Gumuhit ng batas sa pamamahagi at hanapin ang inaasahan sa matematika. Pagkakaiba-iba ng isang random na variable
Solusyon.
Posibilidad na walang iginuhit na emblem: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Probabilidad na makakuha ng tatlong coat of arms: P(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125
Batas sa pamamahagi ng random variable X:
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Halimbawa Blg. 2. Ang posibilidad na matamaan ng isang tagabaril ang target ng isang shot para sa unang tagabaril ay 0.8, para sa pangalawang tagabaril - 0.85. Isang putok ang pinaputukan ng mga bumaril sa target. Isinasaalang-alang ang pag-hit sa target bilang mga independiyenteng kaganapan para sa mga indibidwal na shooter, hanapin ang posibilidad ng kaganapan A - eksaktong isang hit sa target.
Solusyon.
Isaalang-alang ang kaganapan A - isang hit sa target. Mga posibleng opsyon Ang paglitaw ng kaganapang ito ay ang mga sumusunod:
- Ang unang tagabaril ay tumama, ang pangalawang tagabaril ay hindi nakuha: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Hindi nakuha ng unang tagabaril, naabot ng pangalawang tagabaril ang target: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Ang una at pangalawang arrow ay tumama sa target nang hiwalay sa isa't isa: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
Tulad ng nalalaman, random variable ay tinatawag na variable na dami na maaaring tumagal sa ilang mga halaga depende sa kaso. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin (X, Y, Z), at ang kanilang mga halaga ay tinutukoy ng kaukulang mga maliliit na titik (x, y, z). Ang mga random na variable ay nahahati sa discontinuous (discrete) at tuluy-tuloy.
Discrete random variable tinawag random na halaga, kumukuha lamang ng isang finite o infinite (countable) na hanay ng mga value na may ilang partikular na non-zero probabilities.
Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable ay isang function na nag-uugnay sa mga halaga ng isang random na variable sa kanilang kaukulang probabilities. Maaaring tukuyin ang batas sa pamamahagi sa isa sa mga sumusunod na paraan.
1 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay ng talahanayan:
kung saan λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) sa pamamagitan ng paggamit function ng pamamahagi F(x) , na tumutukoy para sa bawat halaga x ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng halagang mas mababa sa x, ibig sabihin. F(x) = P(X< x).
Mga katangian ng function F(x)
3 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring tukuyin nang grapiko – distribution polygon (polygon) (tingnan ang problema 3).
Tandaan na upang malutas ang ilang mga problema ay hindi kinakailangang malaman ang batas sa pamamahagi. Sa ilang mga kaso, sapat na upang malaman ang isa o ilang mga numero na sumasalamin sa pinakamahalagang mga tampok ng batas sa pamamahagi. Ito ay maaaring isang numero na may kahulugan ng "average na halaga" ng isang random na variable, o isang numero na nagpapakita ng average na laki ng deviation ng isang random na variable mula sa average na halaga nito. Ang mga numero ng ganitong uri ay tinatawag na mga numerical na katangian ng isang random na variable.
Mga pangunahing katangian ng numero ng isang discrete random variable :
- Pag-asa sa matematika
(average na halaga) ng isang discrete random variable M(X)=Σ x i p i.
Para sa binomial distribution M(X)=np, para sa Poisson distribution M(X)=λ - Pagpapakalat
discrete random variable D(X)=M2 o D(X) = M(X 2)− 2. Ang pagkakaiba X–M(X) ay tinatawag na paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito.
Para sa binomial distribution D(X)=npq, para sa Poisson distribution D(X)=λ - Karaniwang lihis (karaniwang lihis) σ(X)=√D(X).
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable"
Gawain 1.
1000 inilabas mga tiket sa lottery: para sa 5 sa kanila ay may panalong 500 rubles, para sa 10 - isang panalo ng 100 rubles, para sa 20 - isang panalo ng 50 rubles, para sa 50 - isang panalo ng 10 rubles. Tukuyin ang batas ng probability distribution ng random variable X - mga panalo sa bawat tiket.
Solusyon. Ayon sa mga kondisyon ng problema, ang mga sumusunod na halaga ng random variable X ay posible: 0, 10, 50, 100 at 500.
Ang bilang ng mga tiket na hindi nanalo ay 1000 – (5+10+20+50) = 915, pagkatapos ay P(X=0) = 915/1000 = 0.915.
Sa katulad na paraan, nakita namin ang lahat ng iba pang mga probabilidad: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. Ipakita natin ang nagresultang batas sa anyo ng isang talahanayan:
Hanapin natin ang mathematical expectation ng value X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
Gawain 3.
Ang aparato ay binubuo ng tatlong independiyenteng mga elemento ng operating. Ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa isang eksperimento ay 0.1. Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento, bumuo ng polygon ng pamamahagi. Hanapin ang distribution function na F(x) at i-plot ito. Hanapin ang mathematical expectation, variance at standard deviation ng isang discrete random variable.
Solusyon. 1. Ang discrete random variable X = (ang bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento) ay may mga sumusunod na posibleng halaga: x 1 = 0 (wala sa mga elemento ng device ang nabigo), x 2 = 1 (isang elemento ang nabigo), x 3 = 2 ( dalawang elemento ang nabigo ) at x 4 =3 (tatlong elemento ang nabigo).
Ang mga pagkabigo ng mga elemento ay independiyente sa bawat isa, ang mga posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay pantay, samakatuwid ito ay naaangkop Formula ni Bernoulli
. Isinasaalang-alang na, ayon sa kondisyon, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, tinutukoy namin ang mga probabilidad ng mga halaga:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
Suriin: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
Kaya, ang gustong binomial distribution law ng X ay may anyo:
Inilalagay namin ang mga posibleng halaga ng x i kasama ang abscissa axis, at ang kaukulang probabilities p i kasama ang ordinate axis. Bumuo tayo ng mga puntos na M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga puntong ito sa mga segment ng tuwid na linya, nakukuha namin ang nais na polygon ng pamamahagi.
3. Hanapin natin ang distribution function F(x) = Р(Х
Para sa x ≤ 0 mayroon tayong F(x) = Р(Х<0) = 0;para sa 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
para sa 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para sa 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para sa x > 3 magkakaroon ng F(x) = 1, dahil maaasahan ang kaganapan.
![]() |
Graph ng function F(x)
4.
Para sa binomial distribution X:
- inaasahan sa matematika M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- variance D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- karaniwang paglihis σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
Maaari naming i-highlight ang pinakakaraniwang mga batas ng pamamahagi ng mga discrete random variable:
- Binomial distribution law
- Batas sa pamamahagi ng Poisson
- Batas sa pamamahagi ng geometriko
- Batas sa pamamahagi ng hypergeometric
Para sa mga ibinigay na distribusyon ng mga discrete random variable, ang pagkalkula ng mga probabilidad ng kanilang mga halaga, pati na rin ang mga numerical na katangian (pang-matematika na pag-asa, pagkakaiba, atbp.) ay isinasagawa gamit ang ilang "mga formula". Samakatuwid, napakahalagang malaman ang mga ganitong uri ng pamamahagi at ang kanilang mga pangunahing katangian.
1. Binomial distribution law.
Ang isang discrete random variable na $X$ ay napapailalim sa binomial probability distribution law kung ito ay kukuha ng mga value na $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ na may probabilities $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\kaliwa(1-p\kanan))^(n-k)$. Sa katunayan, ang random na variable na $X$ ay ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapang $A$ sa $n$ na mga independyenteng pagsubok. Batas ng probability distribution ng random variable $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(array)$
Para sa gayong random na variable, ang mathematical na inaasahan ay $M\left(X\right)=np$, ang variance ay $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Halimbawa . Ang pamilya ay may dalawang anak. Ipagpalagay na ang mga probabilidad ng pagkakaroon ng isang lalaki at isang babae ay katumbas ng $0.5$, hanapin ang batas ng pamamahagi ng random variable na $\xi$ - ang bilang ng mga lalaki sa pamilya.
Hayaang ang random variable na $\xi $ ang bilang ng mga lalaki sa pamilya. Mga value na maaaring kunin ng $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$. Ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay matatagpuan gamit ang formula na $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, kung saan ang $n =2$ ay ang bilang ng mga independiyenteng pagsubok, ang $p=0.5$ ay ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap sa isang serye ng mga $n$ na pagsubok. Nakukuha namin:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$
Pagkatapos ang batas ng pamamahagi ng random variable na $\xi $ ay ang pagsusulatan sa pagitan ng mga halaga $0,\ 1,\ 2$ at ang kanilang mga probabilities, iyon ay:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0.25 & 0.5 & 0.25 \\
\hline
\end(array)$
Ang kabuuan ng mga probabilidad sa batas sa pamamahagi ay dapat na katumbas ng $1$, ibig sabihin, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.
Inaasahan $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, variance $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, karaniwang deviation $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\approx $0.707.
2. Batas sa pamamahagi ng Poisson.
Kung ang isang discrete random variable na $X$ ay maaari lamang kumuha ng mga non-negative integer values $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ na may probabilities na $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Magkomento. Ang kakaiba ng distribusyon na ito ay, batay sa pang-eksperimentong data, nakakakita kami ng mga pagtatantya na $M\kaliwa(X\kanan),\ D\kaliwa(X\kanan)$, kung ang nakuhang mga pagtatantya ay malapit sa isa't isa, kung gayon mayroon kaming dahilan upang igiit na ang random na variable ay napapailalim sa batas ng pamamahagi ng Poisson.
Halimbawa . Ang mga halimbawa ng mga random na variable na napapailalim sa batas sa pamamahagi ng Poisson ay maaaring: ang bilang ng mga sasakyan na ihahatid ng isang gasolinahan bukas; bilang ng mga may sira na item sa mga ginawang produkto.
Halimbawa . Nagpadala ang pabrika ng $500$ ng mga produkto sa base. Ang posibilidad ng pagkasira ng produkto sa pagpapadala ay $0.002$. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng random variable na $X$ na katumbas ng bilang ng mga nasirang produkto; ano ang $M\left(X\right),\D\left(X\right)$.
Hayaang ang discrete random variable na $X$ ang bilang ng mga nasirang produkto. Ang nasabing random variable ay napapailalim sa Poisson distribution law na may parameter na $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$. Ang mga probabilidad ng mga halaga ay katumbas ng $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Batas sa pamamahagi ng random variable na $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$
Para sa gayong random na variable, ang mathematical expectation at variance ay katumbas ng isa't isa at katumbas ng parameter na $\lambda $, iyon ay, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. Batas sa pamamahagi ng geometriko.
Kung ang isang discrete random variable na $X$ ay maaari lamang kumuha ng mga natural na halaga $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ na may probabilities $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ kanan)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, pagkatapos ay sinasabi nila na ang naturang random variable na $X$ ay napapailalim sa geometric law ng probability distribution. Sa katunayan, ang geometric distribution ay isang Bernoulli test hanggang sa unang tagumpay.
Halimbawa . Ang mga halimbawa ng mga random na variable na may geometric distribution ay maaaring: ang bilang ng mga shot bago ang unang hit sa target; bilang ng mga pagsubok sa device hanggang sa unang pagkabigo; ang bilang ng mga paghagis ng barya hanggang sa lumabas ang unang ulo, atbp.
Ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng isang random na variable na napapailalim sa geometric distribution ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $2.
Halimbawa . Sa paraan ng paggalaw ng isda patungo sa lugar ng pangingitlog ay mayroong $4$ lock. Ang posibilidad ng isda na dumaan sa bawat lock ay $p=3/5$. Bumuo ng isang serye ng pamamahagi ng random variable na $X$ - ang bilang ng mga kandado na ipinasa ng isda bago ang unang detensyon sa lock. Hanapin ang $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Hayaang ang random variable na $X$ ang bilang ng mga kandado na ipinasa ng isda bago ang unang pag-aresto sa lock. Ang nasabing random variable ay napapailalim sa geometric law ng probability distribution. Mga value na maaaring kunin ng random variable na $X:$ 1, 2, 3, 4. Ang mga probabilidad ng mga value na ito ay kinakalkula gamit ang formula: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, kung saan: $ p=2/5$ - posibilidad na makulong ang isda sa pamamagitan ng lock, $q=1-p=3/5$ - posibilidad na dumaan ang isda sa lock, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ higit sa (5))=0.4;$
$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0.24; $
$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ mahigit (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$
$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3)\over (5))\right))^4=((27)\over (125))=0.216.$
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0.4 & 0.24 & 0.144 & 0.216 \\
\hline
\end(array)$
Inaasahang halaga:
$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$
Dispersion:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\kanan))^2+0,24\cdot (\kaliwa(2-2,176\kanan))^2+0,144\cdot (\kaliwa(3-2,176\kanan))^2+$
$+\0.216\cdot (\kaliwa(4-2,176\kanan))^2\approx 1.377.$
Karaniwang lihis:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$
4. Batas sa pamamahagi ng hypergeometric.
Kung ang mga bagay na $N$, kung saan ang mga bagay na $m$ ay may ibinigay na katangian. Ang mga $n$ na bagay ay random na kinukuha nang hindi bumabalik, kung saan mayroong $k$ na mga bagay na may ibinigay na pag-aari. Ginagawang posible ng hypergeometric distribution na matantya ang posibilidad na ang eksaktong $k$ na mga bagay sa sample ay may ibinigay na katangian. Hayaang ang random na variable na $X$ ang bilang ng mga bagay sa sample na may ibinigay na property. Pagkatapos ang mga probabilidad ng mga halaga ng random variable na $X$:
$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$
Magkomento. Ang statistical function na HYPERGEOMET ng Excel $f_x$ function wizard ay nagpapahintulot sa iyo na matukoy ang posibilidad na ang isang tiyak na bilang ng mga pagsubok ay magiging matagumpay.
$f_x\to$ istatistika$\to$ HYPERGEOMET$\to$ OK. May lalabas na dialog box na kailangan mong punan. Sa column Bilang_ng_mga_tagumpay_sa_sample ipahiwatig ang halaga $k$. sample_size katumbas ng $n$. Sa column Bilang_ng_mga_tagumpay_sa_sama ipahiwatig ang halaga $m$. laki ng populasyon katumbas ng $N$.
Ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng isang discrete random variable na $X$, na napapailalim sa geometric distribution law, ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.
Halimbawa . Ang departamento ng kredito ng bangko ay gumagamit ng 5 mga espesyalista na may mas mataas na edukasyon sa pananalapi at 3 mga espesyalista na may mas mataas na legal na edukasyon. Nagpasya ang pamunuan ng bangko na magpadala ng 3 mga espesyalista upang mapabuti ang kanilang mga kwalipikasyon, na pinili sila sa random na pagkakasunud-sunod.
a) Gumawa ng serye ng pamamahagi para sa bilang ng mga espesyalista na may mas mataas na edukasyon sa pananalapi na maaaring ipadala upang mapabuti ang kanilang mga kasanayan;
b) Hanapin ang mga numerical na katangian ng distribusyon na ito.
Hayaang ang random variable na $X$ ay ang bilang ng mga espesyalista na may mas mataas na edukasyong pinansyal sa tatlong napili. Mga value na maaaring kunin ng $X: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Ang random variable na ito na $X$ ay ipinamamahagi ayon sa isang hypergeometric distribution na may mga sumusunod na parameter: $N=8$ - laki ng populasyon, $m=5$ - bilang ng mga tagumpay sa populasyon, $n=3$ - laki ng sample, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - bilang ng mga tagumpay sa sample. Pagkatapos ay ang mga probabilidad na $P\left(X=k\right)$ ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ higit sa C_( N)^(n) ) $. Meron kami:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0.018;$
$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0.268;$
$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0.536;$
$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\approx 0.179.$
Pagkatapos ang serye ng pamamahagi ng random variable na $X$:
$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hline
\end(array)$
Kalkulahin natin ang mga numerical na katangian ng random variable na $X$ gamit ang mga pangkalahatang formula ng hypergeometric distribution.
$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$
$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\kanan))\over (8-1))=((225)\over (448))\approx 0.502.$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\approx 0.7085.$
Random variable Ang isang dami ay tinatawag na, bilang isang resulta ng mga pagsubok na isinagawa sa ilalim ng parehong mga kondisyon, ay tumatagal sa iba't ibang, sa pangkalahatan, ang mga halaga depende sa random na mga kadahilanan na hindi isinasaalang-alang. Mga halimbawa ng mga random na variable: ang bilang ng mga puntos na pinagsama sa isang dice, ang bilang ng mga may sira na produkto sa isang batch, ang paglihis ng punto ng epekto ng projectile mula sa target, ang uptime ng isang device, atbp. Mayroong discrete at tuluy-tuloy mga random na variable. discrete Ang isang random na variable ay tinatawag, ang mga posibleng halaga na bumubuo ng isang mabibilang na hanay, may hangganan o walang katapusan (iyon ay, isang set na ang mga elemento ay maaaring bilangin).
Tuloy-tuloy Ang isang random na variable ay tinatawag, ang mga posibleng halaga na patuloy na pinupuno ang ilang may hangganan o walang katapusang pagitan ng linya ng numero. Ang bilang ng mga halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay palaging walang hanggan.
Magsasaad kami ng mga random na variable na may malalaking titik mula sa dulo ng alpabetong Latin: X, Y, . ; random variable values – sa maliliit na titik: X, y,. . kaya, X Nagsasaad ng buong hanay ng mga posibleng halaga ng isang random na variable, at X - Ilan sa mga tiyak na kahulugan nito.
Batas ng pamamahagi Ang isang discrete random variable ay isang sulat na tinukoy sa anumang anyo sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random variable at ang kanilang mga probabilities.
Hayaan ang mga posibleng halaga ng random variable X Ay . Bilang resulta ng pagsubok, ang random na variable ay kukuha ng isa sa mga halagang ito, i.e. Isang kaganapan mula sa isang kumpletong pangkat ng magkapares na hindi tugmang mga kaganapan ang magaganap.
Hayaang malaman din ang mga probabilidad ng mga pangyayaring ito:
Batas sa pamamahagi ng isang random na variable X Maaaring isulat sa anyo ng isang talahanayan na tinatawag na Malapit sa pamamahagi Discrete random variable:
Mga random na variable. Discrete random variable.
Inaasahang halaga
Pangalawang seksyon sa teorya ng posibilidad nakatuon mga random na variable , na hindi nakikitang sinamahan kami sa literal na bawat artikulo sa paksa. At dumating na ang sandali upang malinaw na bumalangkas kung ano ito:
Random tinawag laki, na bilang resulta ng pagsusulit ay kukuha isa at isa lamang isang numerical value na nakadepende sa mga random na salik at hindi mahuhulaan nang maaga.
Ang mga random na variable ay karaniwang magpakilala sa pamamagitan ng * , at ang kanilang mga kahulugan ay nakasulat sa kaukulang maliliit na titik na may mga subscript, halimbawa, .
* Minsan ginagamit din ang mga letrang Griyego
Nakatagpo kami ng isang halimbawa sa unang aralin sa teorya ng posibilidad, kung saan aktwal naming isinasaalang-alang ang sumusunod na random na variable:
– ang bilang ng mga puntos na lilitaw pagkatapos ihagis ang dice.
Bilang resulta ng pagsubok na ito, mahuhulog ito isa lang at wala ng iba ang linya, kung alin ang eksaktong, ay hindi mahuhulaan (hindi namin isinasaalang-alang ang mga trick); sa kasong ito, ang random na variable ay maaaring tumagal ng isa sa mga sumusunod na halaga:
– ang bilang ng mga lalaki sa 10 bagong silang.
Ganap na malinaw na ang bilang na ito ay hindi alam nang maaga, at ang susunod na sampung anak na ipinanganak ay maaaring kabilang ang:
O mga lalaki - isa at isa lamang mula sa mga nakalistang opsyon.
At, upang mapanatili ang hugis, isang maliit na pisikal na edukasyon:
– long jump distance (sa ilang unit).
Kahit na ang isang master ng sports ay hindi mahuhulaan ito :)
Gayunpaman, ang iyong mga hypotheses?
Sa lalong madaling panahon hanay ng mga tunay na numero walang hanggan, kung gayon ang random na variable ay maaaring tumagal walang katapusang marami mga halaga mula sa isang tiyak na agwat. At ito ang pangunahing pagkakaiba nito mula sa mga nakaraang halimbawa.
kaya, Maipapayo na hatiin ang mga random na variable sa 2 malalaking grupo:
1) Discrete (paputol-putol) random variable - kumukuha ng indibidwal, nakahiwalay na mga halaga. Bilang ng mga halagang ito tiyak o walang katapusan ngunit mabibilang.
...may mga hindi malinaw na termino? Mapilit naming ulitin mga pangunahing kaalaman sa algebra!
2) Continuous random variable – tumatanggap Lahat mga numerical na halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusang pagitan.
Tandaan : ang mga pagdadaglat na DSV at NSV ay popular sa literatura na pang-edukasyon
Una, pag-aralan natin ang discrete random variable, pagkatapos - tuloy-tuloy.
Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable
- Ito pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga ng dami na ito at ang kanilang mga probabilidad. Kadalasan, ang batas ay nakasulat sa isang talahanayan:
Ang termino ay madalas na lumilitaw hilera
pamamahagi, ngunit sa ilang mga sitwasyon ito ay tila hindi maliwanag, at kaya ako ay mananatili sa "batas".
At ngayon napakahalagang punto: dahil ang random variable Kailangan tatanggapin isa sa mga halaga, pagkatapos ay mabuo ang kaukulang mga kaganapan buong grupo at ang kabuuan ng mga probabilidad ng kanilang paglitaw ay katumbas ng isa:
o, kung nakasulat na condensed:
Kaya, halimbawa, ang batas ng probability distribution ng mga puntos na pinagsama sa isang die ay may sumusunod na anyo:
Maaaring nasa ilalim ka ng impresyon na ang isang discrete random variable ay maaari lamang kumuha ng "magandang" integer value. Iwaksi natin ang ilusyon - maaari silang maging anuman:
Ang ilang laro ay may sumusunod na batas sa pamamahagi ng panalong:
…malamang matagal mo nang pinangarap ang mga ganoong gawain 🙂 may sasabihin ako sa iyo ng sikreto – ako rin. Lalo na pagkatapos ng trabaho teorya sa larangan.
Solusyon: dahil ang isang random na variable ay maaaring tumagal lamang ng isa sa tatlong mga halaga, ang mga kaukulang kaganapan ay nabuo buong grupo, na nangangahulugang ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng isa:
Inilalantad ang "partisan":
– sa gayon, ang posibilidad na manalo ng mga conventional unit ay 0.4.
Kontrol: iyon ang kailangan naming tiyakin.
Sagot:
Karaniwan kapag kailangan mong gumawa ng isang batas sa pamamahagi sa iyong sarili. Para dito ginagamit nila klasikal na kahulugan ng posibilidad, multiplication/addition theorems para sa mga probabilities ng kaganapan at iba pang chips tervera:
Ang kahon ay naglalaman ng 50 mga tiket sa lottery, kung saan 12 ang nanalo, at 2 sa kanila ang nanalo ng 1000 rubles bawat isa, at ang natitira - 100 rubles bawat isa. Gumuhit ng isang batas para sa pamamahagi ng isang random na variable - ang laki ng mga panalo, kung ang isang tiket ay kinuha nang random mula sa kahon.
Solusyon: tulad ng napansin mo, ang mga halaga ng isang random na variable ay karaniwang inilalagay sa sa pataas na ayos. Samakatuwid, nagsisimula kami sa pinakamaliit na panalo, katulad ng mga rubles.
Mayroong 50 tulad ng mga tiket sa kabuuan - 12 = 38, at ayon sa klasikal na kahulugan:
– ang posibilidad na ang isang random na iginuhit na tiket ay magiging isang talunan.
Sa ibang mga kaso ang lahat ay simple. Ang posibilidad na manalo ng rubles ay:
At para sa:
Suriin: - at ito ay isang partikular na kaaya-ayang sandali ng gayong mga gawain!
Sagot: ang gustong batas ng pamamahagi ng mga panalo:
Ang sumusunod na gawain ay para sa iyo na lutasin nang mag-isa:
Ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target ay . Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa isang random na variable - ang bilang ng mga hit pagkatapos ng 2 shot.
...I knew that you missed him :) Tandaan natin multiplication at addition theorems. Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin.
Ang batas sa pamamahagi ay ganap na naglalarawan ng isang random na variable, ngunit sa pagsasanay maaari itong maging kapaki-pakinabang (at kung minsan ay mas kapaki-pakinabang) upang malaman lamang ang ilan sa mga ito. mga katangiang numero .
Pag-asa ng isang discrete random variable
Sa madaling salita, ito ay average na inaasahang halaga kapag ang pagsubok ay paulit-ulit na maraming beses. Hayaan ang random na variable na kumuha ng mga halaga na may mga probabilidad nang naaayon. Kung gayon ang mathematical na inaasahan ng random variable na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto lahat ng mga halaga nito sa kaukulang mga probabilidad:
o gumuho:
Kalkulahin natin, halimbawa, ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable - ang bilang ng mga puntos na pinagsama sa isang die:
Ano ang probabilistikong kahulugan ng resultang nakuha? Kung pagulungin mo ang dice sapat na beses, pagkatapos average na halaga Ang mga puntos na ibinaba ay magiging malapit sa 3.5 - at kung mas maraming pagsubok ang gagawin mo, mas malapit. Sa totoo lang, nagsalita na ako nang detalyado tungkol sa epektong ito sa aralin tungkol sa istatistikal na posibilidad.
Ngayon tandaan natin ang ating hypothetical na laro:
Ang tanong ay lumitaw: kumikita ba ang paglalaro ng larong ito? ...sino ang may anumang mga impression? Kaya't hindi mo ito masasabing "nagkataon"! Ngunit ang tanong na ito ay madaling masagot sa pamamagitan ng pagkalkula ng inaasahan sa matematika, mahalagang - weighted average sa pamamagitan ng posibilidad na manalo:
Kaya, ang matematikal na inaasahan ng larong ito natatalo.
Huwag magtiwala sa iyong mga impression - magtiwala sa mga numero!
Oo, dito maaari kang manalo ng 10 o kahit na 20-30 beses sa isang hilera, ngunit sa katagalan, hindi maiiwasang pagkasira ang naghihintay sa atin. At hindi ko ipapayo sa iyo na maglaro ng mga ganoong laro :) Well, marahil lamang para sa kasiyahan.
Mula sa lahat ng nasa itaas, sumusunod na ang mathematical na inaasahan ay hindi na isang RANDOM na halaga.
Malikhaing gawain para sa independiyenteng pananaliksik:
Si Mr. X ay naglalaro ng European roulette gamit ang sumusunod na sistema: palagi siyang tumataya ng 100 rubles sa "pula". Gumuhit ng batas ng pamamahagi ng isang random na variable - ang mga panalo nito. Kalkulahin ang mathematical na inaasahan ng mga panalo at bilugan ito sa pinakamalapit na kopeck. Ilan karaniwan Matatalo ba ang manlalaro sa bawat daan na kanyang taya?
Sanggunian : Ang European roulette ay naglalaman ng 18 pula, 18 itim at 1 berdeng sektor (“zero”). Kung ang isang "pula" ay lilitaw, ang manlalaro ay binabayaran ng doble ng taya, kung hindi, ito ay mapupunta sa kita ng casino
Mayroong maraming iba pang mga sistema ng roulette kung saan maaari kang lumikha ng iyong sariling mga talahanayan ng posibilidad. Ngunit ito ang kaso kapag hindi namin kailangan ng anumang mga batas o talahanayan ng pamamahagi, dahil tiyak na natukoy na ang inaasahan sa matematika ng manlalaro ay eksaktong pareho. Ang tanging bagay na nagbabago mula sa sistema hanggang sa sistema ay pagpapakalat, na malalaman natin sa ika-2 bahagi ng aralin.
Ngunit una, magiging kapaki-pakinabang na iunat ang iyong mga daliri sa mga key ng calculator:
Ang isang random na variable ay tinukoy ng probability distribution law nito:
Hanapin kung ito ay kilala na. Magsagawa ng check.
Pagkatapos ay magpatuloy tayo sa pag-aaral pagkakaiba-iba ng isang discrete random variable, at kung maaari, NGAYON NA!!- para hindi mawala ang thread ng topic.
Mga solusyon at sagot:
Halimbawa 3. Solusyon: sa pamamagitan ng kondisyon – ang posibilidad na matamaan ang target. Pagkatapos:
– posibilidad ng miss.
Buuin natin ang batas ng pamamahagi ng hit para sa dalawang shot:
- ni isang hit. Sa pamamagitan ng ang teorama ng pagpaparami ng mga probabilidad ng mga malayang kaganapan:
- isang hit. Sa pamamagitan ng theorems para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng hindi magkatugma at pagpaparami ng mga independiyenteng kaganapan:
- dalawang hit. Ayon sa theorem ng multiplikasyon ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan:
Suriin: 0.09 + 0.42 + 0.49 = 1
Sagot :
Tandaan : maaari kang gumamit ng mga notasyon - hindi mahalaga.
Halimbawa 4. Solusyon: ang manlalaro ay nanalo ng 100 rubles sa 18 kaso sa 37, at samakatuwid ang batas ng pamamahagi ng kanyang mga panalo ay ang mga sumusunod:
Kalkulahin natin ang inaasahan sa matematika:
Kaya, para sa bawat daang taya, ang manlalaro ay natatalo sa average na 2.7 rubles.
Halimbawa 5. Solusyon: sa pamamagitan ng kahulugan ng inaasahan sa matematika:
Magpalit tayo ng mga bahagi at gumawa ng mga pagpapasimple:
kaya:
Suriin natin:
, na kung ano ang kailangang suriin.
Sagot :
(Pumunta sa pangunahing pahina)
Mataas na kalidad na mga gawa nang walang plagiarism - Zaochnik.com
www.mathprofi.ru
Mga discrete na random variable
Random variable Ang isang variable ay tinatawag na isang variable na, bilang resulta ng bawat pagsubok, ay tumatagal sa isang dating hindi alam na halaga, depende sa mga random na dahilan. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malaking Latin na letra: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Ayon sa kanilang uri, ang mga random na variable ay maaaring discrete At tuloy-tuloy.
Discrete random variable- ito ay isang random na variable na ang mga halaga ay maaaring hindi hihigit sa mabibilang, iyon ay, alinman sa may hangganan o mabibilang. Sa pamamagitan ng countability, ibig sabihin namin na ang mga halaga ng isang random na variable ay maaaring bilangin.
Halimbawa 1 . Narito ang mga halimbawa ng mga discrete random variable:
a) ang bilang ng mga hit sa target na may $n$ shot, dito ang mga posibleng value ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) ang bilang ng mga emblem na nalaglag kapag naghagis ng barya, dito ang mga posibleng halaga ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) ang bilang ng mga barkong dumarating sakay (isang mabibilang na hanay ng mga halaga).
d) ang bilang ng mga tawag na dumarating sa PBX (mabilang na hanay ng mga halaga).
1. Batas ng probability distribution ng isang discrete random variable.
Ang isang discrete random variable na $X$ ay maaaring kumuha ng mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ na may probabilities na $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Ang pagsusulatan sa pagitan ng mga halagang ito at ang kanilang mga probabilidad ay tinatawag batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable. Bilang isang tuntunin, ang sulat na ito ay tinukoy gamit ang isang talahanayan, ang unang linya kung saan ay nagpapahiwatig ng mga halaga $x_1,\dots ,\ x_n$, at ang pangalawang linya ay naglalaman ng mga probabilities na $p_1,\dots ,\ p_n$ na katumbas ng ang mga halagang ito.
$\magsimula
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end$
Halimbawa 2 . Hayaang ang random variable na $X$ ang bilang ng mga puntos na pinagsama kapag naghahagis ng die. Ang ganitong random na variable na $X$ ay maaaring tumagal ng mga sumusunod na halaga: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Ang mga probabilidad ng lahat ng mga halagang ito ay katumbas ng $1/6$. Pagkatapos ang batas ng probability distribution ng random variable $X$:
$\magsimula
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end$
Magkomento. Dahil sa batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable $X$ ang mga kaganapan $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan, kung gayon ang kabuuan ng mga probabilidad ay dapat na katumbas ng isa, iyon ay, $\sum
2. Mathematical expectation ng isang discrete random variable.
Pag-asa ng isang random na variable nagtatakda ng "gitnang" kahulugan nito. Para sa isang discrete random variable, ang mathematical expectation ay kinakalkula bilang kabuuan ng mga produkto ng mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ at ang probabilities $p_1,\dots ,\ p_n$ na naaayon sa mga value na ito, iyon ay : $M\left(X\right)=\sum ^n_
Mga katangian ng inaasahan sa matematika$M\kaliwa(X\kanan)$:
- Ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit at pinakamalaking value ng random variable na $X$.
- Ang pag-asa sa matematika ng isang pare-pareho ay katumbas ng pare-pareho mismo, i.e. $M\left(C\right)=C$.
- Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng inaasahan sa matematika: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Ang inaasahan sa matematika ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga inaasahan sa matematika: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Ang mathematical expectation ng produkto ng independent random variables ay katumbas ng product ng kanilang mathematical expectations: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Halimbawa 3 . Hanapin natin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.
Mapapansin natin na ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit ($1$) at pinakamalaking ($6$) na halaga ng random variable na $X$.
Halimbawa 4 . Alam na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=2$. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $3X+5$.
Gamit ang mga katangian sa itaas, nakukuha namin ang $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=$11.
Halimbawa 5 . Nabatid na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=4$. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $2X-9$.
Gamit ang mga katangian sa itaas, makakakuha tayo ng $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Pagpapakalat ng isang discrete random variable.
Ang mga posibleng halaga ng mga random na variable na may pantay na mga inaasahan sa matematika ay maaaring magkalat nang iba sa kanilang mga average na halaga. Halimbawa, sa dalawang grupo ng mag-aaral ang average na marka para sa pagsusulit sa teorya ng probabilidad ay naging 4, ngunit sa isang grupo ang lahat ay naging mahusay na mga mag-aaral, at sa kabilang grupo ay mayroon lamang mga mag-aaral na C at mahusay na mga mag-aaral. Samakatuwid, mayroong pangangailangan para sa isang numerical na katangian ng isang random na variable na magpapakita ng pagkalat ng mga halaga ng random variable sa paligid ng kanyang inaasahan sa matematika. Ang katangiang ito ay pagpapakalat.
Pagkakaiba ng isang discrete random variable Ang $X$ ay katumbas ng:
Sa panitikang Ingles ang notasyong $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ ay ginagamit. Kadalasan ang variance $D\left(X\right)$ ay kinakalkula gamit ang formula na $D\left(X\right)=\sum^n_
Mga katangian ng pagpapakalat$D\left(X\right)$:
- Ang pagkakaiba ay palaging mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero, i.e. $D\left(X\right)\ge 0$.
- Ang pagkakaiba-iba ng pare-pareho ay zero, i.e. $D\left(C\right)=0$.
- Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign sa kondisyon na ito ay squared, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
- Ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
- Ang pagkakaiba ng pagkakaiba sa pagitan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
Halimbawa 6 . Kalkulahin natin ang pagkakaiba ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.
Halimbawa 7 . Alam na ang pagkakaiba ng random variable na $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=2$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $4X+1$.
Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kaliwa(X\kanan)=16\cdot 2=32$.
Halimbawa 8 . Alam na ang pagkakaiba ng random variable na $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=3$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $3-2X$.
Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3=12$.
4. Distribution function ng isang discrete random variable.
Ang paraan ng kumakatawan sa isang discrete random variable sa anyo ng isang serye ng pamamahagi ay hindi lamang isa, at higit sa lahat, ito ay hindi pangkalahatan, dahil ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay hindi maaaring tukuyin gamit ang isang serye ng pamamahagi. May isa pang paraan upang kumatawan sa isang random na variable - ang distribution function.
Pag-andar ng pamamahagi Ang random variable na $X$ ay tinatawag na function na $F\left(x\right)$, na tumutukoy sa posibilidad na ang random variable na $X$ ay kukuha ng value na mas mababa sa ilang fixed value na $x$, iyon ay, $F\ kaliwa(x\kanan )=P\kaliwa(X 6$, pagkatapos ay $F\kaliwa(x\kanan)=P\kaliwa(X=1\kanan)+P\kaliwa(X=2\kanan)+P\ kaliwa(X=3 \kanan)+P\kaliwa(X=4\kanan)+P\kaliwa(X=5\kanan)+P\kaliwa(X=6\kanan)=1/6+1/6+ 1/6+1 /6+1/6+1/6=1$.
Graph ng distribution function $F\left(x\right)$:
Mga pangunahing batas ng pamamahagi
1. Binomial distribution law.
Inilalarawan ng batas sa pamamahagi ng binomial ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A m beses sa n independiyenteng pagsubok, sa kondisyon na ang posibilidad na p ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok ay pare-pareho.
Halimbawa, ang departamento ng pagbebenta ng isang home appliance store ay tumatanggap sa average ng isang order para sa pagbili ng mga telebisyon sa 10 mga tawag. Bumuo ng batas ng pamamahagi ng posibilidad para sa pagbili ng m telebisyon. Bumuo ng probability distribution polygon.
Sa talahanayan m - ang bilang ng mga order na natanggap ng kumpanya para sa pagbili ng isang TV. Ang C n m ay ang bilang ng mga kumbinasyon ng m telebisyon sa pamamagitan ng n, p ay ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A, i.e. pag-order ng TV, ang q ay ang posibilidad na hindi mangyari ang kaganapan A, i.e. hindi pag-order ng TV, P m,n ay ang posibilidad ng pag-order ng m TV mula sa n. Ipinapakita ng Figure 1 ang probability distribution polygon.
2. Geometric distribution.
Ang geometric distribution ng isang random variable ay may sumusunod na anyo:
Ang P m ay ang posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa pagsubok na numero m.
p ay ang posibilidad ng kaganapan A na nagaganap sa isang pagsubok.
q = 1 - p
Halimbawa. Nakatanggap ang isang kumpanya ng pag-aayos ng appliance ng sambahayan ng isang batch ng 10 ekstrang unit para sa mga washing machine. May mga pagkakataon na ang isang batch ay lumalabas na may 1 defective block. Ang isang inspeksyon ay isinasagawa hanggang sa matukoy ang isang may sira na yunit. Kinakailangan na gumuhit ng isang batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga na-verify na bloke. Ang posibilidad na ang isang bloke ay maaaring may depekto ay 0.1. Bumuo ng probability distribution polygon.
Ipinapakita ng talahanayan na habang tumataas ang bilang na m, bumababa ang posibilidad na matukoy ang isang may sira na bloke. Ang huling linya (m=10) ay pinagsasama ang dalawang probabilidad: 1 - na ang ikasampung bloke ay naging sira - 0.038742049, 2 - na lahat ng nasuri na bloke ay gumagana - 0.34867844. Dahil ang posibilidad na ang isang bloke ay may sira ay medyo mababa (p = 0.1), ang posibilidad ng huling kaganapan P m (10 nasubok na mga bloke) ay medyo mataas. Fig.2.
3. Hypergeometric distribution.
Ang hypergeometric distribution ng isang random na variable ay may sumusunod na anyo:
Halimbawa, gumuhit ng isang batas para sa pamamahagi ng 7 nahulaan na mga numero sa 49. Sa halimbawang ito, ang kabuuang mga numero ay N = 49, n = 7 mga numero ay inalis, M - ang kabuuang mga numero na may isang naibigay na ari-arian, i.e. ng wastong nahulaan na mga numero, ang m ay ang bilang ng mga wastong nahulaan na numero sa mga na-withdraw.
Ipinapakita ng talahanayan na ang posibilidad ng paghula ng isang numero m=1 ay mas mataas kaysa sa m=0. Gayunpaman, ang posibilidad ay nagsisimula nang mabilis na bumaba. Kaya, ang posibilidad ng paghula ng 4 na numero ay mas mababa sa 0.005, at 5 ay bale-wala.
4.Batas sa pamamahagi ng Poisson.
Ang random variable X ay may Poisson distribution kung ang distribution law nito ay may anyo:
Np = const
n ay ang bilang ng mga pagsubok na umaabot sa infinity
p ay ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap, na may posibilidad na maging zero
m ay ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A
Halimbawa, sa isang karaniwang araw ang isang kumpanya na nagbebenta ng mga telebisyon ay tumatanggap ng humigit-kumulang 100 mga tawag. Ang posibilidad ng pag-order ng isang TV brand A ay 0.08; B - 0.06 at C - 0.04. Bumuo ng batas para sa pamamahagi ng mga order para sa pagbili ng mga telebisyon ng mga tatak A, B at C. Bumuo ng probability distribution polygon.
Mula sa kondisyon na mayroon tayo: m=100, ? 1 =8, ? 2 =6, ? 3 =4 (?10)
(ang talahanayan ay hindi ibinigay nang buo)
Kung ang n ay sapat na malaki upang magkaroon ng infinity, at ang halaga ng p ay may posibilidad na zero, upang ang produkto np ay nagiging pare-pareho ang numero, kung gayon ang batas na ito ay isang approximation sa binomial distribution law. Ipinapakita ng graph na mas malaki ang probabilidad p, mas malapit ang kurba ay matatagpuan sa m axis, i.e. mas patag. (Fig.4)
Dapat tandaan na ang binomial, geometric, hypergeometric at Poisson distributions ay nagpapahayag ng probability distribution ng isang discrete random variable.
5.Batas sa pamamahagi ng uniporme.
Kung ang probability density?(x) ay isang pare-parehong halaga sa isang tiyak na pagitan, kung gayon ang batas sa pamamahagi ay tinatawag na uniporme. Ang Figure 5 ay nagpapakita ng mga graph ng probability distribution function at ang probability density ng unipormeng batas sa pamamahagi.
6. Normal na batas sa pamamahagi (batas ni Gauss).
Kabilang sa mga batas ng pamamahagi ng tuluy-tuloy na mga random na variable, ang pinakakaraniwan ay ang normal na batas sa pamamahagi. Ang isang random na variable ay ipinamamahagi ayon sa normal na batas ng pamamahagi kung ang probability density nito ay may anyo:
saan
a ay ang matematikal na inaasahan ng isang random na variable
? - karaniwang lihis
Ang probability density graph ng isang random na variable na may normal na batas sa pamamahagi ay simetriko na may kinalaman sa tuwid na linya x=a, ibig sabihin, ang x ay katumbas ng mathematical na inaasahan. Kaya, kung x=a, ang curve ay may pinakamataas na katumbas ng:
Kapag nagbago ang halaga ng inaasahan sa matematika, lilipat ang curve sa axis ng Ox. Ang graph (Fig. 6) ay nagpapakita na sa x=3 ang curve ay may pinakamataas, dahil ang mathematical expectation ay 3. Kung ang mathematical expectation ay kukuha ng ibang value, halimbawa a=6, ang curve ay magkakaroon ng maximum sa x=6. Sa pagsasalita tungkol sa standard deviation, tulad ng makikita mula sa graph, mas malaki ang standard deviation, mas mababa ang maximum na halaga ng probability density ng random variable.
Ang isang function na nagpapahayag ng distribusyon ng isang random na variable sa pagitan (-?, x), at may normal na batas sa pamamahagi, ay ipinahayag sa pamamagitan ng Laplace function gamit ang sumusunod na formula:
Yung. ang posibilidad ng isang random na variable X ay binubuo ng dalawang bahagi: ang posibilidad kung saan ang x ay kumukuha ng mga halaga mula sa minus infinity hanggang a, katumbas ng 0.5, at ang pangalawang bahagi - mula sa a hanggang x. (Fig.7)
Sabay tayong mag-aral
Mga kapaki-pakinabang na materyales para sa mga mag-aaral, diploma at term paper na iuutos
Aralin: Distribution Law ng isang Discrete Random Variable
Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable ay tinatawag na pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga at kanilang mga probabilidad. Maaari itong tukuyin sa tabularly, graphically at analytically.
Kung ano ang random variable ay tinalakay sa araling ito.
Gamit ang tabular na paraan ng pagtukoy, ang unang hilera ng talahanayan ay naglalaman ng mga posibleng halaga, at ang pangalawa ay ang kanilang mga probabilidad, iyon ay.
Ang dami na ito ay tinatawag na serye ng pamamahagi discrete random variable.
Ang X=x1, X=x2, X=xn ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, dahil sa isang pagsubok ang random na variable ay kukuha ng isa at isang posibleng halaga lamang. Samakatuwid, ang kabuuan ng kanilang mga probabilidad ay katumbas ng isa, iyon ay, p1 + p2 + pn = 1 o
Kung ang hanay ng mga halaga ng X ay walang hanggan, kung gayon Halimbawa 1. Mayroong 100 tiket na inisyu sa isang cash lottery. Isang panalo ng 1000 rubles at 10 panalo ng 100 rubles ang mabubunot. Hanapin ang batas sa pamamahagi ng random variable X - ang halaga ng posibleng panalo para sa may-ari ng isang tiket sa lottery.
Ang kinakailangang batas sa pamamahagi ay may anyo:
Kontrol; 0.01+0.1+0.89=1.
Sa graphical na paraan ng pagtukoy ng batas sa pamamahagi, ang mga puntos (Xi:Pi) ay itinatayo sa coordinate plane at pagkatapos ay ikinonekta ng mga tuwid na segment. Ang nagresultang sirang linya ay tinatawag polygon ng pamamahagi. Halimbawa 1, ang distribution polygon ay ipinapakita sa Figure 1.
Kapag tinukoy ang batas ng pamamahagi nang analytical, tinukoy ang isang formula na nag-uugnay sa mga probabilidad ng isang random na variable sa mga posibleng halaga nito.
Mga halimbawa ng discrete distribution
Binomial na pamamahagi
Hayaang magsagawa ng n pagsubok, sa bawat isa kung saan ang kaganapan A ay nangyayari na may pare-pareho ang posibilidad na p, samakatuwid, ay hindi nagaganap na may pare-parehong posibilidad. q = 1- p. Isaalang-alang ang random variable X- ang bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa mga n pagsubok na ito. Ang mga posibleng value ng X ay x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n. Ang posibilidad ng mga ito ay posible
Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay tinatawag na Windows XP Word 2003 Excel 2003 Mga batas ng pamamahagi ng mga discrete random variable Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay anumang relasyon na nagtatatag ng koneksyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random variable at […]
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Mga Random na variable".
Gawain 1 . Mayroong 100 tiket na inisyu para sa lottery. Isang panalo na 50 USD ang nakuha. at sampung panalo ng 10 USD bawat isa. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng halaga X - ang halaga ng mga posibleng panalo.
Solusyon. Mga posibleng halaga para sa X: x 1 = 0; x 2 = 10 at x 3 = 50. Dahil mayroong 89 na “empty” na tiket, pagkatapos ay p 1 = 0.89, posibilidad na manalo ng $10. (10 tiket) – p 2 = 0.10 at upang manalo ng 50 USD -p 3 = 0.01. kaya:
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Madaling kontrolin: .
Gawain 2. Ang posibilidad na nabasa nang maaga ng mamimili ang advertisement ng produkto ay 0.6 (p = 0.6). Ang piniling kontrol sa kalidad ng advertising ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-survey sa mga mamimili bago ang unang nag-aral ng advertising nang maaga. Gumuhit ng serye ng pamamahagi para sa bilang ng mga mamimiling sinuri.
Solusyon. Ayon sa mga kondisyon ng problema, p = 0.6. Mula sa: q=1 -p = 0.4. Ang pagpapalit ng mga halagang ito, nakukuha namin: at bumuo ng isang serye ng pamamahagi:
p i |
0,24 |
Gawain 3. Ang isang computer ay binubuo ng tatlong independiyenteng gumaganang elemento: ang system unit, ang monitor at ang keyboard. Sa isang solong matalim na pagtaas sa boltahe, ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay 0.1. Batay sa pamamahagi ng Bernoulli, gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa panahon ng pagtaas ng kuryente sa network.
Solusyon. Isaalang-alang natin Pamamahagi ng Bernoulli(o binomial): ang posibilidad na n mga pagsubok, eksaktong lilitaw ang kaganapan A k minsan: , o:
q n |
p n |
SA Balik tayo sa gawain.
Mga posibleng halaga para sa X (bilang ng mga pagkabigo):
x 0 =0 – wala sa mga elemento ang nabigo;
x 1 =1 – kabiguan ng isang elemento;
x 2 =2 – kabiguan ng dalawang elemento;
x 3 =3 – kabiguan ng lahat ng elemento.
Dahil, ayon sa kondisyon, p = 0.1, pagkatapos q = 1 – p = 0.9. Gamit ang formula ni Bernoulli, nakukuha natin
, ,
, .
Kontrol: .
Samakatuwid, ang kinakailangang batas sa pamamahagi:
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Suliranin 4. 5000 rounds ang ginawa. Ang posibilidad na ang isang cartridge ay may depekto . Ano ang posibilidad na magkakaroon ng eksaktong 3 may sira na cartridge sa buong batch?
Solusyon. Naaangkop Pamamahagi ng Poisson: Ang distribusyon na ito ay ginagamit upang matukoy ang posibilidad na, para sa napakalaki
bilang ng mga pagsubok (mass test), sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng kaganapan A ay napakaliit, ang kaganapan A ay magaganap ng k beses: , Saan .
Dito n = 5000, p = 0.0002, k = 3. Nakikita namin ang , pagkatapos ay ang nais na posibilidad: .
Suliranin 5. Kapag nagpaputok hanggang sa unang tamaan na may posibilidad na tamaan p = 0.6 kapag nagpaputok, kailangan mong hanapin ang posibilidad na magkaroon ng hit sa ikatlong shot.
Solusyon. Maglapat tayo ng geometric distribution: hayaang magsagawa ng mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang kaganapan A ay may posibilidad ng paglitaw p (at hindi pangyayari q = 1 – p). Matatapos ang pagsusulit sa sandaling mangyari ang kaganapan A.
Sa ilalim ng gayong mga kundisyon, ang posibilidad na mangyari ang kaganapan A sa kth na pagsubok ay tinutukoy ng formula: . Dito p = 0.6; q = 1 – 0.6 = 0.4;k = 3. Samakatuwid, .
Suliranin 6. Hayaang ibigay ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable X:
Hanapin ang mathematical na inaasahan.
Solusyon. .
Tandaan na ang probabilistic na kahulugan ng mathematical na inaasahan ay ang average na halaga ng isang random variable.
Suliranin 7. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable X na may sumusunod na batas sa pamamahagi:
Solusyon. Dito .
Batas sa pamamahagi para sa squared value ng X 2 :
X 2 |
|||
Kinakailangang pagkakaiba: .
Ang dispersion ay nagpapakilala sa sukat ng paglihis (dispersion) ng isang random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito.
Suliranin 8. Hayaan ang isang random na variable na ibigay ng pamamahagi:
10m |
|||
Hanapin ang mga numerical na katangian nito.
Solusyon: m, m 2 ,
M 2 , m.
Tungkol sa random variable X masasabi natin: ang inaasahan sa matematika nito ay 6.4 m na may pagkakaiba-iba na 13.04 m 2 , o – ang mathematical expectation nito ay 6.4 m na may deviation na m. Ang pangalawang formulation ay malinaw na mas malinaw.
Gawain 9.
Random na halaga X ibinigay ng function ng pamamahagi: .
Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsubok ang halaga ng X ay kukuha ng halagang nakapaloob sa pagitan .
Solusyon. Ang posibilidad na ang X ay kukuha ng isang halaga mula sa isang naibigay na pagitan ay katumbas ng pagtaas ng integral function sa pagitan na ito, i.e. . Sa aming kaso at , samakatuwid
.
Gawain 10. Discrete random variable X ay ibinigay ng batas sa pamamahagi:
Hanapin ang function ng pamamahagi F(x ) at i-plot ito.
Solusyon. Dahil ang function ng pamamahagi,
Para sa
, Iyon
sa ;
sa ;
sa ;
sa ;
Kaugnay na tsart:
Suliranin 11. Patuloy na random variable X ibinigay ng differential distribution function: .
Hanapin ang posibilidad ng hit X bawat pagitan
Solusyon. Tandaan na ito ay isang espesyal na kaso ng exponential distribution law.
Gamitin natin ang formula: .
Gawain 12. Hanapin ang mga numerical na katangian ng isang discrete random variable X na tinukoy ng batas ng pamamahagi:
–5 |
|||||||||
X2:
|