga halata.
SA implicit Sa mga kahulugan, ang kahulugan ng terminong binibigyang-kahulugan ay hindi ganap na naihahatid ng mga terminong tumutukoy. Ang isang halimbawa ng isang implicit na kahulugan ay ang kahulugan ng mga paunang konsepto gamit ang isang sistema ng mga axiom. Ang mga ganitong kahulugan ay tinatawag axiomatic. Ang mga halimbawa ng mga kahulugan ng axiomatic ay ang mga kahulugan ng isang grupo, isang singsing at isang patlang, atbp. (Hilbert's, Weyl's axiomatics, ang Peano axiom system para sa mga natural na numero).
Genetic ay tinatawag na kahulugan ng isang bagay sa pamamagitan ng pagsasabi ng paraan ng pagbuo, pagbuo, pinagmulan nito. Halimbawa, "ang pinutol na kono ay isang katawan na nagreresulta mula sa pag-ikot ng isang hugis-parihaba na trapezoid sa paligid ng gilid na patayo sa mga base ng trapezoid." O ang kahulugan ng konsepto ng "linear dihedral angle".
SA pasaklaw(paulit-ulit) na kahulugan, ang isang bagay ay tinukoy bilang isang function ng isang natural na numero ..gif" width="56" height="21"> at. Halimbawa, sa pamamagitan ng induction sa matematika, ipinakilala ang kahulugan ng isang natural na numero.
Ostensive mga kahulugan at naglalarawan ilarawan ang mga bagay gamit ang mga modelo, pagsasaalang-alang ng mga espesyal na kaso, pag-highlight ng mga indibidwal na mahahalagang katangian, ipinakilala sa pamamagitan ng direktang pagpapakita, pagpapakita ng mga bagay. Madalas na ginagamit sa mga pangunahing grado at bahagyang sa mga baitang 5-6. Ang guro, na naglalarawan ng mga tatsulok sa pisara, ay nagpapakilala sa mga mag-aaral sa konsepto ng tatsulok. Sa mataas na paaralan, nangingibabaw ang mga pandiwang kahulugan.
Upang magbigay ng isang lohikal na tamang kahulugan, dapat isa obserbahan mga tuntunin sa kahulugan:
1. Ang kahulugan ay dapat proporsyonal, iyon ay, ang tinukoy at pagtukoy ng mga konsepto ay dapat na pantay sa dami. Upang suriin ang proporsyonalidad, kailangan mong tiyakin na ang konsepto na tinukoy ay nakakatugon sa mga katangian ng pagtukoy ng konsepto at vice versa.
Halimbawa, ibinigay ang kahulugan: "Ang parallelogram ay isang polygon na ang magkabilang panig ay magkatulad." Suriin natin ito: "Ang bawat polygon na ang magkabilang panig ay parallel ay isang parallelogram" - ito ay mali. O kaya: "ang mga parallel na linya ay mga linyang hindi nagsasalubong" (mali, maaari rin itong mga intersecting na linya).
2. Ang kahulugan ay hindi dapat maglaman ng " mabisyo na bilog" Nangangahulugan ito na imposibleng bumuo ng isang kahulugan sa paraang ang pagtukoy sa konsepto ay isa na mismong tinukoy ng konsepto na tinukoy.
Halimbawa, "ang tamang anggulo ay isang anggulo na naglalaman ng , at ang isang degree ay 1/90 ng isang tamang anggulo." Minsan ang "bisyo na bilog" ay may anyo ng isang tautolohiya (pareho sa pamamagitan ng pareho) - ang paggamit ng isang salita na may parehong kahulugan.
3. Depinisyon kung maaari hindi dapat negatibo. Dapat ipahiwatig ng kahulugan ang mahahalagang katangian ng paksa, at hindi kung ano ang hindi paksa.
Halimbawa, "ang rhombus ay hindi isang tatsulok," "ang isang ellipse ay hindi isang bilog." Sa matematika, sa ilang mga kaso, tinatanggap ang mga negatibong kahulugan, halimbawa, "anumang non-algebraic function ay tinatawag na transcendental function."
4. Ang kahulugan ay dapat malinaw At malinaw, hindi pinapayagan ang malabo o metamorphic na mga expression.
Halimbawa, ang "aritmetika ay ang reyna ng matematika" ay isang matalinghagang paghahambing, hindi isang kahulugan; ang pahayag na "katamaran ang ina ng lahat ng mga bisyo" ay nagtuturo, ngunit hindi tumutukoy sa konsepto ng katamaran.
3. Pag-uuri ng mga konsepto sa matematika. Ang saklaw ng isang konsepto ay ipinahayag sa pamamagitan ng pag-uuri. Pag-uuri ay isang sistematikong pamamahagi ng isang tiyak na set sa mga klase, na nagreresulta mula sa sunud-sunod na paghahati batay sa pagkakapareho ng mga bagay ng isang uri at ang kanilang pagkakaiba mula sa mga bagay ng iba pang mga uri.
Ang operasyon ng paghahati ay isang lohikal na operasyon na nagpapakita ng saklaw ng isang konsepto sa pamamagitan ng pag-highlight ng mga posibleng uri ng isang bagay sa loob nito. Halimbawa, ang lahat ng mga mag-aaral sa isang pedagogical na unibersidad ay maaaring hatiin sa mga nagnanais na magtrabaho sa paaralan at sa mga hindi. Ang batayan ng paghahati ay ang ari-arian ayon sa kung aling mga species ay nakikilala. Sa aming halimbawa, ang batayan ay ang pag-aari: "upang magkaroon ng intensyon na magtrabaho sa paaralan."
Kapag gumagawa ng isang pag-uuri, ang pagpili ng batayan ay mahalaga: ang iba't ibang mga kadahilanan ay nagbibigay ng iba't ibang mga pag-uuri. Ang pag-uuri ay maaaring gawin ayon sa mahahalagang katangian (natural) at hindi mahalaga (auxiliary). Sa natural na pag-uuri, alam kung saang grupo kabilang ang isang elemento, maaari nating hatulan ang mga katangian nito.
Dalawang uri ng dibisyon:
1. paghahati sa pamamagitan ng pagbabago ng isang katangian ay isang dibisyon kung saan ang ari-arian - ang batayan ng paghahati - ay likas sa mga bagay ng mga napiling uri sa iba't ibang antas
2. ang dichotomous division ay isang dibisyon kung saan ang isang ibinigay na konsepto ay nahahati sa dalawang uri ayon sa pagkakaroon o kawalan ng isang tiyak na pag-aari.
Ang operasyon ng dibisyon ay sumusunod sa mga sumusunod na patakaran:
1. Ang dibisyon ay dapat na proporsyonal, iyon ay, ang unyon ng mga napiling klase ay dapat bumuo ng orihinal na hanay (ang kabuuan ng mga volume ng mga tiyak na konsepto ay katumbas ng dami ng generic na konsepto).
2. Dapat isagawa ang paghahati gamit ang isang base lamang.
3. Dapat na walang laman ang intersection ng mga klase.
4. dapat tuloy-tuloy ang paghahati.
4. Pamamaraan para sa pagpapakilala ng mga bagong konsepto sa matematika. Sa pamamaraan ng pagtuturo ng matematika, mayroong dalawang paraan ng pagpapakilala ng mga konsepto: kongkreto-inductive At abstract-deductive(ang mga termino ay ipinakilala ng isang Russian methodologist).
Diagram ng aplikasyon kongkreto-inductive paraan.
1. Sinusuri at sinusuri ang mga halimbawa (pagsusuri, paghahambing, abstraction, generalization,...).
2. Nalilinaw ang mga pangkalahatang katangian ng konseptong nagpapakilala dito.
3. Nabubuo ang isang kahulugan.
4. Ang kahulugan ay pinalalakas sa pamamagitan ng pagbibigay ng mga halimbawa at kontra-halimbawa.
Diagram ng aplikasyon abstract-deductive paraan.
Nabuo ang kahulugan ng konsepto. Ang mga halimbawa at kontra-halimbawa ay ibinigay. Ang konsepto ay pinalalakas sa pamamagitan ng pagsasagawa ng iba't ibang pagsasanay.
Halimbawa, ang pagpapakilala ng isang quadratic equation, ang konsepto ng Cartesian coordinate, atbp.
Kapag bumubuo ng mga konsepto, ipinapayong ilapat ang mga rekomendasyon ng sikolohikal at pedagogical na agham, halimbawa, ang teorya ng unti-unting pagbuo ng mga aksyong pangkaisipan.
Stage 1. Ipinapaliwanag nila ang layunin ng ipinakilalang konsepto at nagbibigay ng oryentasyon.
Stage 2. Bumubuo ng depinisyon ang mga mag-aaral batay sa larawan.
Stage 3. Ang mga mag-aaral ay bumalangkas ng kahulugan gamit ang malakas (panlabas) na pananalita nang hindi umaasa sa isang guhit.
Stage 4. Ang kahulugan ay binibigkas sa anyo ng panlabas na pananalita sa sarili.
Stage 5. Ang kahulugan ay sinasalita sa anyo ng panloob na pananalita.
Kapag nag-aaral ng mga konsepto, kinakailangang mag-iba-iba ang mga di-mahahalagang tampok (mga prinsipyo ng pagkakaiba-iba) - ito ay isang iba't ibang pag-aayos ng mga larawan at mga guhit sa pisara, halimbawa, isang tatsulok, ang taas nito, isang patayo sa isang linya, atbp. ( hindi lamang ang pahalang na lokasyon ng isang linya, ang base ng isang tatsulok, atbp. )
Ang pag-unawa sa mga kahulugan ay nakatulong sa pamamagitan ng pagsusuri sa lohikal na istruktura ng kahulugan. Para sa layuning ito, pinagsama-sama ang mga algorithm sa pagkilala ng konsepto, mga pagdidikta sa matematika at mga pagsubok.
- Anong mga dokumento ang dapat magkaroon ng isang indibidwal na negosyante?
- Accounting para sa mga indibidwal na negosyante - mga patakaran at tampok ng independiyenteng pag-uulat sa ilalim ng iba't ibang mga rehimen ng buwis Pangunahing dokumentasyon para sa mga indibidwal na negosyante
- Accounting para sa mga indibidwal na negosyante: mga tampok ng accounting sa mga indibidwal na negosyante?
- Paano isapribado ang isang apartment, lahat tungkol sa pribatisasyon Listahan ng mga dokumento para sa pribatisasyon ng isang apartment