Tuldok na produkto ng mga vector

Patuloy kaming nakikitungo sa mga vectors. Sa unang aralin Mga vector para sa mga dummies Tiningnan namin ang konsepto ng isang vector, mga aksyon na may mga vector, mga coordinate ng vector at ang pinakasimpleng mga problema sa mga vector. Kung dumating ka sa pahinang ito sa unang pagkakataon mula sa isang search engine, mariing inirerekumenda kong basahin ang panimulang artikulo sa itaas, dahil upang makabisado ang materyal na kailangan mong maging pamilyar sa mga termino at notasyong ginagamit ko, magkaroon ng pangunahing kaalaman tungkol sa mga vector at kayang lutasin ang mga pangunahing problema. Ang araling ito ay isang lohikal na pagpapatuloy ng paksa, at dito ay susuriin ko nang detalyado ang mga tipikal na gawain kung saan produktong scalar mga vector. Ito ay isang MAHALAGANG aktibidad.. Subukang huwag laktawan ang mga halimbawa; ang mga ito ay may kasamang kapaki-pakinabang na bonus - ang pagsasanay ay makakatulong sa iyong pagsama-samahin ang materyal na iyong nasasakupan at maging mas mahusay sa paglutas ng mga karaniwang problema sa analytical geometry.

Pagdaragdag ng mga vector, pagpaparami ng isang vector sa isang numero.... Ito ay walang muwang isipin na ang mga mathematician ay hindi nakaisip ng ibang bagay. Bilang karagdagan sa mga aksyon na napag-usapan na, mayroong isang bilang ng iba pang mga operasyon na may mga vector, katulad: tuldok na produkto ng mga vector, produkto ng vector ng mga vector At pinaghalong produkto ng mga vector. Ang scalar na produkto ng mga vector ay pamilyar sa amin mula sa paaralan; Ang mga paksa ay simple, ang algorithm para sa paglutas ng maraming mga problema ay diretso at naiintindihan. Ang tanging bagay. Mayroong isang disenteng dami ng impormasyon, kaya hindi kanais-nais na subukang makabisado at lutasin ang LAHAT NG SAMAHAN. Ito ay totoo lalo na para sa mga dummies maniwala ka sa akin, ang may-akda ay talagang hindi nais na makaramdam ng Chikatilo mula sa matematika. Well, hindi mula sa matematika, siyempre, alinman =) Ang mga mas handa na mga mag-aaral ay maaaring gumamit ng mga materyales nang pili, sa isang tiyak na kahulugan, "kunin" ang nawawalang kaalaman para sa iyo ako ay magiging isang hindi nakakapinsalang Count Dracula =)

Sa wakas, buksan natin ang pinto at panoorin nang may sigasig kung ano ang mangyayari kapag nagtagpo ang dalawang vector sa isa't isa...

Kahulugan ng scalar product ng mga vectors.
Mga katangian ng produktong scalar. Mga karaniwang gawain

Ang konsepto ng isang tuldok na produkto

Una tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vector. Sa tingin ko lahat ay intuitively nauunawaan kung ano ang anggulo sa pagitan ng mga vectors ay, ngunit kung sakali, ng kaunti pang detalye. Isaalang-alang natin ang mga libreng nonzero vectors at . Kung i-plot mo ang mga vector na ito mula sa isang arbitrary na punto, makakakuha ka ng isang larawan na naisip na ng marami:

Inaamin ko, dito ko lang inilarawan ang sitwasyon sa antas ng pang-unawa. Kung kailangan mo ng mahigpit na kahulugan ng anggulo sa pagitan ng mga vector, mangyaring sumangguni sa aklat-aralin para sa mga praktikal na problema, sa prinsipyo, ito ay walang silbi sa amin. Gayundin DITO AT DITO ay hindi ko papansinin ang mga zero vector sa mga lugar dahil sa kanilang mababang praktikal na kahalagahan. Gumawa ako ng reserbasyon partikular para sa mga advanced na bisita sa site na maaaring magalit sa akin para sa hindi kumpletong teoretikal ng ilang kasunod na mga pahayag.

maaaring tumagal ng mga halaga mula 0 hanggang 180 degrees (0 hanggang radians), kasama. Analytically itong katotohanan isinulat bilang dobleng hindi pagkakapantay-pantay: o (sa radians).

Sa panitikan, ang simbolo ng anggulo ay madalas na nilalaktawan at nakasulat lamang.

Kahulugan: Ang scalar product ng dalawang vector ay isang NUMBER na katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito:

Ngayon ito ay isang medyo mahigpit na kahulugan.

Nakatuon kami sa mahahalagang impormasyon:

pagtatalaga: ang scalar product ay tinutukoy ng o simple.

Ang resulta ng operasyon ay isang NUMBER: Ang Vector ay pinarami ng vector, at ang resulta ay isang numero. Sa katunayan, kung ang mga haba ng mga vector ay mga numero, ang cosine ng isang anggulo ay isang numero, kung gayon ang kanilang produkto magiging isang numero din.

Ilan lamang sa mga halimbawa ng warm-up:

Halimbawa 1

Solusyon: Ginagamit namin ang formula . Sa kasong ito:

Sagot:

Ang mga halaga ng cosine ay matatagpuan sa trigonometriko talahanayan. Inirerekomenda kong i-print ito - kakailanganin ito sa halos lahat ng mga seksyon ng tore at kakailanganin ng maraming beses.

Mula sa isang purong mathematical na pananaw, ang scalar na produkto ay walang sukat, iyon ay, ang resulta, sa kasong ito, ay isang numero lamang at iyon na. Mula sa punto ng view ng mga problema sa pisika, ang isang scalar na produkto ay palaging may isang tiyak na pisikal na kahulugan, iyon ay, pagkatapos ng resulta ay dapat ipahiwatig ang isa o isa pang pisikal na yunit. Ang isang kanonikal na halimbawa ng pagkalkula ng gawain ng isang puwersa ay matatagpuan sa anumang aklat-aralin (ang formula ay eksaktong isang scalar na produkto). Ang gawain ng isang puwersa ay sinusukat sa Joules, samakatuwid, ang sagot ay isusulat nang partikular, halimbawa, .

Halimbawa 2

Hanapin kung , at ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay katumbas ng .

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili, ang sagot ay nasa dulo ng aralin.

Anggulo sa pagitan ng mga vector at tuldok na halaga ng produkto

Sa Halimbawa 1 ang produkto ng scalar ay naging positibo, at sa Halimbawa 2 ito ay naging negatibo. Alamin natin kung saan nakasalalay ang sign ng scalar product. Tingnan natin ang aming formula: . Ang mga haba ng mga di-zero na vector ay palaging positibo: , kaya ang tanda ay maaari lamang magdepende sa halaga ng cosine.

Tandaan: Upang mas maunawaan ang impormasyon sa ibaba, mas mabuting pag-aralan ang cosine graph sa manwal Mga function na graph at katangian. Tingnan kung paano kumikilos ang cosine sa segment.

Tulad ng nabanggit na, ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay maaaring mag-iba sa loob , at posible ang mga sumusunod na kaso:

1) Kung sulok sa pagitan ng mga vector maanghang: (mula 0 hanggang 90 degrees), pagkatapos , At magiging positibo ang produkto ng tuldok co-directed, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay itinuturing na zero, at ang scalar na produkto ay magiging positibo din. Dahil , pinapasimple ng formula ang: .

2) Kung sulok sa pagitan ng mga vector mapurol: (mula 90 hanggang 180 degrees), pagkatapos , at kaugnay nito, dot product ay negatibo: . Isang espesyal na kaso: kung vectors magkasalungat na direksyon, pagkatapos ay isinasaalang-alang ang anggulo sa pagitan nila pinalawak: (180 degrees). Ang scalar product ay negatibo rin, dahil

Ang kabaligtaran na mga pahayag ay totoo rin:

1) Kung , kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay talamak. Bilang kahalili, ang mga vector ay co-directional.

2) Kung , kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay malabo. Bilang kahalili, ang mga vector ay nasa magkasalungat na direksyon.

Ngunit ang ikatlong kaso ay partikular na interes:

3) Kung sulok sa pagitan ng mga vector tuwid: (90 degrees), pagkatapos scalar product ay zero: . Totoo rin ang kabaligtaran: kung , kung gayon . Ang pahayag ay maaaring mabuo nang compact gaya ng sumusunod: Ang scalar product ng dalawang vectors ay zero kung at kung orthogonal lang ang mga vectors. Maikling notasyon sa matematika:

! Tandaan : Ulitin natin mga pangunahing kaalaman sa lohika ng matematika: Karaniwang binabasa ang isang double-sided logical consequence icon na "kung at kung lamang", "kung at kung lamang". Tulad ng nakikita mo, ang mga arrow ay nakadirekta sa parehong direksyon - "mula dito ay sumusunod dito, at kabaliktaran - mula doon ay sumusunod dito." Ano nga pala, ang pagkakaiba sa one-way follow icon? Ang icon ay nagsasaad yun lang, na "mula dito ay sumusunod dito", at ito ay hindi isang katotohanan na ang kabaligtaran ay totoo. Halimbawa: , ngunit hindi lahat ng hayop ay panther, kaya sa kasong ito hindi mo magagamit ang icon. Kasabay nito, sa halip na ang icon Pwede gumamit ng one-sided na icon. Halimbawa, habang nilulutas ang problema, nalaman namin na napagpasyahan namin na ang mga vector ay orthogonal: - ang naturang entry ay magiging tama, at mas angkop kaysa sa .

Ang ikatlong kaso ay may malaking praktikal na kahalagahan, dahil pinapayagan ka nitong suriin kung orthogonal o hindi ang mga vector. Lutasin natin ang problemang ito sa ikalawang bahagi ng aralin.

Mga katangian ng produkto ng tuldok

Bumalik tayo sa sitwasyon kapag ang dalawang vectors co-directed. Sa kasong ito, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay zero, , at ang scalar product formula ay nasa anyong: .

Ano ang mangyayari kung ang isang vector ay pinarami ng sarili nito? Malinaw na ang vector ay nakahanay sa sarili nito, kaya ginagamit namin ang pinasimpleng formula sa itaas:

Tinatawag ang numero scalar square vector, at tinutukoy bilang .

kaya, ang scalar square ng isang vector ay katumbas ng square ng haba ng ibinigay na vector:

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito makakakuha tayo ng isang formula para sa pagkalkula ng haba ng vector:

Sa ngayon ay tila hindi malinaw, ngunit ang mga layunin ng aralin ay maglalagay ng lahat sa lugar nito. Upang malutas ang mga problema na kailangan din natin katangian ng produkto ng tuldok.

Para sa mga arbitrary na vector at anumang numero, ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

1) – commutative o commutative batas ng produkto ng scalar.

2) – pamamahagi o distributive batas ng produkto ng scalar. Simple lang, maaari mong buksan ang mga bracket.

3) – nag-uugnay o nag-uugnay batas ng produkto ng scalar. Ang pare-pareho ay maaaring makuha mula sa scalar product.

Kadalasan, ang lahat ng uri ng ari-arian (na kailangan ding patunayan!) ay itinuturing ng mga mag-aaral bilang hindi kinakailangang basura, na kailangan lamang na kabisaduhin at ligtas na makalimutan kaagad pagkatapos ng pagsusulit. Mukhang ang mahalaga dito, alam na ng lahat mula sa unang baitang na ang muling pagsasaayos ng mga kadahilanan ay hindi nagbabago sa produkto: . Dapat kong bigyan ng babala na sa mas mataas na matematika ay madaling guluhin ang mga bagay sa gayong paraan. Kaya, halimbawa, ang commutative property ay hindi totoo para sa algebraic matrices. Hindi rin ito totoo para sa produkto ng vector ng mga vector. Samakatuwid, sa pinakamababa, ito ay mas mahusay na bungkalin ang anumang mga katangian na makikita mo sa isang mas mataas na kurso sa matematika upang maunawaan kung ano ang maaaring gawin at kung ano ang hindi maaaring gawin.

Halimbawa 3

.

Solusyon: Una, linawin natin ang sitwasyon gamit ang vector. Ano naman ito? Ang kabuuan ng mga vector ay isang mahusay na tinukoy na vector, na kung saan ay tinutukoy ng . Ang isang geometric na interpretasyon ng mga aksyon na may mga vector ay matatagpuan sa artikulo Mga vector para sa mga dummies. Ang parehong perehil na may vector ay ang kabuuan ng mga vector at .

Kaya, ayon sa kondisyon, kinakailangan upang mahanap ang scalar product. Sa teorya, kailangan mong ilapat ang gumaganang formula , ngunit ang problema ay hindi natin alam ang mga haba ng mga vector at ang anggulo sa pagitan nila. Ngunit ang kundisyon ay nagbibigay ng magkatulad na mga parameter para sa mga vector, kaya't magdadala kami ng ibang ruta:

(1) Palitan ang mga expression ng mga vector.

(2) Binubuksan namin ang mga bracket ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng mga polynomial; Mga kumplikadong numero o Pagsasama ng Fractional-Rational Function. Hindi ko na uulitin ang sarili ko =) By the way, ang distributive property ng scalar product ay nagpapahintulot sa amin na buksan ang mga bracket. May karapatan tayo.

(3) Sa una at huling mga termino, isinulat namin ang mga scalar square ng mga vectors: . Sa pangalawang termino ginagamit namin ang commutability ng scalar product: .

(4) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino: .

(5) Sa unang termino ginagamit namin ang scalar square formula, na nabanggit hindi pa matagal na ang nakalipas. Sa huling termino, naaayon, ang parehong bagay ay gumagana: . Pinalawak namin ang pangalawang termino ayon sa karaniwang formula .

(6) Palitan ang mga kundisyong ito , at MABUTI na isagawa ang mga huling kalkulasyon.

Sagot:

Ang isang negatibong halaga ng scalar na produkto ay nagsasaad ng katotohanan na ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay mahina.

Karaniwan ang problema, narito ang isang halimbawa para sa paglutas nito sa iyong sarili:

Halimbawa 4

Hanapin ang scalar product ng mga vectors at kung ito ay kilala na .

Ngayon isa pang karaniwang gawain, para lamang sa bagong formula para sa haba ng isang vector. Ang notasyon dito ay magiging isang maliit na magkakapatong, kaya para sa kalinawan ay muling isusulat ko ito sa ibang titik:

Halimbawa 5

Hanapin ang haba ng vector kung .

Solusyon ay magiging ganito:

(1) Nagbibigay kami ng expression para sa vector .

(2) Ginagamit namin ang formula ng haba: , at ang buong expression na ve ay gumaganap bilang vector "ve".

(3) Ginagamit namin ang formula ng paaralan para sa parisukat ng kabuuan. Pansinin kung paano ito gumagana nang kakaiba dito: – ito talaga ang parisukat ng pagkakaiba, at, sa katunayan, ganyan ito. Ang mga nagnanais ay maaaring muling ayusin ang mga vector: - ang parehong bagay ay nangyayari, hanggang sa muling pagsasaayos ng mga termino.

(4) Ang mga sumusunod ay pamilyar na sa dalawang nakaraang problema.

Sagot:

Dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa haba, huwag kalimutang ipahiwatig ang sukat - "mga yunit".

Halimbawa 6

Hanapin ang haba ng vector kung .

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Patuloy naming pinipiga ang mga kapaki-pakinabang na bagay mula sa tuldok na produkto. Tingnan natin muli ang ating formula . Gamit ang panuntunan ng proporsyon, i-reset namin ang mga haba ng mga vector sa denominator ng kaliwang bahagi:

Pagpalitin natin ang mga bahagi:

Ano ang kahulugan ng formula na ito? Kung ang mga haba ng dalawang vector at ang kanilang scalar product ay kilala, maaari nating kalkulahin ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors na ito, at, dahil dito, ang anggulo mismo.

Ang isang tuldok na produkto ba ay isang numero? Numero. Mga numero ba ang haba ng vector? Numero. Nangangahulugan ito na ang isang fraction ay isang numero din. At kung ang cosine ng anggulo ay kilala: , pagkatapos ay gamit ang inverse function na madaling mahanap ang mismong anggulo: .

Halimbawa 7

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector at kung ito ay kilala na .

Solusyon: Ginagamit namin ang formula:

Naka-on huling yugto mga kalkulasyon, ginamit ang isang teknikal na pamamaraan - inaalis ang hindi makatwiran sa denominator. Upang maalis ang irrationality, pinarami ko ang numerator at denominator sa .

Kaya kung , Iyon:

Kabaligtaran na mga halaga trigonometriko function mahahanap ng trigonometriko talahanayan. Bagama't bihira itong mangyari. Sa mga problema ng analytical geometry, mas madalas ang ilang clumsy bear tulad ng , at ang halaga ng anggulo ay kailangang matagpuan nang humigit-kumulang gamit ang isang calculator. Sa totoo lang, makikita natin ang gayong larawan nang higit sa isang beses.

Sagot:

Muli, huwag kalimutang ipahiwatig ang mga sukat - radian at degree. Sa personal, upang malinaw na "malutas ang lahat ng mga katanungan", mas gusto kong ipahiwatig ang pareho (maliban kung ang kondisyon, siyempre, ay nangangailangan ng paglalahad ng sagot lamang sa mga radian o lamang sa mga degree).

Ngayon ay maaari mong independiyenteng makayanan ang isang mas kumplikadong gawain:

Halimbawa 7*

Ibinigay ang mga haba ng mga vector at ang anggulo sa pagitan nila. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vectors , .

Ang gawain ay hindi napakahirap dahil ito ay multi-step.
Tingnan natin ang algorithm ng solusyon:

1) Ayon sa kondisyon, kailangan mong hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector at , kaya kailangan mong gamitin ang formula .

2) Hanapin ang produktong scalar (tingnan ang Mga Halimbawa Blg. 3, 4).

3) Hanapin ang haba ng vector at ang haba ng vector (tingnan ang Mga Halimbawa Blg. 5, 6).

4) Ang pagtatapos ng solusyon ay tumutugma sa Halimbawa No. 7 - alam natin ang numero , na nangangahulugang madaling mahanap ang mismong anggulo:

Isang maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ang pangalawang seksyon ng aralin ay nakatuon sa parehong scalar na produkto. Mga coordinate. Ito ay magiging mas madali kaysa sa unang bahagi.

tuldok na produkto ng mga vector,
ibinigay ng mga coordinate sa isang orthonormal na batayan

Sagot:

Hindi na kailangang sabihin, ang pakikitungo sa mga coordinate ay mas kaaya-aya.

Halimbawa 14

Hanapin ang scalar product ng mga vectors at kung

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Dito maaari mong gamitin ang pagkakaugnay ng operasyon, iyon ay, huwag bilangin , ngunit agad na kunin ang triple sa labas ng scalar na produkto at i-multiply ito sa huling paraan. Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin.

Sa dulo ng seksyon, isang nakakapukaw na halimbawa sa pagkalkula ng haba ng isang vector:

Halimbawa 15

Hanapin ang mga haba ng mga vector , Kung

Solusyon: Ang pamamaraan ng nakaraang seksyon ay nagmumungkahi muli ng sarili: ngunit may isa pang paraan:

Hanapin natin ang vector:

At ang haba nito ayon sa trivial formula :

Ang produkto ng tuldok ay hindi nauugnay dito!

Hindi rin ito kapaki-pakinabang kapag kinakalkula ang haba ng isang vector:
Tumigil ka. Hindi ba dapat nating samantalahin ang halatang pag-aari ng haba ng vector? Ano ang masasabi mo tungkol sa haba ng vector? Ang vector na ito ay 5 beses na mas mahaba kaysa sa vector. Ang direksyon ay kabaligtaran, ngunit ito ay hindi mahalaga, dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa haba. Malinaw, ang haba ng vector ay katumbas ng produkto modyul mga numero sa bawat haba ng vector:
– kinakain ng modulus sign ang posibleng minus ng numero.

kaya:

Sagot:

Formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector na tinukoy ng mga coordinate

ngayon meron na tayo buong impormasyon upang ang dating nagmula na pormula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ay maipahayag sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vector:

Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng eroplano at , tinukoy sa isang orthonormal na batayan, ipinahayag ng pormula:
.

Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng espasyo, na tinukoy sa isang orthonormal na batayan, ipinahayag ng pormula:

Halimbawa 16

Ibinigay ang tatlong vertex ng isang tatsulok. Hanapin (anggulo ng vertex).

Solusyon: Ayon sa mga kondisyon, ang pagguhit ay hindi kinakailangan, ngunit pa rin:

Ang kinakailangang anggulo ay minarkahan ng berdeng arko. Naaalala namin agad pagtatalaga ng paaralan anggulo: – espesyal na atensyon sa karaniwan letter - ito ang vertex ng anggulo na kailangan natin. Para sa maikli, maaari ka ring sumulat ng simple .

Mula sa pagguhit ay medyo halata na ang anggulo ng tatsulok ay tumutugma sa anggulo sa pagitan ng mga vector at, sa madaling salita: .

Maipapayo na matutong magsagawa ng pagsusuri sa isip.

Hanapin natin ang mga vectors:

Kalkulahin natin ang scalar product:

At ang haba ng mga vectors:

Cosine ng anggulo:

Ito ang eksaktong pagkakasunud-sunod ng pagkumpleto ng gawain na inirerekomenda ko para sa mga dummies. Maaaring isulat ng mas advanced na mga mambabasa ang mga kalkulasyon "sa isang linya":

Narito ang isang halimbawa ng isang "masamang" halaga ng cosine. Ang resultang halaga ay hindi pinal, kaya may maliit na punto sa pag-alis ng irrationality sa denominator.

Hanapin natin ang anggulo mismo:

Kung titingnan mo ang pagguhit, ang resulta ay lubos na makatwiran. Upang suriin, ang anggulo ay maaari ding masukat gamit ang isang protractor. Huwag sirain ang takip ng monitor =)

Sagot:

Sa sagot ay hindi natin iyon nakakalimutan nagtanong tungkol sa anggulo ng isang tatsulok(at hindi tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vector), huwag kalimutang ipahiwatig ang eksaktong sagot: at ang tinatayang halaga ng anggulo: , natagpuan gamit ang isang calculator.

Ang mga nasiyahan sa proseso ay maaaring kalkulahin ang mga anggulo at i-verify ang bisa ng canonical equality

Halimbawa 17

Ang isang tatsulok ay tinukoy sa espasyo sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vertice nito. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga gilid at

Ito ay isang halimbawa para malutas mo nang mag-isa. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin

Ang isang maikling huling seksyon ay ilalaan sa mga projection, na kinabibilangan din ng isang scalar na produkto:

Projection ng isang vector papunta sa isang vector. Projection ng isang vector sa coordinate axes.
Direction cosines ng isang vector

Isaalang-alang ang mga vector at:

I-proyekto natin ang vector sa vector upang gawin ito, mula sa simula at dulo ng vector na tinanggal natin patayo sa vector (berde tuldok na mga linya). Isipin na ang mga sinag ng liwanag ay nahuhulog nang patayo sa vector. Pagkatapos ang segment (pulang linya) ay magiging "anino" ng vector. Sa kasong ito, ang projection ng vector papunta sa vector ay ang LENGTH ng segment. Ibig sabihin, PROJECTION IS A NUMBER.

Ang NUMBER na ito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: , "malaking vector" ay tumutukoy sa vector ALING proyekto, "maliit na subscript vector" ay tumutukoy sa vector NAKA-ON na inaasahang.

Ang entry mismo ay nagbabasa ng ganito: "projection ng vector "a" papunta sa vector "be"."

Ano ang mangyayari kung ang vector na "be" ay "masyadong maikli"? Gumuhit kami ng isang tuwid na linya na naglalaman ng vector na "maging". At ang vector "a" ay ipapakita na sa direksyon ng vector "be", simple - sa tuwid na linya na naglalaman ng vector "be". Ang parehong bagay ay mangyayari kung ang vector "a" ay ipagpaliban sa ikatatlumpung kaharian - madali pa rin itong mai-project sa tuwid na linya na naglalaman ng vector "be".

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector maanghang(tulad ng nasa larawan), pagkatapos

Kung ang mga vectors orthogonal, pagkatapos (ang projection ay isang punto na ang mga sukat ay itinuturing na zero).

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector mapurol(sa figure, itak na muling ayusin ang vector arrow), pagkatapos (parehong haba, ngunit kinuha gamit ang isang minus sign).

I-plot natin ang mga vector na ito mula sa isang punto:

Malinaw, kapag gumagalaw ang isang vector, hindi nagbabago ang projection nito

Lecture: Vector coordinate; scalar na produkto ng mga vectors; anggulo sa pagitan ng mga vector

Mga coordinate ng vector

Kaya, tulad ng nabanggit kanina, ang isang vector ay isang nakadirekta na segment na may sariling simula at wakas. Kung ang simula at wakas ay kinakatawan ng ilang mga punto, kung gayon mayroon silang sariling mga coordinate sa eroplano o sa kalawakan.

Kung ang bawat punto ay may sariling mga coordinate, maaari nating makuha ang mga coordinate ng buong vector.

Sabihin nating mayroon tayong vector na ang simula at wakas ay may mga sumusunod na pagtatalaga at coordinate: A(A x ; Ay) at B(B x ; By)

Upang makuha ang mga coordinate ng isang naibigay na vector, kinakailangan upang ibawas ang kaukulang mga coordinate ng simula mula sa mga coordinate ng dulo ng vector:

Upang matukoy ang mga coordinate ng isang vector sa espasyo, gamitin ang sumusunod na formula:

Tuldok na produkto ng mga vector

Mayroong dalawang paraan upang tukuyin ang konsepto ng isang scalar na produkto:

• Geometric na pamamaraan. Ayon dito, ang produkto ng scalar ay katumbas ng produkto ng mga halaga ng mga module na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila.

• Algebraic na kahulugan. Mula sa punto ng view ng algebra, ang scalar product ng dalawang vectors ay isang tiyak na dami na nakuha bilang resulta ng kabuuan ng mga produkto ng kaukulang vectors.

Kung ang mga vector ay ibinigay sa espasyo, dapat mong gamitin ang isang katulad na formula:

Ari-arian:

• Kung paparamihin mo ang dalawang magkaparehong vector nang scalar, hindi magiging negatibo ang kanilang scalar product:

• Kung ang scalar product ng dalawang magkaparehong vector ay naging katumbas ng zero, ang mga vector na ito ay itinuturing na zero:

• Kung ang isang tiyak na vector ay pinarami ng sarili nito, kung gayon ang produkto ng scalar ay magiging katumbas ng parisukat ng modulus nito:

• Ang scalar product ay may communicative property, iyon ay, ang scalar product ay hindi magbabago kung ang mga vector ay muling inayos:

• Ang scalar product ng mga di-zero na vector ay maaaring katumbas ng zero lamang kung ang mga vector ay patayo sa isa't isa:

• Para sa isang scalar na produkto ng mga vector, ang commutative na batas ay may bisa sa kaso ng pag-multiply ng isa sa mga vector sa isang numero:

• Sa isang scalar na produkto, maaari mo ring gamitin ang distributive property ng multiplication:

Anggulo sa pagitan ng mga vector

Pinapadali ng cross product at dot product ang pagkalkula ng anggulo sa pagitan ng mga vector. Hayaang ibigay ang dalawang vector na $\overline(a)$ at $\overline(b)$, ang oriented na anggulo sa pagitan ng mga ito ay katumbas ng $\varphi$. Kalkulahin natin ang mga halaga $x = (\overline(a),\overline(b))$ at $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Pagkatapos ay $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, kung saan ang $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$, at $\varphi$ ay ang kinakailangang anggulo, ibig sabihin, ang puntong $(x, y)$ ay may polar na anggulo na katumbas ng $\varphi$, at samakatuwid ang $\varphi$ ay matatagpuan bilang atan2(y, x).

Lugar ng isang tatsulok

Dahil ang cross product ay naglalaman ng produkto ng dalawang haba ng vector at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila, ang cross product ay maaaring gamitin upang kalkulahin ang lugar ng triangle ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Pag-aari ng isang punto sa isang linya

Hayaang magbigay ng puntong $P$ at isang linyang $AB$ (ibinigay ng dalawang puntos na $A$ at $B$). Kinakailangang suriin kung ang isang punto ay kabilang sa linyang $AB$.

Ang isang punto ay kabilang sa linyang $AB$ kung at tanging kung ang mga vector na $AP$ at $AB$ ay magkakaugnay, iyon ay, kung $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Pag-aari ng isang punto sa isang sinag

Hayaang magbigay ng puntong $P$ at isang ray na $AB$ (tinukoy ng dalawang puntos - simula ng sinag na $A$ at isang punto sa sinag na $B$). Kinakailangang suriin kung ang isang punto ay kabilang sa sinag na $AB$.

Sa kondisyon na ang puntong $P$ ay kabilang sa tuwid na linya na $AB$, kinakailangang magdagdag ng karagdagang kundisyon - ang mga vector na $AP$ at $AB$ ay codirectional, iyon ay, ang mga ito ay collinear at ang kanilang scalar product ay hindi-negatibo, ibig sabihin, $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge 0$.

Pag-aari ng isang punto sa isang segment

Hayaang magbigay ng puntong $P$ at isang segment na $AB$. Kinakailangang suriin kung ang isang punto ay kabilang sa segment na $AB$.

Sa kasong ito, ang punto ay dapat na kabilang sa ray $AB$ at ray $BA$, kaya dapat suriin ang mga sumusunod na kundisyon:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Distansya mula sa punto hanggang linya

Hayaang magbigay ng puntong $P$ at isang linyang $AB$ (ibinigay ng dalawang puntos na $A$ at $B$). Kinakailangang hanapin ang distansya mula sa punto ng linya $AB$.

Isaalang-alang ang tatsulok na ABP. Sa isang banda, ang lawak nito ay katumbas ng $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

Sa kabilang banda, ang lugar nito ay katumbas ng $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, kung saan ang $h$ ay ang taas na ibinaba mula sa puntong $P$, iyon ay, ang distansya mula $P$ hanggang $ AB$. Kung saan ang $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Distansya mula sa punto hanggang sa sinag

Hayaang magbigay ng puntong $P$ at isang ray na $AB$ (tinukoy ng dalawang puntos - simula ng sinag na $A$ at isang punto sa sinag na $B$). Ito ay kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa isang punto sa isang ray, iyon ay, ang haba ng pinakamaikling segment mula sa punto $P$ sa anumang punto sa ray.

Ang distansyang ito ay katumbas ng alinman sa haba $AP$ o ang distansya mula sa puntong $P$ hanggang sa linyang $AB$. Alin sa mga kaso ang magaganap ay madaling matukoy ng relatibong posisyon ng sinag at ang punto. Kung talamak ang anggulong PAB, ibig sabihin, $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, ang sagot ay ang distansya mula sa puntong $P$ hanggang sa tuwid na linya $AB$, kung hindi. ang sagot ay ang haba ng segment na $AB$.

Distansya mula sa punto hanggang sa segment

Hayaang magbigay ng puntong $P$ at isang segment na $AB$. Kinakailangang hanapin ang distansya mula $P$ hanggang sa segment na $AB$.

Kung ang base ng perpendicular ay bumaba mula sa $P$ papunta sa linya na $AB$ ay bumaba sa segment na $AB$, na maaaring ma-verify ng mga kundisyon

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

pagkatapos ang sagot ay ang distansya mula sa puntong $P$ hanggang sa linya ng $AB$. Kung hindi, ang distansya ay magiging katumbas ng $\min(AP, BP)$.

Kahulugan 1

Ang scalar product ng mga vector ay isang numero na katumbas ng produkto ng mga dynes ng mga vector na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila.

Ang notasyon para sa produkto ng mga vectors a → at b → ay may anyo a → , b → . Ibahin natin ito sa formula:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → at b → ipahiwatig ang mga haba ng mga vector, a → , b → ^ - pagtatalaga ng anggulo sa pagitan ng mga ibinigay na vector. Kung ang hindi bababa sa isang vector ay zero, iyon ay, ay may halaga na 0, kung gayon ang resulta ay magiging katumbas ng zero, a → , b → = 0

Kapag nagpaparami ng isang vector sa kanyang sarili, nakukuha namin ang parisukat ng haba nito:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Kahulugan 2

Ang pagpaparami ng scalar ng isang vector sa kanyang sarili ay tinatawag na isang scalar square.

Kinakalkula ng formula:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Ang notasyong a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ay nagpapakita na ang n p b → a → ay ang numerical projection ng a → papunta sa b → , n p a → a → - projection ng b → papunta sa isang →, ayon sa pagkakabanggit.

Bumuo tayo ng kahulugan ng isang produkto para sa dalawang vectors:

Ang scalar product ng dalawang vectors a → by b → ay tinatawag na produkto ng haba ng vector a → ng projection b → sa pamamagitan ng direksyon ng a → o ang produkto ng haba b → ng projection a →, ayon sa pagkakabanggit.

Dot product sa mga coordinate

Ang produktong scalar ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vector sa isang naibigay na eroplano o sa espasyo.

Ang scalar product ng dalawang vectors sa isang eroplano, sa three-dimensional na espasyo, ay tinatawag na kabuuan ng mga coordinate ng mga binigay na vectors a → at b →.

Kapag kinakalkula ang scalar product ng mga ibinigay na vectors a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) sa eroplano sa Cartesian system, gamitin ang:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

para sa tatlong-dimensional na espasyo ang expression ay naaangkop:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

Sa katunayan, ito ang pangatlong kahulugan ng scalar product.

Patunayan natin.

Katibayan 1

Upang patunayan ito, ginagamit namin ang a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y para sa mga vectors a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) sa Cartesian system.

Dapat itabi ang mga vector

O A → = a → = a x , a y at O ​​B → = b → = b x , b y .

Kung gayon ang haba ng vector A B → ay magiging katumbas ng A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Isaalang-alang ang tatsulok O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ay tama batay sa cosine theorem.

Ayon sa kondisyon, malinaw na ang O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , na nangangahulugang isinusulat natin ang formula para sa paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga vector sa ibang paraan.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

Pagkatapos mula sa unang kahulugan ay sumusunod na b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , na nangangahulugang (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Ang paglalapat ng formula para sa pagkalkula ng haba ng mga vector, nakukuha namin:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Patunayan natin ang pagkakapantay-pantay:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– ayon sa pagkakabanggit para sa mga vector ng three-dimensional na espasyo.

Ang scalar na produkto ng mga vector na may mga coordinate ay nagsasabi na ang scalar square ng isang vector ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito sa espasyo at sa eroplano, ayon sa pagkakabanggit. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) at (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Produktong tuldok at mga katangian nito

May mga katangian ng produktong tuldok na nalalapat sa a → , b → at c → :

1. commutativity (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivity (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →);
3. pinagsamang pag-aari (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - anumang numero;
4. scalar square ay palaging mas malaki kaysa sa zero (a → , a →) ≥ 0, kung saan (a → , a →) = 0 sa kaso kapag a → zero.

Halimbawa 1

Ang mga katangian ay maipaliwanag salamat sa kahulugan ng scalar na produkto sa eroplano at ang mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga tunay na numero.

Patunayan ang commutative property (a → , b →) = (b → , a →) . Mula sa kahulugan mayroon tayo na (a → , b →) = a y · b y + a y · b y at (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

Sa pamamagitan ng pag-aari ng commutativity, ang mga pagkakapantay-pantay na a x · b x = b x · a x at a y · b y = b y · a y ay totoo, na nangangahulugang a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Kasunod nito na (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Ang pamamahagi ay wasto para sa anumang mga numero:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

at (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)),

kaya mayroon kami

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . ++ (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Produktong tuldok na may mga halimbawa at solusyon

Ang anumang problema ng ganitong uri ay nalulutas gamit ang mga katangian at mga formula na nauugnay sa scalar na produkto:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y o (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Tingnan natin ang ilang mga halimbawang solusyon.

Halimbawa 2

Ang haba ng a → ay 3, ang haba ng b → ay 7. Hanapin ang dot product kung ang anggulo ay may 60 degrees.

Solusyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, mayroon kaming lahat ng data, kaya kinakalkula namin ito gamit ang formula:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Sagot: (a → , b →) = 21 2 .

Halimbawa 3

Given vectors a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Ano ang scalar product?

Solusyon

Isinasaalang-alang ng halimbawang ito ang formula para sa pagkalkula ng mga coordinate, dahil tinukoy ang mga ito sa pahayag ng problema:

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​​​+ 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Sagot: (a → , b →) = - 9

Halimbawa 4

Hanapin ang scalar product ng A B → at A C →. Ang mga puntos A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) ay ibinibigay sa coordinate plane.

Solusyon

Upang magsimula, ang mga coordinate ng mga vector ay kinakalkula, dahil sa pamamagitan ng kondisyon ang mga coordinate ng mga puntos ay ibinibigay:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Ang pagpapalit sa formula gamit ang mga coordinate, nakukuha namin:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Sagot: (A B → , A C →) = 28 .

Halimbawa 5

Dahil sa mga vectors a → = 7 · m → + 3 · n → at b → = 5 · m → + 8 · n → , hanapin ang kanilang produkto. Ang m → ay katumbas ng 3 at n → ay katumbas ng 2 yunit, sila ay patayo.

Solusyon

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Ang paglalapat ng distributivity property, nakukuha namin:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + ( 3 n → , 8 n →)

Kinukuha namin ang koepisyent mula sa tanda ng produkto at makuha ang:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

Sa pamamagitan ng pag-aari ng commutativity binabago namin ang:

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n → ) + 24 · (n → , n →)

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →).

Ngayon inilalapat namin ang formula para sa scalar na produkto na may anggulo na tinukoy ng kondisyon:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Sagot: (a → , b →) = 411

Kung mayroong isang numerical projection.

Halimbawa 6

Hanapin ang scalar product ng a → at b →. Ang Vector a → ay may mga coordinate a → = (9, 3, - 3), projection b → na may mga coordinate (- 3, - 1, 1).

Solusyon

Sa pamamagitan ng kundisyon, ang mga vectors a → at ang projection b → ay magkasalungat na nakadirekta, dahil a → = - 1 3 · n p a → b → → , na nangangahulugang ang projection b → ay tumutugma sa haba n p a → b → → , at may “ -" tanda:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

Ang pagpapalit sa formula, nakukuha natin ang expression:

(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

Sagot: (a → , b →) = - 33 .

Mga problema sa isang kilalang scalar na produkto, kung saan kinakailangan upang mahanap ang haba ng isang vector o isang numerical projection.

Halimbawa 7

Anong halaga ang dapat kunin ng λ para sa isang ibinigay na scalar product a → = (1, 0, λ + 1) at b → = (λ, 1, λ) ay magiging katumbas ng -1.

Solusyon

Mula sa formula ay malinaw na kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng mga produkto ng mga coordinate:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

Dahil mayroon tayong (a → , b →) = - 1 .

Upang mahanap ang λ, kinakalkula namin ang equation:

λ 2 + 2 · λ = - 1, kaya λ = - 1.

Sagot: λ = - 1.

Pisikal na kahulugan ng scalar product

Isinasaalang-alang ng mekanika ang aplikasyon ng produkto ng tuldok.

Kapag ang A ay gumagana nang may pare-parehong puwersa F → isang gumagalaw na katawan mula sa isang punto M hanggang N, mahahanap mo ang produkto ng mga haba ng mga vectors F → at M N → na may cosine ng anggulo sa pagitan nila, na nangangahulugang ang gawain ay pantay. sa produkto ng puwersa at displacement vectors:

A = (F → , M N →) .

Halimbawa 8

Ang paggalaw ng isang materyal na punto sa pamamagitan ng 3 metro sa ilalim ng impluwensya ng isang puwersa na katumbas ng 5 Ntons ay nakadirekta sa isang anggulo ng 45 degrees na may kaugnayan sa axis. Humanap ng.

Solusyon

Dahil ang trabaho ay produkto ng force vector at displacement, nangangahulugan ito na batay sa kondisyon F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, nakukuha namin ang A = (F →, S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

Sagot: A = 15 2 2 .

Halimbawa 9

Ang isang materyal na punto, na lumilipat mula sa M (2, - 1, - 3) hanggang N (5, 3 λ - 2, 4) sa ilalim ng puwersa F → = (3, 1, 2), ay gumana na katumbas ng 13 J. Kalkulahin ang haba ng galaw.

Solusyon

Para sa ibinigay na vector coordinates M N → mayroon kaming M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .

Gamit ang formula para sa paghahanap ng trabaho sa mga vectors F → = (3, 1, 2) at M N → = (3, 3 λ - 1, 7), nakukuha namin ang A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Ayon sa kondisyon, ibinigay na A = 13 J, na nangangahulugang 22 + 3 λ = 13. Ito ay nagpapahiwatig ng λ = - 3, na nangangahulugang M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Upang mahanap ang haba ng paggalaw M N →, ilapat ang formula at palitan ang mga halaga:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Sagot: 158.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Magkakaroon din ng mga problema para sa iyo upang malutas sa iyong sarili, kung saan makikita mo ang mga sagot.

Kung sa problema ang parehong mga haba ng mga vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ipinakita "sa isang pilak na pinggan," kung gayon ang kondisyon ng problema at ang solusyon nito ay ganito:

Halimbawa 1. Ibinigay ang mga vector. Hanapin ang scalar product ng mga vectors kung ang kanilang mga haba at anggulo sa pagitan ng mga ito ay kinakatawan ng mga sumusunod na halaga:

Ang isa pang kahulugan ay wasto din, ganap na katumbas ng kahulugan 1.

Kahulugan 2. Ang scalar product ng mga vector ay isang numero (scalar) na katumbas ng produkto ng haba ng isa sa mga vector na ito at ang projection ng isa pang vector sa axis na tinutukoy ng una sa mga vectors na ito. Formula ayon sa kahulugan 2:

Lutasin natin ang problema gamit ang formula na ito pagkatapos ng susunod na mahalagang teoretikal na punto.

Kahulugan ng scalar product ng mga vector sa mga tuntunin ng mga coordinate

Ang parehong numero ay maaaring makuha kung ang mga vectors na pinarami ay binibigyan ng kanilang mga coordinate.

Kahulugan 3. Ang tuldok na produkto ng mga vector ay isang numero na katumbas ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng kanilang mga katumbas na coordinate.

Sa ibabaw

Kung ang dalawang vector at nasa eroplano ay tinukoy ng kanilang dalawa Cartesian rectangular coordinate

kung gayon ang scalar product ng mga vector na ito ay katumbas ng kabuuan ng pairwise na mga produkto ng kanilang kaukulang mga coordinate:

.

Halimbawa 2. Hanapin ang numerical value ng projection ng vector sa axis na kahanay ng vector.

Solusyon. Nahanap namin ang scalar na produkto ng mga vector sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga pairwise na produkto ng kanilang mga coordinate:

Ngayon ay kailangan nating i-equate ang resultang scalar product sa produkto ng haba ng vector at ang projection ng vector sa isang axis na parallel sa vector (alinsunod sa formula).

Nahanap namin ang haba ng vector bilang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito:

.

Lumilikha kami ng isang equation at lutasin ito:

Sagot. Ang kinakailangang numerical value ay minus 8.

Sa kalawakan

Kung ang dalawang vector at nasa espasyo ay tinukoy ng kanilang tatlong Cartesian rectangular coordinate

,

kung gayon ang scalar product ng mga vector na ito ay katumbas din ng kabuuan ng pairwise na produkto ng kanilang kaukulang mga coordinate, mayroon na lamang tatlong coordinate:

.

Ang gawain ng paghahanap ng produktong scalar gamit ang isinasaalang-alang na pamamaraan ay pagkatapos pag-aralan ang mga katangian ng produktong scalar. Dahil sa problema kakailanganin mong matukoy kung anong anggulo ang nabuo ng mga multiplied na vector.

Mga katangian ng scalar product ng mga vectors

Mga katangian ng algebraic

1. (commutative na ari-arian: ang pagbabalikwas sa mga lugar ng pinarami ng mga vector ay hindi nagbabago sa halaga ng kanilang scalar product).

2. (nag-uugnay na ari-arian na may paggalang sa isang numerical factor: ang scalar product ng isang vector na pinarami ng isang tiyak na factor at isa pang vector ay katumbas ng scalar product ng mga vector na ito na pinarami ng parehong factor).

3. (distributive property na nauugnay sa kabuuan ng mga vectors: ang scalar product ng kabuuan ng dalawang vector ng ikatlong vector ay katumbas ng kabuuan ng mga scalar na produkto ng unang vector ng ikatlong vector at ang pangalawang vector ng ikatlong vector).

4. (scalar square ng vector na mas malaki sa zero), kung ay isang nonzero vector, at , kung ay isang zero vector.

Mga katangian ng geometriko

Sa mga kahulugan ng operasyon sa ilalim ng pag-aaral, nahawakan na natin ang konsepto ng isang anggulo sa pagitan ng dalawang vectors. Panahon na upang linawin ang konseptong ito.

Sa figure sa itaas maaari mong makita ang dalawang vectors na dinadala sa isang karaniwang pinagmulan. At ang unang bagay na kailangan mong bigyang-pansin ay mayroong dalawang anggulo sa pagitan ng mga vectors na ito - φ 1 At φ 2 . Alin sa mga anggulong ito ang lumilitaw sa mga kahulugan at katangian ng scalar product ng mga vectors? Ang kabuuan ng mga itinuturing na anggulo ay 2 π at samakatuwid ang mga cosine ng mga anggulong ito ay pantay. Kasama sa kahulugan ng isang tuldok na produkto ang cosine ng anggulo, at hindi ang halaga ng pagpapahayag nito. Ngunit ang mga katangian ay isinasaalang-alang lamang ang isang anggulo. At ito ang isa sa dalawang anggulo na hindi hihigit π , ibig sabihin, 180 degrees. Sa figure ang anggulong ito ay ipinahiwatig bilang φ 1 .

1. Dalawang vector ang tinatawag orthogonal At ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay tuwid (90 degrees o π /2 ), kung ang scalar product ng mga vector na ito ay zero :

.

Ang orthogonality sa vector algebra ay ang perpendicularity ng dalawang vectors.

2. Dalawang di-zero na vector ang bumubuo matalim na sulok (mula 0 hanggang 90 degrees, o, na pareho - mas mababa π dot product ay positibo .

3. Dalawang di-zero na vector ang bumubuo mahinang anggulo (mula 90 hanggang 180 degrees, o, ano ang pareho - higit pa π /2) kung at kung sila lamang dot product ay negatibo .

Halimbawa 3. Ang mga coordinate ay ibinibigay ng mga vectors:

.

Kalkulahin ang mga scalar na produkto ng lahat ng mga pares ng ibinigay na mga vector. Anong anggulo (acute, right, obtuse) ang nabubuo ng mga pares ng vectors na ito?

Solusyon. Kakalkulahin namin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga produkto ng kaukulang mga coordinate.

Nakakuha kami ng isang negatibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang mahinang anggulo.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.

Nakakuha kami ng zero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang tamang anggulo.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.

.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.

Para sa self-test maaari mong gamitin online calculator Dot produkto ng mga vector at cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .

Halimbawa 4. Dahil sa haba ng dalawang vectors at ang anggulo sa pagitan nila:

.

Tukuyin kung anong halaga ng numero ang mga vector at orthogonal (perpendicular).

Solusyon. I-multiply natin ang mga vector gamit ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga polynomial:

Ngayon kalkulahin natin ang bawat termino:

.

Gumawa tayo ng isang equation (ang produkto ay katumbas ng zero), magdagdag ng mga katulad na termino at lutasin ang equation:

Sagot: nakuha namin ang halaga λ = 1.8, kung saan ang mga vector ay orthogonal.

Halimbawa 5. Patunayan na ang vector orthogonal (patayo) sa vector

Solusyon. Upang suriin ang orthogonality, pinaparami namin ang mga vector at bilang mga polynomial, na pinapalitan sa halip ang expression na ibinigay sa pahayag ng problema:

.

Upang gawin ito, kailangan mong i-multiply ang bawat termino (term) ng unang polynomial sa bawat termino ng pangalawa at idagdag ang mga resultang produkto:

.

Sa resultang resulta, ang fraction ay nababawasan ng. Ang sumusunod na resulta ay nakuha:

Konklusyon: bilang isang resulta ng multiplikasyon nakakuha kami ng zero, samakatuwid, ang orthogonality (perpendicularity) ng mga vectors ay napatunayan.

Lutasin ang problema sa iyong sarili at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Halimbawa 6. Ang mga haba ng mga vector at ay ibinibigay, at ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay π /4 . Tukuyin kung anong halaga μ mga vector at magkaparehong patayo.

Para sa self-test maaari mong gamitin online calculator Dot produkto ng mga vector at cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .

Ang representasyon ng matrix ng tuldok na produkto ng mga vector at ang produkto ng mga n-dimensional na vector

Minsan ito ay kapaki-pakinabang para sa kalinawan upang kumatawan sa dalawang pinarami na mga vector sa anyo ng mga matrice. Pagkatapos ang unang vector ay kinakatawan bilang isang row matrix, at ang pangalawa - bilang isang column matrix:

Pagkatapos ang scalar product ng mga vectors ay magiging ang produkto ng mga matrice na ito :

Ang resulta ay kapareho ng nakuha sa pamamaraang napag-isipan na natin. Nakakuha kami ng isang solong numero, at ang produkto ng isang row matrix sa pamamagitan ng isang column matrix ay isang solong numero din.

Ito ay maginhawa upang kumatawan sa produkto ng abstract n-dimensional vectors sa matrix form. Kaya, ang produkto ng dalawang four-dimensional na vector ay magiging produkto ng isang row matrix na may apat na elemento sa pamamagitan ng isang column matrix din na may apat na elemento, ang produkto ng dalawang five-dimensional na vector ay magiging produkto ng isang row matrix na may limang elemento sa pamamagitan ng isang column matrix din na may limang elemento, at iba pa.

Halimbawa 7. Maghanap ng mga scalar na produkto ng mga pares ng mga vector

,

gamit ang representasyon ng matrix.

Solusyon. Ang unang pares ng mga vector. Kinakatawan namin ang unang vector bilang isang row matrix, at ang pangalawa bilang isang column matrix. Nakikita namin ang scalar product ng mga vector na ito bilang produkto ng isang row matrix at isang column matrix:

Pareho naming kinakatawan ang pangalawang pares at nahanap namin:

Tulad ng nakikita mo, ang mga resulta ay kapareho ng para sa parehong mga pares mula sa halimbawa 2.

Anggulo sa pagitan ng dalawang vector

Ang derivation ng formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors ay napakaganda at maigsi.

Upang ipahayag ang tuldok na produkto ng mga vector

(1)

sa coordinate form, una nating mahanap ang scalar product ng unit vectors. Ang scalar product ng isang vector na may sarili nitong kahulugan:

Ang ibig sabihin ng nakasulat sa formula sa itaas ay: ang scalar product ng isang vector na may sarili nito ay katumbas ng parisukat ng haba nito. Ang cosine ng zero ay katumbas ng isa, kaya ang parisukat ng bawat yunit ay magiging katumbas ng isa:

Dahil sa mga vectors

ay pairwise perpendicular, kung gayon ang mga pairwise na produkto ng mga unit vector ay magiging zero:

Ngayon gawin natin ang pagpaparami ng mga vector polynomial:

Pinapalitan namin ang mga halaga ng kaukulang mga produkto ng scalar ng mga vector ng yunit sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay:

Nakukuha namin ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors:

Halimbawa 8. Tatlong puntos ang ibinigay A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Hanapin ang anggulo.

Solusyon. Paghahanap ng mga coordinate ng mga vectors:

,

.

Gamit ang formula ng anggulo ng cosine nakukuha natin:

Kaya naman, .

Para sa self-test maaari mong gamitin online calculator Dot produkto ng mga vector at cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .

Halimbawa 9. Dalawang vector ang ibinigay

Hanapin ang kabuuan, pagkakaiba, haba, tuldok na produkto at anggulo sa pagitan ng mga ito.

2. Pagkakaiba