Inverse trigonometriko function at ang kanilang mga graph. Inverse trigonometric functions Paano hanapin ang inverse trigonometric function
Ang mga function na sin, cos, tg at ctg ay palaging sinasamahan ng arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent. Ang isa ay isang kinahinatnan ng isa pa, at ang mga pares ng mga function ay pantay na mahalaga para sa pagtatrabaho sa mga trigonometrikong expression.
Isaalang-alang ang isang pagguhit ng isang bilog na yunit, na graphic na nagpapakita ng mga halaga ng mga function ng trigonometriko.
Kung kalkulahin natin ang mga arc OA, arcos OC, arctg DE at arcctg MK, lahat sila ay magiging katumbas ng halaga ng anggulo α. Ang mga formula sa ibaba ay sumasalamin sa kaugnayan sa pagitan ng mga pangunahing trigonometriko na pag-andar at ang kanilang mga katumbas na arko.
Upang maunawaan ang higit pa tungkol sa mga katangian ng arcsine, kinakailangang isaalang-alang ang pag-andar nito. Iskedyul ay may anyo ng asymmetric curve na dumadaan sa coordinate center.
Mga katangian ng arcsine:
Kung ihahambing natin ang mga graph kasalanan At arcsin, dalawang trigonometriko function ay maaaring magkaroon ng mga karaniwang prinsipyo.
arc cosine
Ang Arccos ng isang numero ay ang halaga ng anggulo α, ang cosine nito ay katumbas ng a.
Kurba y = arcos x sinasalamin ang arcsin x graph, na ang pagkakaiba lamang ay dumaan ito sa puntong π/2 sa OY axis.
Tingnan natin ang arc cosine function nang mas detalyado:
- Ang function ay tinukoy sa pagitan [-1; 1].
- ODZ para sa arccos - .
- Ang graph ay ganap na matatagpuan sa una at ikalawang quarter, at ang function mismo ay hindi kahit na o kakaiba.
- Y = 0 sa x = 1.
- Bumababa ang kurba sa buong haba nito. Ang ilang mga katangian ng arc cosine ay tumutugma sa cosine function.
Ang ilang mga katangian ng arc cosine ay tumutugma sa cosine function.
Marahil ay mahahanap ng mga mag-aaral ang gayong "detalyadong" pag-aaral ng "mga arko" na hindi kailangan. Gayunpaman, kung hindi, ang ilang mga pangunahing tipikal Mga takdang-aralin sa Pinag-isang State Exam maaaring humantong sa kalituhan ang mga mag-aaral.
Ehersisyo 1. Ipahiwatig ang mga function na ipinapakita sa figure.
Sagot: kanin. 1 – 4, Larawan 2 – 1.
Sa halimbawang ito, ang diin ay sa maliliit na bagay. Karaniwan, ang mga mag-aaral ay masyadong walang pag-iintindi sa pagbuo ng mga graph at ang hitsura ng mga function. Sa katunayan, bakit tandaan ang uri ng curve kung maaari itong palaging i-plot gamit ang mga kalkuladong puntos. Huwag kalimutan na sa ilalim ng mga kondisyon ng pagsubok, ang oras na ginugol sa pagguhit para sa isang simpleng gawain ay kinakailangan upang malutas ang mas kumplikadong mga gawain.
Arctangent
Arctg ang mga numerong a ay ang halaga ng anggulong α na ang tangent nito ay katumbas ng a.
Kung isasaalang-alang namin ang arctangent graph, maaari naming i-highlight ang mga sumusunod na katangian:
- Ang graph ay walang hanggan at tinukoy sa pagitan (- ∞; + ∞).
- Ang Arctangent ay isang kakaibang function, samakatuwid, arctan (- x) = - arctan x.
- Y = 0 sa x = 0.
- Tumataas ang curve sa buong saklaw ng kahulugan.
Narito ang isang maikling paghahambing na pagsusuri tg x at arctg x sa anyo ng talahanayan.
Arccottangent
Arcctg ng isang numero - kumukuha ng value na α mula sa pagitan (0; π) na ang cotangent nito ay katumbas ng a.
Mga katangian ng arc cotangent function:
- Ang pagitan ng kahulugan ng function ay infinity.
- Ang hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ay ang pagitan (0; π).
- Ang F(x) ay hindi kahit na o kakaiba.
- Sa buong haba nito, bumababa ang graph ng function.
Napakasimpleng ihambing ang ctg x at arctg x; kailangan mo lang gumawa ng dalawang guhit at ilarawan ang pag-uugali ng mga kurba.
Gawain 2. Itugma ang graph at ang notation form ng function.
Kung iisipin natin nang lohikal, malinaw sa mga graph na tumataas ang parehong function. Samakatuwid, ang parehong mga numero ay nagpapakita ng isang tiyak na arctan function. Mula sa mga katangian ng arctangent alam na y=0 sa x = 0,
Sagot: kanin. 1 – 1, fig. 2 – 4.
Trigonometric identity arcsin, arcos, arctg at arcctg
Noong nakaraan, natukoy na natin ang kaugnayan sa pagitan ng mga arko at ang mga pangunahing pag-andar ng trigonometrya. Ang pag-asa na ito ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng isang bilang ng mga formula na nagpapahintulot sa isa na ipahayag, halimbawa, ang sine ng isang argumento sa pamamagitan ng arcsine, arccosine, o vice versa nito. Ang kaalaman sa gayong mga pagkakakilanlan ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa paglutas ng mga partikular na halimbawa.
Mayroon ding mga relasyon para sa arctg at arcctg:
Ang isa pang kapaki-pakinabang na pares ng mga formula ay nagtatakda ng halaga para sa kabuuan ng arcsin at arcos, pati na rin ang arcctg at arcctg ng parehong anggulo.
Mga halimbawa ng paglutas ng problema
Ang mga gawain sa trigonometrya ay maaaring hatiin sa apat na grupo: kalkulahin ang numerical na halaga ng isang partikular na expression, bumuo ng isang graph ng isang ibinigay na function, hanapin ang domain ng kahulugan nito o ODZ at magsagawa ng analytical transformations upang malutas ang halimbawa.
Kapag nilulutas ang unang uri ng problema, dapat kang sumunod sa sumusunod na plano ng aksyon:
Kapag nagtatrabaho sa mga function graph, ang pangunahing bagay ay ang kaalaman sa kanilang mga katangian at hitsura baluktot. Ang paglutas ng mga trigonometric equation at hindi pagkakapantay-pantay ay nangangailangan ng mga talahanayan ng pagkakakilanlan. Kung mas maraming formula ang natatandaan ng isang mag-aaral, mas madaling mahanap ang sagot sa gawain.
Sabihin nating sa Unified State Examination kailangan mong hanapin ang sagot para sa isang equation tulad ng:
Kung tama mong ibahin ang anyo ng expression at dalhin ito sa nais na anyo, kung gayon ang paglutas nito ay napaka-simple at mabilis. Una, ilipat natin ang arcsin x sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay.
Kung naaalala mo ang formula arcsin (kasalanan α) = α, pagkatapos ay maaari nating bawasan ang paghahanap ng mga sagot sa paglutas ng isang sistema ng dalawang equation:
Ang paghihigpit sa modelong x ay lumitaw, muli mula sa mga katangian ng arcsin: ODZ para sa x [-1; 1]. Kapag ang isang ≠0, bahagi ng system ay isang quadratic equation na may mga ugat na x1 = 1 at x2 = - 1/a. Kapag ang a = 0, ang x ay magiging katumbas ng 1.
Inverse cosine function
Ang hanay ng mga halaga ng function na y=cos x (tingnan ang Fig. 2) ay isang segment. Sa segment ang function ay tuloy-tuloy at monotonically bumababa.
kanin. 2
Nangangahulugan ito na ang function na inverse sa function na y=cos x ay tinukoy sa segment. Ang inverse function na ito ay tinatawag na arc cosine at ipinapahiwatig na y=arccos x.
Kahulugan
Ang arccosine ng isang numero a, kung |a|1, ay ang anggulo na ang cosine ay kabilang sa segment; ito ay tinutukoy ng arccos a.
Kaya, ang arccos a ay isang anggulo na nakakatugon sa sumusunod na dalawang kundisyon: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.
Halimbawa, arccos, dahil cos at; arccos, dahil cos at.
Ang function na y = arccos x (Fig. 3) ay tinukoy sa isang segment; ang hanay ng mga value nito ay ang segment. Sa segment, ang function na y=arccos x ay tuloy-tuloy at monotonically bumababa mula p hanggang 0 (dahil ang y=cos x ay isang tuluy-tuloy at monotonically decreasing function sa segment); sa mga dulo ng segment naabot nito ang mga sukdulang halaga nito: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Tandaan na arccos 0 = . Ang graph ng function na y = arccos x (tingnan ang Fig. 3) ay simetriko sa graph ng function na y = cos x na may kaugnayan sa tuwid na linya y=x.
kanin. 3
Ipakita natin na ang pagkakapantay-pantay na arccos(-x) = p-arccos x ay hawak.
Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan 0? arccos x? R. Pagpaparami ng (-1) lahat ng bahagi ng huling dobleng hindi pagkakapantay-pantay, makukuha natin - p? arccos x? 0. Pagdaragdag ng p sa lahat ng bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay, makikita natin na 0? p-arccos x? R.
Kaya, ang mga halaga ng mga anggulo arccos(-x) at p - arccos x ay nabibilang sa parehong segment. Dahil monotonically bumababa ang cosine sa isang segment, hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaibang anggulo dito na may pantay na cosine. Hanapin natin ang mga cosine ng mga anggulong arccos(-x) at p-arccos x. Sa pamamagitan ng kahulugan, cos (arccos x) = - x, ayon sa mga pormula ng pagbabawas at ayon sa kahulugan mayroon tayo: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Kaya, ang mga cosine ng mga anggulo ay pantay, na nangangahulugang ang mga anggulo mismo ay pantay.
Inverse sine function
Isaalang-alang natin ang function na y=sin x (Larawan 6), na sa segment [-р/2;р/2] ay tumataas, tuluy-tuloy at kumukuha ng mga halaga mula sa segment [-1; 1]. Nangangahulugan ito na sa segment [- p/2; p/2] ang inverse function ng function na y=sin x ay tinukoy.
kanin. 6
Ang kabaligtaran na pagpapaandar na ito ay tinatawag na arcsine at ipinapahiwatig na y=arcsin x. Ipakilala natin ang kahulugan ng arcsine ng isang numero.
Ang arcsine ng isang numero ay isang anggulo (o arko) na ang sine ay katumbas ng numero a at nabibilang sa segment [-р/2; p/2]; ito ay tinutukoy ng arcsin a.
Kaya, ang arcsin a ay isang anggulo na tumutugon sa mga sumusunod na kondisyon: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? arcsin huh? r/2. Halimbawa, dahil kasalanan at [- p/2; p/2]; arcsin, dahil kasalanan = u [- p/2; p/2].
Ang function na y=arcsin x (Fig. 7) ay tinukoy sa segment [- 1; 1], ang saklaw ng mga halaga nito ay ang segment [-р/2;р/2]. Sa segment [- 1; 1] ang function na y=arcsin x ay tuloy-tuloy at tumataas nang monotonically mula -p/2 hanggang p/2 (ito ay sumusunod sa katotohanan na ang function na y=sin x sa segment [-p/2; p/2] ay tuloy-tuloy at tumataas nang monotoniko). Kinakailangan ang pinakamalaking halaga sa x = 1: arcsin 1 = p/2, at ang pinakamaliit sa x = -1: arcsin (-1) = -p/2. Sa x = 0 ang function ay zero: arcsin 0 = 0.
Ipakita natin na ang function na y = arcsin x ay kakaiba, i.e. arcsin(-x) = - arcsin x para sa anumang x [ - 1; 1].
Sa katunayan, ayon sa kahulugan, kung |x| ?1, mayroon tayong: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Kaya, ang mga anggulo arcsin(-x) at - arcsin x nabibilang sa parehong segment [ - p/2; p/2].
Hanapin natin ang mga sines ng mga ito anggulo: sin (arcsin(-x)) = - x (sa pamamagitan ng kahulugan); dahil ang function na y=sin x ay kakaiba, pagkatapos ay sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Kaya, ang mga sine ng mga anggulo na kabilang sa parehong pagitan [-р/2; p/2], ay pantay, na nangangahulugang ang mga anggulo mismo ay pantay, i.e. arcsin (-x)= - arcsin x. Nangangahulugan ito na ang function na y=arcsin x ay kakaiba. Ang graph ng function na y=arcsin x ay simetriko tungkol sa pinagmulan.
Ipakita natin na ang arcsin (sin x) = x para sa anumang x [-р/2; p/2].
Sa katunayan, ayon sa kahulugan -p/2? arcsin (kasalanan x) ? p/2, at ayon sa kondisyon -p/2? x? r/2. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo x at arcsin (sin x) ay nabibilang sa parehong pagitan ng monotonicity ng function na y=sin x. Kung ang mga sine ng naturang mga anggulo ay pantay, kung gayon ang mga anggulo mismo ay pantay. Hanapin natin ang mga sine ng mga anggulong ito: para sa anggulo x mayroon tayong sin x, para sa anggulo arcsin (sin x) mayroon tayong kasalanan (arcsin(sin x)) = sin x. Natagpuan namin na ang mga sine ng mga anggulo ay pantay, samakatuwid, ang mga anggulo ay pantay, i.e. arcsin(sin x) = x. .
kanin. 7
kanin. 8
Ang graph ng function na arcsin (sin|x|) ay nakukuha ng karaniwang pagbabagong-anyo na nauugnay sa modulus mula sa graph y=arcsin (sin x) (ipinapakita ng dashed line sa Fig. 8). Ang nais na graph na y=arcsin (sin |x-/4|) ay nakuha mula dito sa pamamagitan ng paglilipat ng /4 sa kanan kasama ang x-axis (ipinapakita solidong linya sa Fig. 8)
Baliktad na pag-andar ng tangent
Ang function na y=tg x sa pagitan ay tumatagal ng lahat ng mga numerical na halaga: E (tg x)=. Sa paglipas ng pagitan na ito ay tuloy-tuloy at tumataas nang monotonically. Nangangahulugan ito na ang isang function na kabaligtaran sa function na y = tan x ay tinukoy sa pagitan. Ang kabaligtaran na pag-andar na ito ay tinatawag na arctangent at ipinapahiwatig na y = arctan x.
Ang arctangent ng a ay isang anggulo mula sa isang pagitan na ang padaplis ay katumbas ng a. Kaya, ang arctg a ay isang anggulo na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon: tg (arctg a) = a at 0? arctg a ? R.
Kaya, ang anumang numero x ay palaging tumutugma sa isang solong halaga ng function na y = arctan x (Larawan 9).
Malinaw na ang D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Ang function na y = arctan x ay tumataas dahil ang function y = tan x ay tumataas sa pagitan. Hindi mahirap patunayan na ang arctg(-x) = - arctgx, i.e. ang arctangent na iyon ay isang kakaibang function.
kanin. 9
Ang graph ng function na y = arctan x ay simetriko sa graph ng function na y = tan x na may kaugnayan sa tuwid na linya y = x, ang graph y = arctan x ay dumadaan sa pinagmulan ng mga coordinate (dahil arctan 0 = 0) at ay simetriko na nauugnay sa pinagmulan (tulad ng graph ng isang kakaibang function).
Mapapatunayan na ang arctan (tan x) = x kung x.
Cotangent inverse function
Ang function na y = ctg x sa isang interval ay kumukuha ng lahat ng mga numerong halaga mula sa pagitan. Ang hanay ng mga halaga nito ay tumutugma sa hanay ng lahat ng tunay na numero. Sa pagitan, ang function na y = cot x ay tuloy-tuloy at monotonically tumataas. Nangangahulugan ito na sa pagitan na ito ang isang function ay tinukoy na kabaligtaran sa function na y = cot x. Ang kabaligtaran na pag-andar ng cotangent ay tinatawag na arccotangent at ipinapahiwatig na y = arcctg x.
Ang arc cotangent ng a ay isang anggulo na kabilang sa isang interval na ang cotangent ay katumbas ng a.
Kaya, ang аrcctg a ay isang anggulo na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon: ctg (arcctg a)=a at 0? arcctg a ? R.
Mula sa kahulugan ng inverse function at ang kahulugan ng arctangent ito ay sumusunod na D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Ang arc cotangent ay isang nagpapababang function dahil ang function na y = ctg x ay bumababa sa pagitan.
Ang graph ng function na y = arcctg x ay hindi bumalandra sa Ox axis, dahil y > 0 R. Para sa x = 0 y = arcctg 0 =.
Ang graph ng function na y = arcctg x ay ipinapakita sa Figure 11.
kanin. 11
Tandaan na para sa lahat ng tunay na halaga ng x ang pagkakakilanlan ay totoo: arcctg(-x) = p-arcctg x.
Aralin 32-33. Inverse trigonometriko function
09.07.2015 8936 0Target: isaalang-alang ang inverse trigonometriko function at ang kanilang paggamit para sa pagsulat ng mga solusyon sa trigonometric equation.
I. Paglalahad ng paksa at layunin ng mga aralin
II. Pag-aaral ng bagong materyal
1. Inverse trigonometriko function
Simulan natin ang ating pagtalakay sa paksang ito sa sumusunod na halimbawa.
Halimbawa 1
Lutasin natin ang equation: a) sin x = 1/2; b) kasalanan x = a.
a) Sa ordinate axis ay inilalagay namin ang halaga 1/2 at itinayo ang mga anggulo x 1 at x2, kung saan kasalanan x = 1/2. Sa kasong ito x1 + x2 = π, kung saan ang x2 = π – x 1 . Gamit ang talahanayan ng mga halaga ng trigonometriko function, nakita namin ang halaga x1 = π/6, pagkataposIsaalang-alang natin ang periodicity ng sine function at isulat ang mga solusyon ibinigay na equation:
kung saan k ∈ Z.
b) Malinaw, ang algorithm para sa paglutas ng equation kasalanan Ang x = a ay pareho sa naunang talata. Siyempre, ngayon ang halaga a ay naka-plot kasama ang ordinate axis. May pangangailangan na kahit papaano ay italaga ang anggulo x1. Sumang-ayon kami na tukuyin ang anggulong ito sa simbolo arcsin A. Pagkatapos ang mga solusyon sa equation na ito ay maaaring isulat sa formAng dalawang formula na ito ay maaaring pagsamahin sa isa: kung saan
Ang natitirang mga inverse trigonometriko function ay ipinakilala sa katulad na paraan.
Kadalasan ito ay kinakailangan upang matukoy ang magnitude ng isang anggulo mula sa isang kilalang halaga ng trigonometric function nito. Ang ganitong problema ay multivalued - mayroong hindi mabilang na mga anggulo na ang mga function ng trigonometriko ay katumbas ng parehong halaga. Samakatuwid, batay sa monotonicity ng trigonometric function, ang mga sumusunod na inverse trigonometriko function ay ipinakilala upang natatanging matukoy ang mga anggulo.
Arcsine ng numero a (arcsin , na ang sine ay katumbas ng a, i.e.
Arc cosine ng isang numero a(arccos a) ay isang anggulo a mula sa pagitan na ang cosine ay katumbas ng a, i.e.
Arctangent ng isang numero a(arctg a) - tulad ng isang anggulo a mula sa pagitanna ang padaplis ay katumbas ng a, i.e.tg a = a.
Arccottangent ng isang numero a(arcctg a) ay isang anggulo a mula sa pagitan (0; π), ang cotangent kung saan ay katumbas ng a, i.e. ctg a = a.
Halimbawa 2
Hanapin natin:
Isinasaalang-alang ang mga kahulugan ng kabaligtaran na mga function ng trigonometriko, nakuha namin:
Halimbawa 3
Magkalkula tayo
Hayaan ang anggulo a = arcsin 3/5, pagkatapos ay ayon sa kahulugan sin a = 3/5 at . Samakatuwid, kailangan nating hanapin cos A. Gamit ang pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan, nakukuha natin ang:Isinasaalang-alang na cos a ≥ 0. Kaya,
Mga katangian ng pag-andar | Function |
|||
y = arcsin x | y = arccos x | y = arctan x | y = arcctg x |
|
Domain | x ∈ [-1; 1] | x ∈ [-1; 1] | x ∈ (-∞; +∞) | x ∈ (-∞ +∞) |
Saklaw ng mga halaga | y ∈ [ -π/2 ; π /2 ] | y ∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0;π) |
Pagkakapantay-pantay | Kakaiba | Ni kahit na o kakaiba | Kakaiba | Ni kahit na o kakaiba |
Mga zero ng function (y = 0) | Sa x = 0 | Sa x = 1 | Sa x = 0 | y ≠ 0 |
Mga agwat ng sign constancy | y > 0 para sa x ∈ (0; 1], sa< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 para sa x ∈ [-1; 1) | y > 0 para sa x ∈ (0; +∞), sa< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 para sa x ∈ (-∞; +∞) |
Monotone | Tumataas | Pababa | Tumataas | Pababa |
Kaugnayan sa trigonometriko function | kasalanan y = x | cos y = x | tg y = x | ctg y = x |
Iskedyul |
Magbigay tayo ng ilang mas karaniwang mga halimbawa na may kaugnayan sa mga kahulugan at pangunahing katangian ng kabaligtaran na mga function ng trigonometriko.
Halimbawa 4
Hanapin natin ang domain ng kahulugan ng function
Upang matukoy ang function na y, kinakailangan upang masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantayna katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Ang solusyon sa unang hindi pagkakapantay-pantay ay ang pagitan ng x∈
(-∞; +∞), pangalawa - Itong pagitan at ito ay isang solusyon sa sistema ng mga hindi pagkakapantay-pantay, at samakatuwid ay ang domain ng kahulugan ng function
Halimbawa 5
Hanapin natin ang lugar ng pagbabago ng function
Isaalang-alang natin ang pag-uugali ng function z = 2x - x2 (tingnan ang larawan).
Malinaw na ang z ∈ (-∞; 1]. Isinasaalang-alang na ang argumento z ang arc cotangent function ay nag-iiba-iba sa loob ng tinukoy na mga limitasyon, mula sa data ng talahanayan na nakuha namin iyonKaya ang lugar ng pagbabago
Halimbawa 6
Patunayan natin na ang function na y = arctg x kakaiba. HayaanPagkatapos tg a = -x o x = - tg a = tg (- a), at
Samakatuwid, - a = arctg x o a = - arctg X. Kaya, nakikita natin iyonibig sabihin, ang y(x) ay isang kakaibang function.
Halimbawa 7
Ipahayag natin sa pamamagitan ng lahat ng inverse trigonometriko function
Hayaan Obvious naman yun
Then since
Ipakilala natin ang anggulo kasi
yun
Gayundin samakatuwid At
Kaya,
Halimbawa 8
Bumuo tayo ng graph ng function na y = cos(arcsin x).
Ipahiwatig natin ang a = arcsin x, pagkatapos Isaalang-alang natin na ang x = sin a at y = cos a, ibig sabihin, x 2 + y2 = 1, at mga paghihigpit sa x (x∈
[-1; 1]) at y (y ≥ 0). Pagkatapos ay ang graph ng function na y = cos(arcsin x) ay isang kalahating bilog.
Halimbawa 9
Bumuo tayo ng graph ng function na y = arccos (cos x ).
Dahil ang cos function x nagbabago sa pagitan [-1; 1], pagkatapos ay ang function na y ay tinukoy sa buong numerical axis at nag-iiba sa segment . Isaisip natin na y = arccos(cosx) = x sa segment; ang function na y ay pantay at periodic na may period 2π. Isinasaalang-alang na ang function ay may mga katangiang ito kasi x Ngayon ay madali nang gumawa ng graph.
Tandaan natin ang ilang kapaki-pakinabang na pagkakapantay-pantay:
Halimbawa 10
Hanapin natin ang pinakamaliit at pinakamataas na halaga mga function Tukuyin natin Pagkatapos
Kunin natin ang function
Ang function na ito ay may pinakamababa sa punto z = π/4, at ito ay katumbas ng
Ang pinakamalaking halaga ng function ay nakakamit sa punto z = -π/2, at ito ay katumbas
Kaya, at
Halimbawa 11
Solusyonan natin ang equation
Isaalang-alang natin iyon Pagkatapos ang equation ay ganito ang hitsura:
o
saan Sa pamamagitan ng kahulugan ng arctangent nakukuha natin:
2. Paglutas ng mga simpleng trigonometric equation
Katulad ng halimbawa 1, maaari kang makakuha ng mga solusyon sa pinakasimpleng trigonometric equation.
Ang equation | Solusyon |
tgx = a | |
ctg x = a |
Halimbawa 12
Solusyonan natin ang equation
Dahil kakaiba ang function ng sine, isinusulat namin ang equation sa formMga solusyon sa equation na ito:
saan natin ito matatagpuan?
Halimbawa 13
Solusyonan natin ang equation
Gamit ang ibinigay na formula, isusulat namin ang mga solusyon sa equation:at hahanapin natin
Tandaan na sa mga espesyal na kaso (a = 0; ±1) kapag nilulutas ang mga equation sin x = a at cos x = ngunit mas madali at mas maginhawang gamitin ang hindi pangkalahatang mga formula, at isulat ang mga solusyon batay sa unit circle:
para sa equation na sin x = 1 solusyon
para sa equation sin x = 0 solusyon x = π k;
para sa equation na sin x = -1 na solusyon
para sa cos equation x = 1 solusyon x = 2π k ;
para sa equation cos x = 0 solusyon
para sa equation cos x = -1 solusyon
Halimbawa 14
Solusyonan natin ang equation
Dahil sa halimbawang ito ay mayroon espesyal na kaso mga equation, pagkatapos gamit ang naaangkop na formula isinulat namin ang solusyon:saan natin ito makikita?
III. Kontrolin ang mga tanong(frontal survey)
1. Tukuyin at ilista ang mga pangunahing katangian ng inverse trigonometriko function.
2. Magbigay ng mga graph ng inverse trigonometriko function.
3. Paglutas ng mga simpleng trigonometric equation.
IV. Takdang aralin
§ 15, No. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;
§ 16, No. 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);
§ 17, No. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).
V. Takdang-Aralin
§ 15, No. 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;
§ 16, No. 4 (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);
§ 17, No. 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).
VI. Mga malikhaing gawain
1. Hanapin ang domain ng function:
Mga sagot:
2. Hanapin ang hanay ng function:
Mga sagot:
3. Mag-plot ng graph ng function:
VII. Pagbubuod ng mga aralin
Kahulugan at notasyon
Arcsine (y = arcsin x) ay ang inverse function ng sine (x = siny -1 ≤ x ≤ 1 at ang hanay ng mga halaga -π /2 ≤ y ≤ π/2.kasalanan(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Ang Arcsine ay minsan ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.
Graph ng arcsine function
Graph ng function na y = arcsin x
Ang arcsine graph ay nakuha mula sa sine graph kung ang abscissa at ordinate axes ay ipinagpalit. Upang maalis ang kalabuan, ang hanay ng mga halaga ay limitado sa pagitan kung saan ang function ay monotoniko. Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pangunahing halaga ng arcsine.
Arccosine, arccos
Kahulugan at notasyon
Arc cosine (y = arccos x) ay ang inverse function ng cosine (x = dahil y). Ito ay may saklaw -1 ≤ x ≤ 1 at maraming kahulugan 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Ang Arccosine ay minsan ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.
Graph ng arc cosine function
Graph ng function na y = arccos x
Ang arc cosine graph ay nakuha mula sa cosine graph kung ang abscissa at ordinate axes ay pinagpalit. Upang maalis ang kalabuan, ang hanay ng mga halaga ay limitado sa pagitan kung saan ang function ay monotoniko. Ang kahulugan na ito ay tinatawag na pangunahing halaga ng arc cosine.
Pagkakapantay-pantay
Ang arcsine function ay kakaiba:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Ang arc cosine function ay hindi pantay o kakaiba:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Properties - extrema, pagtaas, pagbaba
Ang mga function na arcsine at arccosine ay tuloy-tuloy sa kanilang domain ng kahulugan (tingnan ang patunay ng pagpapatuloy). Ang mga pangunahing katangian ng arcsine at arccosine ay ipinakita sa talahanayan.
y = arcsin x | y = arccos x | |
Saklaw at pagpapatuloy | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
Saklaw ng mga halaga | ||
Pataas pababa | monotonically pagtaas | monotonically bumababa |
Highs | ||
Mga minimum | ||
Mga zero, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
Harangin ang mga puntos na may ordinate axis, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
Talaan ng mga arcsine at arcosines
Ang talahanayang ito ay nagpapakita ng mga halaga ng mga arcsine at arcosines, sa mga degree at radian, para sa ilang mga halaga ng argumento.
x | arcsin x | arccos x | ||
granizo | masaya. | granizo | masaya. | |
- 1 | - 90° | - | 180° | π |
- | - 60° | - | 150° | |
- | - 45° | - | 135° | |
- | - 30° | - | 120° | |
0 | 0° | 0 | 90° | |
30° | 60° | |||
45° | 45° | |||
60° | 30° | |||
1 | 90° | 0° | 0 |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Mga formula
Tingnan din: Derivation ng mga formula para sa inverse trigonometriko functionMga formula ng kabuuan at pagkakaiba
sa o
sa at
sa at
sa o
sa at
sa at
sa
sa
sa
sa
Mga expression sa pamamagitan ng logarithms, kumplikadong mga numero
Tingnan din: Pagkuha ng mga formulaMga expression sa pamamagitan ng hyperbolic function
Derivatives
;
.
Tingnan ang Derivation ng arcsine at arccosine derivatives > > >
Higher order derivatives:
,
kung saan ay isang polynomial ng degree . Ito ay tinutukoy ng mga formula:
;
;
.
Tingnan ang Derivation ng higher order derivatives ng arcsine at arccosine > > >
Mga integral
Ginagawa namin ang pagpapalit x = sint. Pinagsasama namin ayon sa mga bahagi, isinasaalang-alang na -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
cos t ≥ 0:
.
Ipahayag natin ang arc cosine sa pamamagitan ng arc sine:
.
Pagpapalawak ng serye
Kapag |x|< 1
nagaganap ang sumusunod na pagkabulok:
;
.
Mga kabaligtaran na pag-andar
Ang inverses ng arcsine at arccosine ay sine at cosine, ayon sa pagkakabanggit.
Ang mga sumusunod na formula ay may bisa sa buong domain ng kahulugan:
kasalanan(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Ang mga sumusunod na formula ay may bisa lamang sa hanay ng mga halaga ng arcsine at arccosine:
arcsin(sin x) = x sa
arccos(cos x) = x sa .
Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.
Sa araling ito ay titingnan natin ang mga katangian kabaligtaran na mga pag-andar at ulitin kabaligtaran na mga function ng trigonometriko. Ang mga katangian ng lahat ng pangunahing inverse trigonometric function ay isasaalang-alang nang hiwalay: arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent.
Tutulungan ka ng araling ito na maghanda para sa isa sa mga uri ng gawain SA 7 At C1.
Paghahanda para sa Unified State Exam sa matematika
Eksperimento
Aralin 9. Inverse trigonometric functions.
Teorya
Buod ng aralin
Tandaan natin kapag nakatagpo tayo ng ganitong konsepto bilang isang inverse function. Halimbawa, isaalang-alang ang squaring function. Magkaroon tayo ng isang parisukat na silid na may mga gilid na 2 metro at gusto nating kalkulahin ang lawak nito. Upang gawin ito, gamit ang square formula, parisukat namin ang dalawa at bilang isang resulta nakakakuha kami ng 4 m2. Ngayon isipin ang kabaligtaran na problema: alam natin ang lugar ng isang parisukat na silid at nais na hanapin ang mga haba ng mga gilid nito. Kung alam natin na ang lugar ay pareho pa rin ng 4 m2, pagkatapos ay gagawin natin ang reverse action sa squaring - pag-extract ng arithmetic square root, na magbibigay sa atin ng halaga ng 2 m.
Kaya, para sa function ng pag-squaring ng isang numero, ang inverse function ay ang kunin ang arithmetic square root.
Sa partikular, sa halimbawa sa itaas, wala kaming anumang mga problema sa pagkalkula ng gilid ng silid, dahil naiintindihan namin na ito ay isang positibong numero. Gayunpaman, kung magpahinga tayo mula sa kasong ito at isaalang-alang ang problema sa isang mas pangkalahatang paraan: "Kalkulahin ang numero na ang parisukat ay katumbas ng apat," nahaharap tayo sa isang problema - mayroong dalawang ganoong numero. Ito ay 2 at -2, dahil ay katumbas din ng apat. Ito ay lumiliko na ang kabaligtaran na problema sa pangkalahatang kaso ay maaaring malutas nang hindi maliwanag, at ang pagkilos ng pagtukoy sa numero na naka-squad ay nagbigay ng numero na alam natin? ay may dalawang resulta. Maginhawang ipakita ito sa isang graph:
![]() |
Nangangahulugan ito na hindi natin matatawag na function ang naturang batas ng pagsusulatan ng mga numero, dahil para sa isang function ang isang halaga ng argument ay tumutugma sa mahigpit na isa halaga ng function.
Upang tumpak na maipakilala ang inverse function sa squaring, ang konsepto ng isang arithmetic square root ay iminungkahi, na nagbibigay lamang ng mga hindi negatibong halaga. Yung. para sa isang function, ang inverse function ay itinuturing na .
Katulad nito, may mga function na kabaligtaran sa mga trigonometriko, ang mga ito ay tinatawag kabaligtaran na mga function ng trigonometriko. Ang bawat isa sa mga pag-andar na aming isinasaalang-alang ay may sariling kabaligtaran, ang mga ito ay tinatawag na: arcsine, arccosine, arctangent at arccotangent.
Ang mga function na ito ay malulutas ang problema ng pagkalkula ng mga anggulo mula sa isang kilalang halaga ng trigonometriko function. Halimbawa, gamit ang isang talahanayan ng mga halaga ng mga pangunahing trigonometriko function, maaari mong kalkulahin ang sine kung saan ang anggulo ay katumbas ng . Nahanap namin ang halagang ito sa linya ng mga sine at tinutukoy kung saang anggulo ito tumutugma. Ang unang bagay na nais mong sagutin ay ito ang anggulo o, ngunit kung mayroon kang isang talahanayan ng mga halaga na iyong itapon, agad mong mapapansin ang isa pang kalaban para sa sagot - ito ang anggulo o. At kung aalalahanin natin ang panahon ng sine, mauunawaan natin na mayroong isang walang katapusang bilang ng mga anggulo kung saan ang sine ay katumbas. At tulad ng isang hanay ng mga halaga ng anggulo na tumutugma sa isang naibigay na halaga ng trigonometric function ay masusunod din para sa mga cosine, tangent at cotangent, dahil lahat sila ay may periodicity.
Yung. kami ay nahaharap sa parehong problema na mayroon kami para sa pagkalkula ng halaga ng argumento mula sa halaga ng function para sa squaring operation. At sa kasong ito, para sa mga inverse trigonometric function, isang limitasyon ang ipinakilala sa hanay ng mga halaga na ibinibigay nila sa panahon ng pagkalkula. Ang pag-aari na ito ng naturang mga inverse function ay tinatawag pagpapaliit ng hanay ng mga halaga, at ito ay kinakailangan upang ang mga ito ay matawag na function.
Para sa bawat isa sa mga inverse trigonometriko function, ang hanay ng mga anggulo na ibinabalik nito ay iba, at isasaalang-alang namin ang mga ito nang hiwalay. Halimbawa, ibinabalik ng arcsine ang mga halaga ng anggulo sa hanay mula hanggang .
Ang kakayahang magtrabaho kasama ang mga inverse trigonometriko function ay magiging kapaki-pakinabang sa amin kapag nilulutas ang mga trigonometric equation.
Ipahiwatig namin ngayon ang mga pangunahing katangian ng bawat isa sa mga kabaligtaran na trigonometric function. Sino ang gustong makilala ang mga ito nang mas detalyado, sumangguni sa kabanata na "Paglutas ng mga trigonometric equation" sa programa ng ika-10 baitang.
Isaalang-alang natin ang mga katangian ng arcsine function at buuin ang graph nito.
Kahulugan.Arcsine ng numerox
Mga pangunahing katangian ng arcsine:
1)
sa ,
2) sa .
Mga pangunahing katangian ng arcsine function:
1) Saklaw ng kahulugan ;
2) Saklaw ng halaga ;
3) Ang function ay kakaiba. Ito ay ipinapayong isaulo ang formula na ito nang hiwalay, dahil ito ay kapaki-pakinabang para sa mga pagbabago. Napansin din namin na ang oddity ay nagpapahiwatig ng simetrya ng graph ng function na nauugnay sa pinagmulan;
Bumuo tayo ng isang graph ng function:
Pakitandaan na wala sa mga seksyon ng function graph ang nauulit, na nangangahulugan na ang arcsine ay hindi isang periodic function, hindi katulad ng sine. Ang parehong ay malalapat sa lahat ng iba pang mga arc function.
Isaalang-alang natin ang mga katangian ng arc cosine function at buuin ang graph nito.
Kahulugan.arc cosine ng numerox ay ang halaga ng anggulo y kung saan . Bukod dito, kapwa bilang mga paghihigpit sa mga halaga ng sine, at bilang napiling hanay ng mga anggulo.
Mga pangunahing katangian ng arc cosine:
1)
sa ,
2) sa .
Mga pangunahing katangian ng arc cosine function:
1) Saklaw ng kahulugan ;
2) Saklaw ng mga halaga;
3) Ang function ay hindi kahit na o kakaiba, i.e. pangkalahatang pananaw . Maipapayo rin na tandaan ang formula na ito, magiging kapaki-pakinabang ito sa atin sa ibang pagkakataon;
4) Ang function ay bumababa nang monotonically.
Bumuo tayo ng isang graph ng function:
Isaalang-alang natin ang mga katangian ng arctangent function at buuin ang graph nito.
Kahulugan.Arctangent ng numerox ay ang halaga ng anggulo y kung saan . Bukod dito, dahil Walang mga paghihigpit sa mga halaga ng tangent, ngunit sa napiling hanay ng mga anggulo.
Mga pangunahing katangian ng arctangent:
1)
sa ,
2) sa .
Mga pangunahing katangian ng arctangent function:
1) Saklaw ng kahulugan;
2) Saklaw ng halaga ;
3) Ang pag-andar ay kakaiba . Ang formula na ito ay kapaki-pakinabang din, tulad ng iba pang katulad nito. Tulad ng sa kaso ng arcsine, ang oddity ay nagpapahiwatig na ang graph ng function ay simetriko tungkol sa pinagmulan;
4) Ang pag-andar ay tumataas nang monotonically.
Bumuo tayo ng isang graph ng function:
- Anong mga dokumento ang dapat magkaroon ng isang indibidwal na negosyante?
- Accounting para sa mga indibidwal na negosyante - mga patakaran at tampok ng independiyenteng pag-uulat sa ilalim ng iba't ibang mga rehimen ng buwis Pangunahing dokumentasyon para sa mga indibidwal na negosyante
- Accounting para sa mga indibidwal na negosyante: mga tampok ng accounting sa mga indibidwal na negosyante?
- Paano isapribado ang isang apartment, lahat tungkol sa pribatisasyon Listahan ng mga dokumento para sa pribatisasyon ng isang apartment